本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊》人教A版（2019）第五章《三角函數(shù)》的第二節(jié)《三角函數(shù)的概念》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：
二、學(xué)情分析
本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生學(xué)習(xí)了任意角和弧度制，任意角的三角函數(shù)后，安排的一節(jié)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)內(nèi)容，是求三角函數(shù)值、化簡三角函數(shù)式、證明三角恒等式的基本工具，是整個(gè)三角函數(shù)知識的基礎(chǔ)，在教材中起承上啟下的作用。同時(shí)，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想與方法在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起重要作用。
三、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.能根據(jù)三角函數(shù)的定義推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)
2.掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并能根據(jù)一個(gè)角的三角函數(shù)值，求其它三角函數(shù)值，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；
3.會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡、求值與恒等式證明，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。
四、教學(xué)重點(diǎn)
重點(diǎn)：理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用；
難點(diǎn)：會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行化簡、求值與恒等式證明．
五、教學(xué)過程
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
氣象學(xué)家洛倫茲1963年提出一種觀點(diǎn)：南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶，偶爾扇動(dòng)幾下翅膀，可能在兩周后引起美國德克薩斯的一場龍卷風(fēng).這就是理論界聞名的“蝴蝶效應(yīng)”，此效應(yīng)本意是說事物初始條件的微弱變化可能會(huì)引起結(jié)果的巨大變化.蝴蝶扇翅膀成為龍卷風(fēng)的導(dǎo)火索.從中我們還可以看出，南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶與北美德克薩斯的龍卷風(fēng)看來是毫不相干的兩種事物，卻會(huì)有這樣的聯(lián)系，這也正驗(yàn)證了哲學(xué)理論中事物是普遍聯(lián)系的觀點(diǎn).
想一想：既然感覺毫不相干的事物之間都是相互聯(lián)系的，那么“同一個(gè)角”的三角函數(shù)之間有沒有關(guān)系呢？
提示：有.
2.探索交流，解決問題
設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),根據(jù)三角函數(shù)的定義知y=sin α,x=cs α, yx =tan α.
【探究1】能否根據(jù)x,y的關(guān)系得到sin α,cs α,tan α的關(guān)系?
【提示】sin2α＋cs2α＝1,eq \f(sin α,cs α)＝tan_α.
【探究2】公式sin2α＋cs2α＝1與eq \f(sin α,cs α)＝tan_α對任意角都成立嗎?
【提示】sin2α＋cs2α＝1對任意角α均成立,當(dāng)α≠kπ+ ,k∈Z時(shí),eq \f(sin α,cs α)＝tan_α 成立.
【設(shè)計(jì)意圖】通過復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義，用聯(lián)系的觀點(diǎn)引入本節(jié)新課，建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括推理的能力。
（二）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系：sin2α＋cs2α＝1；
(2)商數(shù)關(guān)系：eq \f(sin α,cs α)＝tan_α(α≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z)．
(3)文字?jǐn)⑹觯和粋€(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
【思考】“同角”一詞的含義是什么？
【提示】 一是“角相同”，如sin2α＋cs2β＝1就不一定成立．二是對任意一個(gè)角(在使得函數(shù)有意義的前提下)，關(guān)系式都成立，即與角的表達(dá)式形式無關(guān)，如sin215°＋cs215°＝1，sin2eq \f(π,19)＋cs2eq \f(π,19)＝1等．
【做一做1】已知α是第四象限角，cs α＝eq \f(12,13)，則sin α＝ .
【答案】 －eq \f(5,13)
【做一做2】sin2eq \f(θ,2)＋cs2eq \f(θ,2)＝ .
【答案】 1
【做一做3】已知3sin α＋cs α＝0，則tan α＝ .
【答案】－eq \f(1,3)
拓展：基本關(guān)系式的變形公式
sin2α＋cs2α＝1?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2α＝1－cs2α，,cs2α＝1－sin2α，,sin α＝±\r(1－cs2α)，,cs α＝±\r(1－sin2α)，,?sin α±cs α?2＝1±2sin αcs α.))
tan α＝eq \f(sin α,cs α)?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＝tan αcs α，,cs α＝\f(sin α,tan α).))
【設(shè)計(jì)意圖】通過探究讓學(xué)生理解探究三角函數(shù)的基本關(guān)系，提高學(xué)生分析問題的能力。
（三）典型例題
1.已知一個(gè)三角函數(shù)值求另兩個(gè)三角函數(shù)值
例1.已知cs α＝－eq \f(8,17)，角 α在第二象限，求sin α，tan α的值．
【解析】α是第二象限角時(shí)，sin α>0，tan α

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

5.2 三角函數(shù)的概念

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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