本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學必修第一冊》人教A版（2019）第四章《指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》的第五節(jié)《函數(shù)的應用》（第三課時）。這節(jié)課的內(nèi)容突出了函數(shù)應用的廣泛性，加強函數(shù)與其他知識的聯(lián)系，函數(shù)模型的應用從現(xiàn)實背景中體現(xiàn)出了函數(shù)的應用價值。本節(jié)課旨在培養(yǎng)和發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學直觀、數(shù)學抽象、和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。
二、學情分析
學生已經(jīng)學習了函數(shù)的概念和性質(zhì)，學習了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及函數(shù)的零點，進一步研究各種函數(shù)模型的增長速度的差異，激發(fā)學生學習數(shù)學和應用數(shù)學的的意識，提升學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．
三、學習目標
1、會利用已知函數(shù)模型解決實際問題，提升學生數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).
2、能建立函數(shù)模型解決實際問題，培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和歸納問題的思維能力以及數(shù)學交流能力．
3、了解建立擬合函數(shù)模型的步驟，并了解檢驗和調(diào)整的必要性，提高學生應用數(shù)學的實際能力．
四、教學重點
重點：用函數(shù)建立數(shù)學模型解決實際問題的基本過程．
難點：選擇恰當?shù)暮瘮?shù)模型分析和解決實際問題．
五、教學過程
（一）新知導入
1. 創(chuàng)設情境，生成問題
愛因斯坦說過，復利的威力比原子彈還可怕.若每月堅持投資100元，40年之后將成為百萬富翁.也就是說隨著變量的增長，指數(shù)函數(shù)值的增長是非常迅速的，可以根據(jù)這一特點來進行資金的管理.例如，按復利計算利率的一種儲蓄，本金為a元，每期的利率為r，設本利和為y，存期為x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要寫出本利和y隨著存期x變化的函數(shù)式.假設存入的本金為1 000元，每期的利率為2.25%.
【想一想】五期后的本利和是多少？
提示：解決這一問題，首先要建立一個指數(shù)函數(shù)關(guān)系式，即y＝a(1＋r)x，將相應的數(shù)據(jù)代入該關(guān)系式就可得到五年期的本利和.
探索交流，解決問題
【問題1】 解決上述問題，首先要建立一個指數(shù)函數(shù)關(guān)系式，即y＝a(1＋r)x，將相應的數(shù)據(jù)代入該關(guān)系式就可得到五年期的本利和.
【思考1】1.實際問題中兩個變量之間一定是確定的函數(shù)關(guān)系嗎？
提示： 兩個變量之間可以有關(guān)系，但不一定是確定的函數(shù)關(guān)系.
2.函數(shù)模型中，要求定義域只需使函數(shù)式有意義就可以嗎？
提示： 函數(shù)模型中定義域必須滿足實際意義.
3.用函數(shù)模型預測的結(jié)果和實際結(jié)果必須相等嗎？
提示：擬合函數(shù)預測的結(jié)果近似的符合實際結(jié)果即可.
【設計意圖】
由問題引發(fā)學生思考，得出常見的函數(shù)模型，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。
（二）常見的函數(shù)模型
【做一做】 某商場在銷售空調(diào)旺季的4天內(nèi)的利潤如下表所示.
現(xiàn)構(gòu)建一個銷售這種空調(diào)的函數(shù)模型，應是下列函數(shù)中的( )
A.y＝lg2x B.y＝2x
C.y＝x2 D.y＝2x
解析：選B. 逐個檢驗可得答案為B.
【設計意圖】
通過具體的例子，讓學生對函數(shù)模型的應用有一個初步的了解。
（三）應用函數(shù)模型解決問題的基本過程
【思考2】1. 在選擇實際問題的函數(shù)模型時，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型嗎？
提示：不是的．
2.利用函數(shù)模型求實際應用問題的最值時，只要函數(shù)能取到最值就可以嗎？
提示：不是，要特別注意取得最值時的自變量與實際意義是否相符．
【設計意圖】
讓學生從問題中得出應用函數(shù)模型解決問題的基本過程，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)。
應用函數(shù)模型解決問題的基本過程
1．審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；
2．建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型；
3．求?！蠼鈹?shù)學模型，得出數(shù)學模型；
4．還原——將數(shù)學結(jié)論還原為實際問題的結(jié)論．
特別提醒：
一定要注意取得最值時的自變量與實際意義是否相符.
【做一做】 2014年我國人口總數(shù)約為14億，如果人口的自然年增長率控制在1.25%，則預計________年我國人口將首次超過20億(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1).
提示：設x年我國人口將超過20億，由已知條件，得14(1＋1.25%)x－2 014>20，x－2 014>eq \f(lg\f(10,7),lg\f(81,80))＝eq \f(1－lg 7,4lg 3－3lg 2－1)≈28.7，則x>2 042.7，即x＝2 043.
【設計意圖】
通過具體的例子，加深對知識點的理解.
（四）函數(shù)模型的應用
1.已知函數(shù)模型解決實際問題
例1. 目前某縣有100萬人，經(jīng)過x年后為y萬人．如果年平均增長率是1.2%，請回答下列問題：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(2)計算10年后該縣的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；
(3)計算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達到120萬(精確到1年)．
解：(1)當x＝1時，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
當x＝2時，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
當x＝3時，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；….
故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)當x＝10時，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.
故10年后該縣約有112.7萬人．
(3)設x年后該縣的人口總數(shù)為120萬，
即100×(1＋1.2%)x＝120，
解得x＝lg1.012eq \f(120,100)≈16.
故大約16年后該縣的人口總數(shù)將達到120萬．
【類題通法】1.指數(shù)函數(shù)模型
在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行復利、細胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)型函數(shù)模型表示，通常可以表示為y＝N(1＋p)x(其中N為基礎數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式．
2.對數(shù)函數(shù)模型
有關(guān)對數(shù)型函數(shù)的應用題一般都會給出函數(shù)關(guān)系式，要求根據(jù)實際情況求出函數(shù)關(guān)系式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入關(guān)系式求值，然后根據(jù)值回答其實際意義．
鞏固練習1. 我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v＝5lg2eq \f(O,10)，單位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．
(1)計算，當燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？
(2)當一只燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？
解：(1)由題意知，當燕子靜止時，它的速度v＝0，
代入題中公式，可得0＝5lg2eq \f(O,10)，解得O＝10個單位．
(2)將耗氧量O＝80代入題中公式，得v＝5lg2eq \f(80,10)＝5lg28＝15(m/s).
2.建立適當?shù)暮瘮?shù)模型解決實際問題
例2 . 某市“網(wǎng)約車”的現(xiàn)行計價標準是：路程在2 km以內(nèi)(含2 km)按起步價8元收取，超過2 km后的路程按1.9元/km收取，但超過10 km后的路程需加收50%的返空費(即單價為1.9×(1＋50%)＝2.85 元/km).
(1)將某乘客搭乘一次“網(wǎng)約車”的費用f(x)(單位：元)表示為行程x(0

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4.5 函數(shù)的應用（二）

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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