第01練  空間向量及其運(yùn)算、空間向量基本定理【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一 向量的概念與向量的模【向量概念】既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量．【向量的幾何表示】用有向線段表示向量，有向線段的長(zhǎng)度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，例如、，…字母表示，用小寫字母、，…表示．有向向量的長(zhǎng)度為模，表示為||、||，單位向量表示長(zhǎng)度為一個(gè)單位的向量；長(zhǎng)度為0的向量為零向量．【向量的?！?/span>的大小，也就是的長(zhǎng)度（或稱模），記作||．【零向量】長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作，零向量的長(zhǎng)度為0，方向不確定．【單位向量】長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）．【相等向量】長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．知識(shí)點(diǎn)二 平行向量（共線）1、平行向量：    方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直線平行或重合），則可即位∥∥，任一組平行向量都可移動(dòng)到同一條直線上，因此平行向量又叫共線向量，任一向量都與它自身是平行向量，并且規(guī)定，零向量與任一向量平行．2、共線向量：    如果幾個(gè)向量用同一個(gè)起點(diǎn)的有向線段表示后，這些有向線段在同一條直線上，這樣的一組向量稱為共線向量．零向量與任一向量共線．說(shuō)明：（1）向量有兩個(gè)要素：大小和方向．（2）向量與向量共線的充要條件是：向量a與向量b的方向相同或相反，或者有一個(gè)是零向量．     共線向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．知識(shí)點(diǎn)三 兩向量的和或差的模的最值【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】    向量的雖然有大小和方向，但也還是可以進(jìn)行加減．就像速度是可以加減的一樣，向量相加減之后還是向量．當(dāng)兩個(gè)向量相加時(shí)，有|+|≤||+||，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相同時(shí)取得到等號(hào)；也有|+|≥|||﹣|||，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時(shí)取得到等號(hào)．    另外還有|﹣|≤||+||，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時(shí)取得到等號(hào)．；|﹣|≥|||﹣|||，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相同時(shí)取得到等號(hào)．知識(shí)點(diǎn)四 向量數(shù)乘和線性運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】（1）實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作λ，它的大小為|λ|＝|λ|||，其方向與λ的正負(fù)有關(guān)．若|λ|≠0，當(dāng)λ＞0時(shí)，λ的方向與的方向相同，當(dāng)λ＜0時(shí)，λ的方向與的方向相反．當(dāng)λ＝0時(shí)，λ與平行．對(duì)于非零向量a、b，當(dāng)λ≠0時(shí)，有∥?＝λ （2）向量數(shù)乘運(yùn)算的法則①1＝；（﹣1）＝；②（λμ）＝λ（μ）＝μ（λ）；③（λ+μ）＝λ+μ；④λ（+）＝λ+λ．一般地，λ+μ叫做，的一個(gè)線性組合（其中，λ、μ均為系數(shù)）．如果＝λ+μ，則稱可以用，線性表示．1．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）已知向量，則“存在實(shí)數(shù)，使得”是“共線”的　　A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量共線的判定定理，即可求解．【解答】解：存在實(shí)數(shù)，使得，則共線，故充分性成立，共線，當(dāng)為零向量時(shí)，，不一定成立，故必要性不成立，故“存在實(shí)數(shù)，使得”是“共線”的充分而不必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的判定定理，屬于基礎(chǔ)題．2．（2022?江西模擬）已知向量，且，則　　A． B．1 C． D．2【分析】由已知條件結(jié)合向量模的求法可得，再代入坐標(biāo)運(yùn)算即可求解．【解答】解：由題意可得，即，可得，又，，即有，解得，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量模的求法，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022?洛陽(yáng)模擬）已知向量，，則“”是“”的　　A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的平行公式，即可求解．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，，，，故充分性成立，向量，，則，解得，或，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的平行公式，屬于基礎(chǔ)題．4．（2022?遼寧模擬）已知點(diǎn)為的重心，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則為　　A．2 B． C． D．【分析】由已知可得，，然后根據(jù)向量模的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解．【解答】解：由已知可得，，所以，所以，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的概念以及模的運(yùn)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2022?烏魯木齊模擬）若平面向量與方向相同，且，則　　A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意可設(shè)，且，再根據(jù)模長(zhǎng)公式列方程求出即可．【解答】解：因?yàn)?/span>與方向相同，可設(shè)，且，又因?yàn)?/span>，所以，解得，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的共線定理與數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．6．（2022?榆林二模）已知，，則　　A．2 B．4 C． D．【分析】由，兩邊平方可得，再由向量展開代入求解即可．【解答】解：由題意，可得，即，又，，代入可得，解得，所以，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的線性運(yùn)算和模的求法，是基礎(chǔ)題．7．（2021?浙江模擬）已知為單位向量，向量滿足，則的最大值為　　A． B．2 C． D．3【分析】由可知，所以的終點(diǎn)的軌跡是以的終點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，的最大值是圓心與的終點(diǎn)之間的距離加上半徑，即為，再將其化成，的模和夾角可解得．【解答】解：設(shè)與的夾角，由可知，所以的終點(diǎn)的軌跡是以的終點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，的最大值是圓心與的終點(diǎn)之間的距離加上半徑，即為．．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算、向量模、向量和差幾何意義，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于難題．8．（2022?呂梁一模）在中，為的中點(diǎn)，，，與交于，，則　　A． B． C． D．【分析】由，結(jié)合點(diǎn)、、三點(diǎn)共線求解即可．【解答】解：由中，為的中點(diǎn)，，，與交于，，則，由點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，則，解得，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了三點(diǎn)共線的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．9．（2021?新鄉(xiāng)二模）在中為邊的中點(diǎn)，則　　A． B． C． D．【分析】由于為邊的中點(diǎn)，可得，結(jié)合已知即可求解向量，的關(guān)系式．【解答】解：因?yàn)?/span>為邊的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>，所以，則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的運(yùn)算，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．二．填空題（共6小題）10．（2022?呼和浩特一模）已知菱形的邊長(zhǎng)為3，，點(diǎn)，分別在邊，上，且滿足，則　3　．【分析】根據(jù)題意，有菱形的性質(zhì)可得，由數(shù)乘向量的性質(zhì)可得是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則有，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，菱形的邊長(zhǎng)為2，，則，必有，又由，，則是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則，，則，而，則，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用，涉及向量加法的定義，屬于基礎(chǔ)題．11．（2022?惠農(nóng)區(qū)校級(jí)三模）設(shè)，是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量與的方向相反，則　　．【分析】向量與的方向相反，直接列出關(guān)系式，根據(jù)向量相等，求出的值．【解答】解：向量與的方向相反，可得，，，得，．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查相等向量與相反向量，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．12．（2021?貴溪市校級(jí)模擬）若向量，則向量與向量共線．　對(duì)　（判斷對(duì)錯(cuò)）【分析】根據(jù)平面向量的共線定理，判斷即可．【解答】解：向量，根據(jù)平面向量的共線定理知，向量與向量共線．故答案為：對(duì)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的共線定理應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．13．（2021?蕪湖模擬）已知，，是單位向量，，則　　．【分析】由得，兩邊平方得值，可求得值．【解答】解：由得，，，，是單位向量，得，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量和差、數(shù)量積、模的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（2022?重慶模擬）點(diǎn)在內(nèi)部，滿足，則　　．【分析】分別延長(zhǎng)至，至，至，使，，，結(jié)合題意得出是的重心，，再計(jì)算與的面積比．【解答】解：根據(jù)題意，分別延長(zhǎng)至，至，至，使，，，如圖所示：由，得，所以點(diǎn)是的重心，所以，設(shè)，則，，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形面積計(jì)算問(wèn)題，也考查了三角形重心的性質(zhì)以及平面向量在幾何中的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．15．（2022?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)三模）在中，，．是邊上的中點(diǎn)，則的值為　　．【分析】把和代入要求的式子化簡(jiǎn)可得結(jié)果．【解答】解：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，求向量的模的方法，把要求的式子化為，是解題的關(guān)鍵．   16．（2020?濱州三模）已知是三角形內(nèi)部一點(diǎn)，滿足，，則實(shí)數(shù)　　A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)條件可以得出，并設(shè)，這樣即可得出，，三點(diǎn)共線，畫出圖形，并得到，從而解出的值．【解答】解：如圖，令，則：，，三點(diǎn)共線；與共線反向，；；解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)乘運(yùn)算，，，三點(diǎn)共線的充要條件：，且，共線向量基本定理，三角形的面積公式．17．（2017?寶雞三模）已知點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，，是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值為　　A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由題意畫出圖形，把用向量與表示，再利用向量模的運(yùn)算性質(zhì)求得的最大值．【解答】解：由，得，即，為外接圓的直徑，如圖所示；設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，則，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，，當(dāng)與共線時(shí)，取得最大值7；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，也考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．18．（2020?天津）如圖，在四邊形中，，，，且，，則實(shí)數(shù)的值為　　，若，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為　　．【分析】以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的平行和向量的數(shù)量積即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，再設(shè)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，根據(jù)向量的數(shù)量積可得關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值．【解答】解：以為原點(diǎn)，以為軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，設(shè)，，，，，，，解得，，，，，，，，設(shè)，則，其中，，，，，，當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值為，故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，考查了向量的共線和向量的數(shù)量積，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．19．（上海）已知平面向量、、滿足，且，，，2，，則的最大值是　　．【分析】分別以所在的直線為，軸建立直角坐標(biāo)系，分類討論：當(dāng)，，，，設(shè)，則，則，有的最大值，其幾何意義是圓上點(diǎn)與定點(diǎn)的距離的最大值；其他情況同理，然后求出各種情況的最大值進(jìn)行比較即可．【解答】解：分別以所在的直線為，軸建立直角坐標(biāo)系，①當(dāng)，，，，則，設(shè)，則，，的最大值，其幾何意義是圓上點(diǎn)與定點(diǎn)的距離的最大值為；②且，，，，則，，的最大值，其幾何意義是圓上點(diǎn)與定點(diǎn)的距離的最大值為，③，，，，則，設(shè)，則的最大值，其幾何意義是在圓上取點(diǎn)與定點(diǎn)的距離的最大值為，故的最大值為．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的模的求解，解題的關(guān)鍵是圓的性質(zhì)的應(yīng)用：在圓外取一點(diǎn)，使得其到圓上點(diǎn)的距離的最大值：為該圓的半徑，為該點(diǎn)與圓心的距離）．20．（2019?廣元模擬）在中，，，，設(shè)點(diǎn)，滿足，，，若，則　　A． B． C． D．2【分析】如圖所示，由，可得．又，，．可得，展開利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：如圖所示，，．又，，．，，在中，，，，，，，，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量三角形法則及其應(yīng)用、向量共線定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21．（2013?浙江模擬）已知中，，，點(diǎn)是線段（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，且，則的取值范圍是　，　．【分析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)，，，．由，可得．由向量的平行四邊形法則可得：，可得，，．利用數(shù)量積的性質(zhì)可得，可得，即．又，可得，于是，進(jìn)而得出．【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)，，，．，．，，，．，，，，即．若，，那么、、三點(diǎn)共線，即為和交點(diǎn)，此時(shí)，矛盾，舍去．又，，，，，．，即．（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號(hào)）．綜上可知：．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了向量的平行四邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題． 

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