?第11練 空間直線、平面的平行

【知識(shí)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一 直線與平面平行
【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】
1、直線與平面平行的判定定理：
如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行． 用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．
2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．
1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：
如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．
用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．
2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：
已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．
由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．
正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．
知識(shí)點(diǎn)二 平面與平面平行
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
兩個(gè)平面平行的判定：
（1）兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．
（2）垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行．即a⊥α，且a⊥β，則α∥β．
（3）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行．即α∥γ，β∥γ，則α∥β．
平面與平面平行的性質(zhì)：
性質(zhì)定理1：兩個(gè)平面平行，在一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個(gè)平面．
性質(zhì)定理2：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．
性質(zhì)定理3：一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面．

一．選擇題（共3小題）
1．已知，為兩條直線，，為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論正確的　　
A．若，，則 B．若，，，則
C．若，，，，則 D．若，，則
【分析】對(duì)，注意判斷的情況；
對(duì)，結(jié)合線面平行的性質(zhì)即可判斷；
對(duì)，討論，的相交情況，即可判斷；
對(duì)，注意判斷的情況．
【解答】解：對(duì)，，，則或，錯(cuò)；
對(duì)，，，，由線面平行的性質(zhì)易得，存在，，，，故，則，故，對(duì)；
對(duì)，，，，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，則或，相交，錯(cuò)；
對(duì)，，，則或，錯(cuò)．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面，面面之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
2．已知直線與平面，則“，不平行”是“內(nèi)不存在直線與平行”的　　
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)直線和平面的位置關(guān)系以及充分必要條件的定義即可判斷．
【解答】解：若，不平行，則或與相交，當(dāng)時(shí)，內(nèi)存在直線與平行，
若內(nèi)不存在直線與平行，則與相交，即，不平行，
所以“，不平行”是“內(nèi)不存在直線與平行”的必要不充分條件．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題為命題真假的判斷，熟練掌握立體幾何中的線面位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．
3．如圖，在下列四個(gè)正方體中，，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線不平行于平面的是　　
A． B．
C． D．
【分析】利用線面平行的判定方法逐個(gè)分析判斷即可．
【解答】解：對(duì)于，如圖，連接，則，
因?yàn)?，分別為棱的中點(diǎn)，所以由三角形中位線定理可得，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以平面，
對(duì)于，如圖連接，

因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br /> 對(duì)于，如圖，連接，則，

因?yàn)?，分別為棱的中點(diǎn)，所以由三角形中位線定理可得，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br /> 對(duì)于，如圖取底面中心，連接，

由于為棱的中點(diǎn)，所以由三角形中位線定理可得，
因?yàn)榕c平面相交，所以與平面相交，
故選：．




【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的判定，屬于中檔題．
二．多選題（共4小題）
4．如圖，在四棱錐中，、分別為、上的點(diǎn)，且平面，則　　

A． B．平面 C． D．
【分析】直接利用直線與平面平行的性質(zhì)定理推出結(jié)果即可．
【解答】解：四棱錐中，，分別為，上的點(diǎn)，且平面，
平面，平面平面，
由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得：．
平面，平面，所以平面．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的性質(zhì)定理以及判斷定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
5．如圖，在長方體中，，，、分別為棱，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是　　

A．，，，四點(diǎn)共面 B．與是異面直線
C．平面平面 D．平面
【分析】由得，共面，即可判斷選項(xiàng)；取中點(diǎn)，由，平面即可判斷選項(xiàng)；由平面，平面即可判斷選項(xiàng)；由即可判斷選項(xiàng)．
【解答】解：由，知，共面，即，，，四點(diǎn)共面，正確；
取中點(diǎn)，連接，，易得，，則四邊形為平行四邊形，

，又平面，故與是異面直線，正確；
取中點(diǎn)，連接，，易得，，則四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，則平面，又，同理可得平面，
又，平面，，則平面平面，正確；
由，又平面，平面，則平面，正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面平行，考查學(xué)生的推理能力，屬于中檔題．
6．在正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)平面，，則　　
A．
B．直線平面
C．正方體被平面截得的截面為正六邊形
D．點(diǎn)的軌跡長度為
【分析】取中點(diǎn)，由即可判斷選項(xiàng)；取棱，，的中點(diǎn)，，，由，，，平面即可判斷選項(xiàng)；先判斷平面平面，由平面即可判斷選項(xiàng)；連接，先判斷平面，進(jìn)而求得點(diǎn)的軌跡為以為圓心1為半徑的圓即可判斷選項(xiàng)．
【解答】解：

連接，，取中點(diǎn)，連接，易得，則不平行，錯(cuò)誤；

如圖，取棱，，的中點(diǎn)，，，易得，平面，則面，同理可得，，，平面，
即正六邊形為正方體被平面截得的截面，正確；
由選項(xiàng)知：平面即平面，易得，又平面，平面，則平面，
同理可得平面，又，則平面，，則平面平面，
又平面，則直線平面，正確；
連接，易得與平面交于正方體的體心，連接，易得，
又平面，平面，
則，又，平面，，則平面，平面，則，
同理可得，又，平面，，則平面，平面，則，
又，則，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心1為半徑的圓，
故點(diǎn)的軌跡長度為，正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行，考查學(xué)生的推理能力，屬于中檔題．
7．在三棱柱中，，，，分別為，，，中點(diǎn)，為△重心，則　　
A．平面 B．平面
C．，為異面直線 D．，為異面直線
【分析】可將三棱柱特殊化，直三棱柱的底面以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)邊長，建立直角坐標(biāo)系求解．
【解答】解：由題意可將三棱柱特殊化，
設(shè)直三棱柱的底面以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為，，軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，，1，，，
對(duì)于選項(xiàng)，，取平面的法向量，0，，
因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)，，，
設(shè)平面的法向量，，，
由，令，則平面的法向量，1，，
因?yàn)椋?，又平面，所以平面，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)，，
若四點(diǎn)共面，則，與是非零向量矛盾，所以，不共面，即為異面直線，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)，，
則，所以，為共面直線，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的判斷以及空間中兩直線的位置關(guān)系，屬于中檔題．
三．填空題（共4小題）
8．連接正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成一個(gè)正八面體（如圖），下列說法正確的是 ?、佗邰荨。ㄟx填序號(hào)）
①以正八面體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的幾何體為正方體；
②直線與是異面直線；
③與平面所成的角為；
④平面平面；
⑤平面平面．

【分析】對(duì)于①，正八面體各面中心為頂點(diǎn)的幾何體為正方體；對(duì)于②，根據(jù)條件可知，直線與是平行線；③連接交平面于，連接，為與平面所成的角，求解即可判斷；對(duì)于④，取中點(diǎn)，連接，，，推導(dǎo)出是二面角的平面角，由余弦定理求出，得到平面與平面不垂直；對(duì)于⑤，由，，，得到平面平面．
【解答】解：對(duì)于①，正方體各面中心為頂點(diǎn)的凸多面體為正八面體，
它的中截面（垂直平分相對(duì)頂點(diǎn)連線的界面）是正方形，
該正方形對(duì)角線長等于正方體的棱長，
以各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正方體為圖形是正方體，
正方體面對(duì)角線長等于棱長的，
（正三角形中心到對(duì)邊的距離等于高的，故①正確；
對(duì)于②，如圖，連接，，，，
則、、、分別是、、、的中點(diǎn)，
，，
直線與是平行線，故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，連接交平面于，連接，易得平面，
為與平面所成的角，
設(shè)正八面體的棱長為2，則，所以，
與平面所成的角為，故③正確；
對(duì)于④：取中點(diǎn)，連接，，，
設(shè)正方體棱長為1，則和都是邊長為的等邊三角形，
，，是二面角的平面角，
，，
，
平面與平面不垂直，故④錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，，，，，，
平面平面，故⑤正確．
故答案為：①③⑤．


【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，是中檔題．
9．如圖，多面體中，面為正方形，平面，，且，，為棱的中點(diǎn)，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：
①當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，平面；
②存在點(diǎn)，使得；
③三棱錐的體積為定值；
④三棱錐的外接球的表面積為．
其中正確的結(jié)論序號(hào)為 ?、佗邰堋。ㄌ顚懰姓_結(jié)論的序號(hào)）

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，以及線線垂直的判定，結(jié)合棱錐體積的計(jì)算公式，以及棱錐外接球半徑的求解，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行逐一求解和分析即可．
【解答】解：對(duì)①：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，取中點(diǎn)為，連接，，如下所示：

因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，故可得，
根據(jù)已知條件可知：，
故，，故四邊形為平行四邊形，
則，又面，面；
故平面，故①正確；
對(duì)②：因?yàn)槊?，，面?br /> 故，，
又四邊形為矩形，故，則，，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：

則，0，，，0，，，2，，
設(shè)，0，，，，
若，則，
即，解得，不滿足題意，故②錯(cuò)誤；
對(duì)③：，因?yàn)?，，均為定點(diǎn)，故為定值，
又，面，面，故面，
又點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)到面的距離是定值，
故三棱錐的體積為定值，則③正確；
對(duì)④：取的外心為，過作平面的垂線，
則三棱錐的外接球的球心一定在上，
因?yàn)槊?，面，面，則，
又，，，面，
故面，又面，
則，故，在同一個(gè)平面，
則過作，連接，，如圖所示：

在中，容易知，
則由余弦定理可得，故，
則由正弦定理可得，
設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，
在中，，，
又，
故由勾股定理可知：，即，
解得：，則該棱錐外接球的表面積，故④正確．
故答案為：①③④．
【點(diǎn)評(píng)】本題考察線面平行的證明，線線垂直的判定，以及三棱錐體積的計(jì)算和外接球半徑的求解，屬于難題．
10．已知，是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，給出下列命題：
①，；
②，；
③，，．
其中假命題的序號(hào)是 ?、佗冖邸。▽懗鏊屑倜}的序號(hào)）
【分析】根據(jù)空間中線線，線面位置關(guān)系易判斷①②③的真假性．
【解答】解：對(duì)于①：由，，可得或，是異面直線，與相交，故①是假命題；
對(duì)于②：當(dāng)時(shí)，顯然結(jié)論不成立；故②是假命題；
對(duì)于③：，，或，是異面直線，故③是假命題．
故答案為：①②③．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線線，線面位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．
11．在直三棱柱中，，，，，分別是，，，，的中點(diǎn)，給出下列四個(gè)判斷：
①平面；
②平面；
③平面；
④平面，
則錯(cuò)誤的序號(hào)為 ?、佗冖堋。?br />
【分析】連接、、、、、、、，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)結(jié)合假設(shè)法可判斷①②③④的正誤．
【解答】解：連接、、、、、、、，

所以，四邊形為平行四邊形，則 且，
、 分別為、的中點(diǎn)，則且，
故四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，故平面，
同理可證四邊形 為平行四邊形，則，，
則四邊形為平行四邊形，所以，，
平面，平面，則平面，
，故平面平面，平面，則平面，③對(duì)；
對(duì)于①，若平面，，則平面平面，
因?yàn)檫^點(diǎn)且與平面平行的平面只有一個(gè)，矛盾，故①錯(cuò)，
同理可知，②④均錯(cuò)．
故答案為：①②④．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行，考查學(xué)生的推理能力，屬于中檔題．
四．解答題（共5小題）
12．如圖，已知棱柱的底面是平行四邊形，且側(cè)面均為正方形，為棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．
（1）作出面與面的交線并證明．
（2）求證：面．

【分析】（1）做輔助線，證得，則，，，四點(diǎn)共面，所以為平面與平面的交線；
（2）連接，，利用中位線定理證得，利用直線與平面判定定理證明即可．
【解答】（1）證明：設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，
連，，，為所求交線，

，，為，，中點(diǎn)，
，且，
四邊形為平行四邊形，
，
，
，即，，，四點(diǎn)共面，
平面平面．
（2）證明：

連接，，為中點(diǎn)，
過點(diǎn)，且為中點(diǎn)，
又為中點(diǎn)，
，
平面，平面，
平面．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與平面平行的證明，熟練運(yùn)用直線與平面判定定理是解決本題的關(guān)鍵．
13．如圖所示，已知四邊形是正方形，四邊形是矩形，是線段的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）若平面平面，平面平面，試分析與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【分析】（1）令，連接，證明，再利用線面平行的判定推理作答；
（2），利用（1）的結(jié)論，結(jié)合線面平行的性質(zhì)、平行公理推理作答．
【解答】（1）證明：

令，連接，
四邊形為矩形，、分別為、中點(diǎn)，
，且，
四邊形為平行四邊形，
，
平面，平面，
平面．
（2），
由（1）知平面，
又平面，平面平面，
，
平面，平面，平面平面，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，是中檔題．
14．如圖，在三棱柱中，，，分別為，，的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面．

【分析】（1）利用線線平行證線面平行；
（2）利用線面平行證面面平行．
【解答】（1）證明：因?yàn)槠矫?，，所以平面?br /> （2）證明：因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所以?br /> 又因?yàn)槠矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?br /> 所以平面平面．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明與面面平行的證明，屬基礎(chǔ)題．
15．如圖，，分別是空間四邊形的邊，的中點(diǎn)，，分別是，上的點(diǎn)，且，，，四點(diǎn)共圓．
（1）求證：平面；
（2）求證：．

【分析】（1）結(jié)合線面平行的判定定理來證得結(jié)論成立；
（2）結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理來證得結(jié)論成立．
【解答】證明：（1）因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）因?yàn)?，平面，平面?br /> 所以平面，
又平面，平面平面，
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
16．如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，，，分別是，，的中點(diǎn)．
（1）求證：直線平面；
（2）為線段上一點(diǎn)，且，求證：平面．

【分析】（1）要證明線面平行，需證明線線平行，即轉(zhuǎn)化為證明；
（2）要證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證明面面平行，根據(jù)判斷定理轉(zhuǎn)化為證明平面平面．
【解答】證明：（1）連接，在三角形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，
平面，平面，所以平面
（2）連接，，分別是，的中點(diǎn)，
又平面，平面，平面
由（1）得平面，平面，平面，
平面平面
又平面，平面．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、面面平行的判定和正方體的截面的做法和面積求法，考查轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．



一．選擇題（共1小題）
17．已知正方體的棱長為2，為正方形內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），、分別是棱、棱的中點(diǎn)．若平面，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【分析】作輔助線，證明平面平面，說明線段即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡，由此求得的長，即可求得答案．
【解答】解：連接，，則，平面，
故平面，
設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，
由于分別是棱的中點(diǎn)，故，，
則四邊形為平行四邊形，故，
平面，故平面，
又，，平面，
故平面平面，
由于平面，故平面，
又因?yàn)闉檎叫蝺?nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且平面平面，
故即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡，
而，故的取值范圍是，．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，空間想象能力的培養(yǎng)等知識(shí)，屬于中等題．
二．多選題（共1小題）
18．在三棱柱中，，，，分別為，，，中點(diǎn)，為△重心，則　　
A．平面 B．平面
C．，為異面直線 D．，為異面直線
【分析】可將三棱柱特殊化，直三棱柱的底面以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，設(shè)邊長，建立直角坐標(biāo)系求解．
【解答】解：由題意可將三棱柱特殊化，
設(shè)直三棱柱的底面以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為，，軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，，1，，，
對(duì)于選項(xiàng)，，取平面的法向量，0，，
因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)，，，
設(shè)平面的法向量，，，
由，令，則平面的法向量，1，，
因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)，，
若四點(diǎn)共面，則，與是非零向量矛盾，所以，不共面，即為異面直線，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)，，
則，所以，為共面直線，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的判斷以及空間中兩直線的位置關(guān)系，屬于中檔題．
三．填空題（共2小題）
19．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，是側(cè)面正方形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是 　?。?br />
【分析】取的中點(diǎn)，連接，，，由正方體的幾何特征，易證平面平面，再根據(jù)是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），且平面，得到點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，然后在等腰中求解．
【解答】解：如圖所示：

取的中點(diǎn)，連接，，，
在正方體中，易得，
又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br /> 同理證得平面，又因?yàn)椋?br /> 所以平面平面，
因?yàn)槭莻?cè)面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），且平面，
所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，
如圖所示：

在等腰中，作，且，
所以，
設(shè)點(diǎn)到線段的距離為，
由等面積法，得，解得，
所以線段長度的取值范圍是，
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了面面平行的判定定理和性質(zhì)，空間距離的取值范圍問題，屬于中檔題．
20．如圖所示，在長方體中，若，，分別是，的中點(diǎn)，①與垂直；②平面；③與所成的角為；④平面．則以上結(jié)論中成立的是?、佗堋。?br />
【分析】觀察正方體的圖形，連，則交于且為中點(diǎn)，推出；分析判斷①④正誤；直線與平面垂直的判定定理判斷②的正誤；異面直線所成的角判斷③的正誤．
【解答】解：連，則交于且為中點(diǎn)，
在三角形中，，所以平面，故①正確；
不垂直平面，所以②平面，故②不正確；
與所成角就是，故③不正確；
由，得，所以平面，故④正確．
故答案為：①④．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是中檔題．



一．解答題（共4小題）
21．如圖所示，矩形所在的平面，、分別是、的中點(diǎn)．
（1）求證：平面．
（2）求證：．

【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，．推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而．由此能證明平面．
（2）由平面，得，又，從而平面，進(jìn)而，再由，能證明．
【解答】證明：（1）取的中點(diǎn)，連接，．
，分別是，中點(diǎn)，，
又，是中點(diǎn)，
，，
四邊形是平行四邊形，．
平面，平面，
平面．（6分）
（2）平面，，又，
平面，，
又，．（12分）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、線線垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．
22．如圖所示，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，分別為，，的中點(diǎn)．
（1）求證：平面平面；
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）推導(dǎo)出，，由此能證明平面平面．
（2）取中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而，由此能求出平面，且．
【解答】證明：（1）在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，分別為，，的中點(diǎn)，
，，
，，且、平面，、平面，
平面平面．
解：（2）線段上存在一點(diǎn)，使得平面，且．
證明如下：
取中點(diǎn)，連接、，
、、分別是、、的中點(diǎn)，，
，四邊形是平行四邊形，，
平面，平面，
平面，且．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面平行的證明，考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定及求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．
23．如圖，在三棱柱中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，求證：
（1）平面平面；
（2）、、三線共點(diǎn)．

【分析】（1）由已知條件條件出平面，平面，由此能證明平面平面平面；
（2）與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，證明直線，即可證明、、三線共點(diǎn)．
【解答】證明：（1），分別為，的中點(diǎn)，，
平面，平面，
平面．
與平行且相等，
四邊形是平行四邊形，
，
平面，平面，
平面．
，平面平面．
（2），，
與必相交，
設(shè)交點(diǎn)為，
則由，平面，得平面，
同理平面，
又平面平面，
直線，、、三線共點(diǎn)．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面與平面平行的證明，考查直線位置關(guān)系，是中檔題，
24．如圖所示，在正方體中，、、、分別是、、、的中點(diǎn)．求證：
（1）；
（2）平面；
（3）平面平面．

【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，四邊則是平行四邊形，即可證明；
（2）取的中點(diǎn)，易證四邊形為平行四邊形，故有，從而證明平面．
（3）由正方體得，由四邊形是平行四邊形，可得，可證 平面平面．
【解答】證明：（1）取的中點(diǎn)，連接、，四邊則是平行四邊形，
．
又，．
（2）取的中點(diǎn)，連接、，則，．
又，，
，，
四邊形是平行四邊形，．
又平面，平面．
（3）由（1）知，又，、平面，、平面，且，，平面平面．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查證面面平行、線面平行的方法，直線與平面平行的判定、性質(zhì)的應(yīng)用，取的中點(diǎn)，是解題的突破口．

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