學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握橢圓的幾何性質(zhì)，了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b，c的幾何意義.2.會(huì)用橢圓的幾何意義解決相關(guān)問題．
導(dǎo)語
與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質(zhì)一樣，我們利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點(diǎn)等．
一、橢圓的幾何性質(zhì)
問題1 觀察橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對稱性？橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊？
提示 范圍：－a≤x≤a，－b≤y≤b；對稱性：對稱軸為x軸，y軸，對稱中心為原點(diǎn)；
頂點(diǎn)：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．
知識(shí)梳理
注意點(diǎn)：
(1)橢圓的焦點(diǎn)一定在它的長軸上．
(2)橢圓上到中心的距離最小的點(diǎn)是短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，到中心的距離最大的點(diǎn)是長軸的兩個(gè)端點(diǎn)．
(3)橢圓上到焦點(diǎn)的距離最大和最小的點(diǎn)分別是長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，最大值為a＋c，最小值為a－c.
問題2 觀察圖，我們發(fā)現(xiàn)，不同橢圓的扁平程度不同，扁平程度是橢圓的重要形狀特征，你能用適當(dāng)?shù)牧慷靠坍嫏E圓的扁平程度嗎？這個(gè)定量對橢圓的形狀有何影響？
提示 利用離心率e＝eq \f(c,a)來刻畫橢圓的扁平程度．
如圖所示，在Rt△BF2O中，cs∠BF2O＝eq \f(c,a)，記e＝eq \f(c,a)，則00)．
如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
所以c＝b＝3，
所以a2＝b2＋c2＝18，
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由題意，得a＝3，
因?yàn)閑＝eq \f(\r(6),3)，所以c＝eq \r(6)，從而b2＝a2－c2＝3，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1；
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)，
由題意，得b＝3，
因?yàn)閑＝eq \f(\r(6),3)，
所以eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(6),3)，
把b＝3代入，得a2＝27，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1.
綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,27)＋eq \f(x2,9)＝1.
反思感悟 利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟
(1)確定焦點(diǎn)位置．
(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)．
(4)寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長的和為18，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______________．
答案 eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1
解析 由題意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋2b＝18，,c＝3，,a2＝b2＋c2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝4.))
因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
(2)已知橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的長軸長為6，且cs∠OFA＝eq \f(2,3)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________．
答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1或eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,9)＝1
解析 因?yàn)闄E圓的長軸長是6，cs∠OFA＝eq \f(2,3)，所以點(diǎn)A不是長軸的端點(diǎn)(是短軸的端點(diǎn))．
所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，
所以eq \f(c,3)＝eq \f(2,3)，所以c＝2，b2＝32－22＝5，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1或eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,9)＝1.
三、求橢圓的離心率
例3 設(shè)橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為________．
答案 eq \f(\r(3),3)
解析 方法一 由題意可設(shè)|PF2|＝m，結(jié)合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝eq \r(3)m，故離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(|F1F2|,|PF1|＋|PF2|)＝eq \f(\r(3)m,2m＋m)＝eq \f(\r(3),3).
方法二 由PF2⊥F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，將x＝c代入橢圓方程可解得y＝±eq \f(b2,a)，所以|PF2|＝eq \f(b2,a).又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝eq \r(3)|PF2|，故2c＝eq \r(3)·eq \f(b2,a)，變形可得eq \r(3)(a2－c2)＝2ac，等式兩邊同除以a2，得eq \r(3)(1－e2)＝2e，解得e＝eq \f(\r(3),3)或e＝－eq \r(3)(舍去)．
延伸探究
1．若將本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改為“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的離心率．
解 在△PF1F2中，
∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，
∴∠F1PF2＝60°，
設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，
則在△PF1F2中，有eq \f(m,sin 75°)＝eq \f(n,sin 45°)＝eq \f(2c,sin 60°)，
∴eq \f(m＋n,sin 75°＋sin 45°)＝eq \f(2c,sin 60°)，
∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2c,2a)＝eq \f(sin 60°,sin 75°＋sin 45°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),2).
2．若將本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改為“C上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2為鈍角”，求C的離心率的取值范圍．
解 由題意，知c>b，∴c2>b2.
又b2＝a2－c2，
∴c2>a2－c2，即2c2>a2.∴e2＝eq \f(c2,a2)>eq \f(1,2)，
∴e>eq \f(\r(2),2)，又00)，則由橢圓的定義，可得|MF1|＋|MF2|＝|NF1|＋|NF2|＝2a.由△MF2N的周長為20，可得4a＝20，即a＝5.過點(diǎn)F1作直線與橢圓相交，當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，弦長最短，令x＝－c，代入橢圓的方程，可得y＝±eq \f(b2,a)，即eq \f(2b2,a)＝eq \f(18,5)，解得b2＝9，所以c＝eq \r(a2－b2)＝4，所以橢圓的離心率為e＝eq \f(c,a)＝eq \f(4,5).
1．知識(shí)清單：
(1)橢圓的簡單幾何性質(zhì)．
(2)由橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程．
(3)求橢圓的離心率．
2．方法歸納：分類討論、方程法(不等式法)．
3．常見誤區(qū)：忽略橢圓離心率的范圍0＜e＜1及長軸長與a的關(guān)系．
1．(多選)已知橢圓C：16x2＋4y2＝1，則下列結(jié)論正確的是( )
A．長軸長為eq \f(1,2)
B．焦距為eq \f(\r(3),4)
C．焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\f(\r(3),4)))
D．離心率為eq \f(\r(3),2)
答案 CD
解析 由橢圓方程16x2＋4y2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得eq \f(x2,\f(1,16))＋eq \f(y2,\f(1,4))＝1，
所以a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,4)，c＝eq \f(\r(3),4) ，
所以長軸長為2a＝1，焦距為2c＝eq \f(\r(3),2)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\f(\r(3),4)))，離心率為e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).
2．已知橢圓的離心率為eq \f(1,2)，焦點(diǎn)是(－3,0)和(3,0)，則該橢圓的方程為( )
A.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1 B.eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,36)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1
答案 A
解析 由題意知c＝3，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
則a＝6，∴b2＝a2－c2＝27，
∴橢圓的方程為eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1.
3．若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),4) D.eq \f(\r(6),4)
答案 A
解析 不妨設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，B為橢圓的上頂點(diǎn)．
依題意可知，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，
|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cs 60°＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
即橢圓的離心率e＝eq \f(1,2).
4．若橢圓C：eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,m2－1)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，則C的長軸長為________．
答案 2eq \r(3)
解析 ∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，
∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1，
由于eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,m2－1)＝1表示的是橢圓，
則m>1，∴m＝2，
則橢圓方程為eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,2)＝1，
∴a＝eq \r(3)，2a＝2eq \r(3).
課時(shí)對點(diǎn)練
1．(多選)為使橢圓eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,m)＝1的離心率為eq \f(1,2)，正數(shù)m的值可以是( )
A．1 B.eq \r(3) C.eq \f(8,3) D.eq \f(3,2)
答案 CD
解析 當(dāng)00)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.
(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；
(2)若橢圓的焦距為2，且eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(—→))，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解 (1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝eq \r(2)c，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
(2)由題意知A(0，b)，F(xiàn)2(1,0)，
設(shè)B(x，y)，由eq \(AF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2B,\s\up6(—→))，
解得x＝eq \f(3,2)，y＝－eq \f(b,2).
代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，
得eq \f(\f(9,4),a2)＋eq \f(\f(b2,4),b2)＝1，即eq \f(9,4a2)＋eq \f(1,4)＝1，
解得a2＝3，
又c2＝1，所以b2＝2，
所以橢圓的方程為eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
11．(多選)阿基米德是古希臘數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長半軸長、短半軸長三者的乘積．據(jù)此得某橢圓面積為6eq \r(2)π，且兩焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1
C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1 D.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
答案 AD
解析 由題意可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(πab＝6\r(2)π，,2c＝\f(1,3)×2a，))
又a2＝b2＋c2，
解得a＝3，b＝2eq \r(2)，c＝1，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,8)＝1.
12．橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|＝5|PF2|，則此橢圓離心率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))
答案 C
解析 由題意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，
則|PF1|＝eq \f(5a,3)，|PF2|＝eq \f(a,3)，
∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|，
∴eq \f(4a,3)≤2c，e≥eq \f(2,3).
又eb>0)的焦距為2c，以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，過點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，0))作圓的兩切線互相垂直，則離心率e＝________.
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 如圖，切線PA，PB互相垂直，
又半徑OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，eq \f(a2,c)＝eq \r(2)a.解得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，
則離心率e＝eq \f(\r(2),2).
14．如圖，把橢圓eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的長軸AB八等分，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，…，P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P7F|的值為________．
答案 28
解析 設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F′，
由橢圓的幾何性質(zhì)可知|P1F|＝|P7F′|，
∴|P1F|＋|P7F|＝|P7F′|＋|P7F|＝2a，
同理可得|P2F|＋|P6F|＝|P3F|＋|P5F|＝2|P4F|＝2a，又a＝4，
故|P1F|＋|P2F|＋|P3F|＋…＋|P7F|＝7a＝28.
15．橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個(gè)角度，水面的邊界即是橢圓．現(xiàn)有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半(玻璃厚度忽略不計(jì))，在玻璃杯傾斜的過程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，1))
答案 C
解析 當(dāng)玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時(shí)，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，此時(shí)橢圓長軸長為eq \r(122＋62)＝6eq \r(5)(厘米)，短軸長為6厘米，
∴橢圓離心率e＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,6\r(5))))2)＝eq \f(2\r(5),5)，
∴e∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5))).
16．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周長為16，求|AF2|；
(2)若cs∠AF2B＝eq \f(3,5)，求橢圓E的離心率．
解 (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因?yàn)椤鰽BF2的周長為16，所以由橢圓定義可得4a＝16，
|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，故|AF2|＝8－3＝5.
(2)設(shè)|F1B|＝k，則k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由橢圓定義可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cs∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－eq \f(6,5)(2a－3k)(2a－k)．
化簡可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2為等腰直角三角形．
從而c＝eq \f(\r(2),2)a，所以橢圓E的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范圍
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
軸長
短軸長＝2b，長軸長＝2a
焦點(diǎn)
(±eq \r(a2－b2)，0)
(0，±eq \r(a2－b2))
焦距
|F1F2|＝2eq \r(a2－b2)
對稱性
對稱軸：x軸、y軸 對稱中心：原點(diǎn)

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.1 橢圓第2課時(shí)學(xué)案

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊第三章 圓錐曲線的方程3.1 橢圓導(dǎo)學(xué)案及答案

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.1 橢圓學(xué)案

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

3.1 橢圓

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊

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