?課題：5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)（第3課時(shí)）
（一）教學(xué)內(nèi)容
　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及其應(yīng)用．
　　　　　
（二）教學(xué)目標(biāo)
1．通過三角函數(shù)的定義能推導(dǎo)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理素養(yǎng)
2.通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，能根據(jù)一個(gè)角的三角函數(shù)值，求其它三角函數(shù)值，發(fā)展學(xué)生分類討論的思想
3.通過靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的不同變形，能進(jìn)行化簡、求值與恒等式證明，發(fā)展學(xué)生計(jì)算素養(yǎng)。
（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
1.重點(diǎn)
理解并掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用；
2.難點(diǎn)
　　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變式應(yīng)用。
　　
（四） 教學(xué)過程
（一）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
導(dǎo)入語：此前我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，并從定義出發(fā)發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律，我們還從終邊相同的角的三角函數(shù)的關(guān)系入手發(fā)現(xiàn)了公式一．公式一表明，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．因?yàn)槿齻€(gè)三角函數(shù)的值都是由角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)所唯一確定的，所以它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系．那么，終邊相同的角的三個(gè)三角函數(shù)之間有什么關(guān)系呢？
問題1：如圖，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，那么，正弦線MP和余弦線OM的長度有什么內(nèi)在聯(lián)系？由此能得到什么結(jié)論？
師生活動(dòng)：學(xué)生觀察圖形，利用已學(xué)正余弦線知識(shí)和平面幾何知識(shí)得出結(jié)論。
設(shè)計(jì)意圖：從已有的知識(shí)出發(fā)，類比探索知識(shí)的延展，得到合理的猜想，為發(fā)現(xiàn)新知奠定基礎(chǔ)，體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。
問題2：上述關(guān)系反映了角α的正弦和余弦之間的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)等式的特點(diǎn)，將它稱為平方關(guān)系.那么當(dāng)角α的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，上述關(guān)系成立嗎？
師生活動(dòng)：學(xué)生觀察特殊位置，得到一致的結(jié)論。

設(shè)計(jì)意圖：通過討論，感知并理解公式的使用條件，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。
問題3：設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)，根據(jù)三角函數(shù)定義，有由此可得sinα，cosα，tanα滿足什么關(guān)系？
師生活動(dòng)：學(xué)生通過剛才的結(jié)論，寫出關(guān)系式，
設(shè)計(jì)意圖：再一次強(qiáng)化定義，又讓學(xué)生自己得出關(guān)系式，也有利于關(guān)系式的記憶。符合學(xué)生的認(rèn)知過程。運(yùn)用定義進(jìn)行嚴(yán)格證明，是解決數(shù)學(xué)問題的常用方法。
問題4：上述關(guān)系稱為商數(shù)關(guān)系，那么商數(shù)關(guān)系成立的條件是什么？
師生活動(dòng)：學(xué)生回答，對于分式，不要保證分母不為0。
設(shè)計(jì)意圖：通過討論，感知并理解公式的使用條件，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。
思考5：平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系是反映同一個(gè)角的三角函數(shù)之間的兩個(gè)基本關(guān)系，它們都是恒等式，如何用文字語言描述這兩個(gè)關(guān)系？
師生活動(dòng)：學(xué)生回答，同一個(gè)角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于角的正切．
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生由符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為文字語言，既深化對公式的認(rèn)識(shí)，又利于關(guān)系式的記憶。符合學(xué)生的認(rèn)知過程。

（二）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用
例1 已知，求，的值．
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后給出解答．對于本例在學(xué)生給出答案后，應(yīng)該要求學(xué)生總結(jié)解題步驟，明確這類題目應(yīng)該先根據(jù)條件判斷角所在的象限，確定各三角函數(shù)值的符號(hào)，再利用基本關(guān)系求解．在此基礎(chǔ)上，可以讓學(xué)生歸納用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值的問題類型．
設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)的認(rèn)識(shí)以及對同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的理解．
【解析】∵sin α＝－，α是第三、第四象限角，
當(dāng)α是第三象限角時(shí)，
cos α＝－＝－，tan α＝＝.
α是第四象限角時(shí)，
cos α＝＝，tan α＝＝-
教師提問：已知余弦是否能求出正弦和正切
已知正切是否能求出正弦和余弦
學(xué)生回答：可以
教師講解已知余弦和已知正切的步驟
教師總結(jié)：知一求二題型①已知正弦和已知余弦步驟一樣，先用平方關(guān)系再用商數(shù)關(guān)系
②已知正切時(shí)，先用商數(shù)關(guān)系，再用平方關(guān)系，其中用到了聯(lián)立方程組
③注意分類討論α終邊所在位置
　　例2 求證．
師生活動(dòng)：學(xué)生可能根據(jù)此前用到的分析法進(jìn)行證明，也可以用綜合法直接給出證明，教師板書證明過程．
設(shè)計(jì)意圖：本例實(shí)際上是的變形，采用分析法、綜合法都可以證明，還可以從不同方向進(jìn)行推導(dǎo)，可以要求學(xué)生至少給出兩種證明方法．

例3 已知，求的值．
師生活動(dòng)：學(xué)生經(jīng)過思考給出思路，可以利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系由和解出和的值，但是由于無法確定所在象限，因此無法判斷和的正負(fù)，若要求出代數(shù)式的值，需要進(jìn)行分類討論．教師在肯定了這個(gè)思路后進(jìn)行追問．
追問：有沒有其它的方法可以避免談?wù)摵偷姆?hào)，直接用到已知的取值來求出分式的值呢？
師生活動(dòng)：學(xué)生經(jīng)過思考回答，可以利用將代數(shù)式中和轉(zhuǎn)化為和常數(shù)．教師給予肯定并指出所求分式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可利用“齊次式”的特征對此類分式進(jìn)行化簡后求值．
設(shè)計(jì)意圖：通過本例了解“齊次式”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并能利用特定的方法進(jìn)行化簡．通過以上幾道例題加深了學(xué)生對三角函數(shù)基本性質(zhì)的理解，通過靈活運(yùn)用性質(zhì)的訓(xùn)練，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
（三）課時(shí)小結(jié)
教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本課時(shí)的內(nèi)容，并回答下面的問題：
（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系是什么？
（2）在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行化簡、求值及證明時(shí)要注意哪些問題？
（3）結(jié)合前一課時(shí)內(nèi)容，你能說說我們是從哪些角度入手發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的性質(zhì)的？
師生活動(dòng)：學(xué)生思考后給出解答．
（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，．
（2）在三角求值時(shí)，應(yīng)注意：①注意角所在象限；②一般涉及到開方運(yùn)算時(shí)要分類討論．在化簡時(shí)，應(yīng)注意化簡結(jié)果：①涉及的三角函數(shù)名稱要相對較少；②表達(dá)形式較簡單．證明恒等式時(shí)常用以下方法：①從一邊開始，證明它等于另一邊；②證明左右兩邊等于同一個(gè)式子；③分析法，尋找等式成立的條件．證明的指向一般是“由繁到簡”．
（3）借助單位圓，從三角函數(shù)的定義出發(fā)，我們從三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律、終邊相同的角的三角函數(shù)的關(guān)系入手發(fā)現(xiàn)了公式一和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．
設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧總結(jié)本課時(shí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法．在小結(jié)中，要注意引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)研究和發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)性質(zhì)的過程，為后續(xù)誘導(dǎo)公式二～五的學(xué)習(xí)做好鋪墊．
（六） 布置作業(yè)
教科書習(xí)題5.2 第6，11，12，13，14題．
六、目標(biāo)檢測設(shè)計(jì)
1．已知，且為第三象限角，求，的值．
設(shè)計(jì)意圖：考査學(xué)生利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系解決簡單的求值問題．
2．已知，求，的值．
設(shè)計(jì)意圖：考査學(xué)生利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值并進(jìn)行分類討論的能力．
3．化簡：
（1） ； （2）； （3） ．
設(shè)計(jì)意圖：考査學(xué)生利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行簡單的三角恒等變換的能力．
4．求證：．
設(shè)計(jì)意圖：考査學(xué)生利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系證明三角恒等式的能力．
（七）教學(xué)反思

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