【知識梳理】
知識點一 平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角
【知識點的知識】
1、向量的夾角概念：
對于兩個非零向量，如果以O為起點，作＝，＝，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量與向量的夾角，其中0≤θ≤π．
2、向量的數(shù)量積概念及其運算：
（1）定義：如果兩個非零向量，的夾角為θ，那么我們把||||csθ叫做與的數(shù)量積，記做
即：＝||||csθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：?＝0．
注意：
① 表示數(shù)量而不表示向量，符號由csθ決定；
②符號“?”在數(shù)量積運算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在運用數(shù)量積公式解題時，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一個數(shù)量||csθ，它可以為正，可以為負，也可以為0
（3）坐標計算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則＝x1x2+y1y2，
3、向量的夾角公式：
4、向量的模長：
5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||csθ的積．
知識點二 平面向量的基本定理
【知識點的知識】
1、平面向量基本定理內(nèi)容：
如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)任一，有且僅有一對實數(shù)λ1、λ2，使．
2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．
3、說明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．
（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
知識點三 平面向量的正交分解及坐標表示
【知識點的知識】
1、平面向量的正交分解：
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2、平面向量的坐標表示：
若、為平面直角坐標系中與x軸、y軸同向的單位向量，則對于平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對實數(shù)x，y，使得＝x+y，使得＝x+y，我們把（x，y）稱為的坐標．表達式為＝x+y＝（x，y）
知識點四 平面向量的坐標運算
【知識點的知識】
平面向量除了可以用有向線段表示外，還可以用坐標表示，一般表示為＝（x，y），意思為以原點為起點，以（x，y）為終點的向量，它的模為d＝．若＝（m，n），則+＝（x+m，y+n），則﹣＝（x﹣m，y﹣n）；?＝（xm，ny），λ＝（λx，λy）．
【典型例題分析】
例：已知平面向量滿足：，，且，則向量的坐標為 （4，2）或（﹣4，﹣2） ．
解：根據(jù)題意，設＝（x，y），若，有＝0，則﹣x+2y＝0，①，
若，x2+y2＝20，②，聯(lián)立①②，可得，
解可得或，則＝（4，2）或（﹣4，﹣2）；故答案為（4，2）或（﹣4，﹣2）．
這個題就是考察了向量的坐標運算，具體的可以先設＝（x，y），根據(jù)題意，由，可得﹣x+2y＝0，①，由，可得x2+y2＝20，②，聯(lián)立①②兩式，解可得x、y的值，即可得的坐標．這也是常用的一種方法．
知識點五 平面向量共線（平行）的坐標表示
【知識點的知識】
平面向量共線（平行）的坐標表示：
設＝（x1，y1），＝（x2，y2），則∥（≠）?x1y2﹣x2y1＝0．
一．選擇題（共12小題）
1．已知點，，向量，則向量
A．B．C．D．
2．已知向量，則等于
A．B．C．D．
3．已知向量，，若，則實數(shù)
A．1B．C．D．
4．已知向量，，且，那么實數(shù)的值是
A．B．C．D．1
5．已知向量，，．若，則
A．B．C．D．
6．已知，，若，則等于
A．4B．C．D．2
7．已知向量、滿足，，則
A．1B．3C．5D．7
8．已知，滿足，，，則
A．B．C．D．
9．平面向量與的夾角為，，，則等于
A．B．C．4D．12
10．已知向量，，且與的夾角，則
A．B．C．D．
11．在中，角，，所對的邊分別為，，，，，是內(nèi)切圓的圓心，若，則的值為
A．B．C．D．
12．在正方形中，為的中點，為的中點，則
A．B．C．D．
二．填空題（共6小題）
13．已知，則的取值范圍是 ．
14．已知向量，，則 ．
15．已知，是兩個單位向量，設，且滿足，若，則 ．
16．已知平面向量，若與反向共線，則實數(shù)的值為 ．
17．已知向量，，若，則實數(shù) ．
18．已知，若、，則點坐標為 ．
19．已知平面向量滿足，與的夾角為，記，則的取值范圍為
A．B．C．，D．
20．已知平面向量，，與不共線），滿足，，設，則的取值范圍為
A．B．C．，D．，
21．在中，，，，若點為邊所在直線上的一個動點，則的最小值為
A．B．C．D．
22．如圖，在中，是線段上的一點，且，過點的直線分別交直線，于點，，若，，則的最小值是
A．B．C．D．
二．填空題（共2小題）
23．已知平面向量，，且，．若平面向量滿足，則的最大值 ．
24．已知夾角為的向量，滿足，，若，，則的最小值為
25．已知是單位向量，向量，滿足，，且，設，當時，則 ．
26．已知正方形的邊長為2，對角線，相交于點，動點滿足，若，其中，．則的最大值為 ．
27．已知，，，，若關于的方程有三個不相等實根，則實數(shù)的取值范圍為 ．

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