知識點一 幾類已知函數(shù)模型
知識點二 應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程
1．審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．
2．建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．
3．求模——求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型．
4．還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題．
1．實際問題中兩個變量之間一定有確定的函數(shù)關(guān)系．( × )
2．函數(shù)模型中，要求定義域只需使函數(shù)式有意義．( × )
3．用函數(shù)模型預(yù)測的結(jié)果和實際結(jié)果必須相等，否則函數(shù)模型就無存在意義了．( × )
4．在選擇實際問題的函數(shù)模型時，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型．( × )
5．利用函數(shù)模型求實際應(yīng)用問題的最值時，要特別注意取得最值時的自變量與實際意義是否相符．( √ )
一、指數(shù)型函數(shù)模型
例1 一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500 g，按每年10%衰減．
(1)求t年后，這種放射性元素的質(zhì)量w的表達式；
(2)由求出的函數(shù)表達式，求這種放射性元素的半衰期(結(jié)果精確到0.1)．
解 (1)最初的質(zhì)量為500 g.
經(jīng)過1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；
經(jīng)過2年，w＝500×0.92；
由此推知，t年后，w＝500×0.9t.
(2)由題意得500×0.9t＝250，即0.9t＝0.5，兩邊取以10為底的對數(shù)，
得lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，
∴t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.9)≈6.6.
即這種放射性元素的半衰期為6.6年．
反思感悟 在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行復(fù)利、細胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)型函數(shù)模型表示，通常可以表示為y＝N(1＋p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式．
跟蹤訓(xùn)練1 物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述，設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時間t后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示環(huán)境溫度，h稱為半衰期，現(xiàn)有一杯用88 ℃熱水沖的速溶咖啡，放在24 ℃的房間中，如果咖啡降溫到40 ℃需要20 min，那么降溫到32 ℃時，需要多長時間？
解 由題意知40－24＝(88－24)×，
即eq \f(1,4)＝，
解得h＝10，
故原式可化簡為T－24＝(88－24)×，
當T＝32時，代入上式，
得32－24＝(88－24)×，
即＝eq \f(8,64)＝eq \f(1,8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3，∴t＝30.
因此，需要30 min可降溫到32 ℃.
二、對數(shù)型函數(shù)模型
例2 2018年12月8日，我國的“長征”三號火箭成功發(fā)射了嫦娥四號探測器，這標志著中國人民又邁出了具有歷史意義的一步．火箭的起飛質(zhì)量M是箭體(包括搭載的飛行器)的質(zhì)量m(噸)和燃料質(zhì)量x(噸)之和．在不考慮空氣阻力的條件下，假設(shè)火箭的最大速度y(km/s)關(guān)于x(噸)的函數(shù)關(guān)系式為y＝k[ln(m＋x)－ln(eq \r(2)m)]＋4ln 2(其中k≠0)．當燃料質(zhì)量為(eq \r(e)－1)m噸時，該火箭的最大速度為4 km/s.
(1)求“長征”三號系列火箭的最大速度y與燃料質(zhì)量x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)已知“長征”三號火箭的起飛質(zhì)量M是479.8噸，則應(yīng)裝載多少噸燃料才能使火箭的最大飛行速度達到8 km/s？(結(jié)果精確到0.1噸，e取2.718)
解 (1)由題意得4＝k{ln [m＋(eq \r(e)－1)m]－ln(eq \r(2)m)}＋4ln 2，解得k＝8，
所以y＝8[ln(m＋x)－ln(eq \r(2)m)]＋4ln 2＝8ln eq \f(m＋x,m).
(2)由已知得M＝m＋x＝479.8，則m＝479.8－x，
又y＝8，則8＝8lneq \f(479.8,479.8－x)，解得x≈303.3.
故應(yīng)裝載大約303.3噸燃料，才能使火箭的最大飛行速度達到8 km/s.
反思感悟 對數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的基本類型和求解策略
(1)基本類型：有關(guān)對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)實際問題求解．
(2)求解策略：首先根據(jù)實際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入解析式求值，然后根據(jù)數(shù)值回答其實際意義．
跟蹤訓(xùn)練2 “學(xué)習(xí)曲線”可以用來描述學(xué)習(xí)某一任務(wù)的速度，假設(shè)函數(shù)t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(N,90)))中，t表示達到某一英文打字水平所需的學(xué)習(xí)時間，N表示每分鐘打出的字數(shù)．則當N＝40時，t＝________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477)
答案 36.72
解析 當N＝40時，t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(40,90)))＝－144lgeq \f(5,9)
＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72.
三、建立擬合函數(shù)模型解決實際問題
例3 某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，自2017年以來，每年在正常情況下，該產(chǎn)品產(chǎn)量平穩(wěn)增長．已知2017年為第1年，前4年年產(chǎn)量f(x)(萬件)如下表所示：
(1)畫出2017～2020年該企業(yè)年產(chǎn)量的散點圖；
(2)建立一個能基本反映(誤差小于0.1)這一時期該企業(yè)年產(chǎn)量變化的函數(shù)模型，并求出函數(shù)解析式；
(3)2021年(即x＝5)因受到某國對我國該產(chǎn)品反傾銷的影響，年產(chǎn)量減少30%，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2021年的年產(chǎn)量為多少？
解 (1)畫出散點圖，如圖所示．
(2)由散點圖知，可選用一次函數(shù)模型．
設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1.5，,b＝2.5，))
所以f(x)＝1.5x＋2.5.檢驗：
f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.081)與y＝＋q(p>0)可供選擇．
(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；
(2)求原先投放的水葫蘆的面積，并求約經(jīng)過幾個月該水域中水葫蘆的面積是當初投入的
1 000倍．
(參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解 (1)∵y＝kax(k>0，a>1)的增長速度越來越快，y＝＋q(p>0)的增長速度越來越慢，
∴函數(shù)模型y＝kax(k>0，a>1)更合適，
則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ka2＝18，,ka3＝27，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,2)，,k＝8，))
∴y＝8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x(x∈N*)．
(2)設(shè)經(jīng)過x個月該水域中水葫蘆的面積是當初投放的1 000倍．
當x＝0時，y＝8，則有8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x＝8×1 000，
∴x＝＝eq \f(lg 1 000,lg \f(3,2))＝eq \f(3,lg 3－lg 2)≈17.04.
∴原先投放的水葫蘆的面積為8 m2，約經(jīng)過17個月該水域中水葫蘆的面積是當初投入的
1 000倍．
1．一輛汽車在某段路途中的行駛路程s關(guān)于時間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對應(yīng)的函數(shù)模型是( )
A．分段函數(shù) B．二次函數(shù)
C．指數(shù)型函數(shù) D．對數(shù)型函數(shù)
答案 A
2．某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關(guān)系如下表：
則下面的函數(shù)關(guān)系式中，擬合效果最好的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
答案 D
3．某位股民購進某只股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這只股票先經(jīng)歷了3次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了3次跌停(每次下降10%)，則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為( )
A．略有虧損 B．略有盈利
C．沒有盈利也沒有虧損 D．無法判斷盈虧情況
答案 A
解析 由題意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970 299
≈0.973時，y＝0.2＋0.1×([x]－3)([x]是不小于x的最小整數(shù))，
令x＝eq \f(550,60)，故[x]＝10，則y＝0.9.
6．計算機成本不斷降低，若每隔3年計算機價格降低eq \f(1,3)，現(xiàn)在價格為8 100元的計算機9年后的價格為________元．
答案 2 400
解析 依題意得，所求價格為
8 100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))3＝8 100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝2 400(元)．
7．一個駕駛員喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減少．為了保障交通安全，規(guī)定駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09 mg/mL，那么這個駕駛員至少要經(jīng)過________小時才能開車．(精確到1小時，參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
答案 5
解析 設(shè)經(jīng)過n小時后才能開車，
此時酒精含量為0.3(1－0.25)n.
根據(jù)題意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，
即(1－0.25)n≤0.3，在不等式兩邊取常用對數(shù)，
則有n lgeq \f(3,4)＝n(lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1，
將已知數(shù)據(jù)代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，
解得n≥eq \f(13,3)＝4eq \f(1,3)，故至少經(jīng)過5小時才能開車．
8．某種細菌經(jīng)30分鐘數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?倍，且該種細菌的繁殖規(guī)律為y＝ekt，其中k為常數(shù)，t表示時間(單位：小時)，y表示1個細菌經(jīng)繁殖后的總個數(shù)，則k＝________，經(jīng)過5小時，1個細菌通過繁殖個數(shù)變?yōu)開_______．
答案 2ln 2 1 024
解析 由題意知，當t＝eq \f(1,2)時，y＝2，即2＝，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
當t＝5時，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即經(jīng)過5小時，1個細菌通過繁殖個數(shù)變?yōu)? 024.
9．我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為函數(shù)v＝5lg2eq \f(O,10)，單位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．
(1)計算當燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？
(2)當一只燕子的耗氧量是40個單位時，它的飛行速度是多少？
解 (1)由題意知，當燕子靜止時，它的速度v＝0，代入題中公式，可得0＝5lg2eq \f(O,10)，解得O＝10個單位．
(2)將耗氧量O＝40代入題中公式，
得v＝5lg2eq \f(40,10)＝5lg24＝10(m/s)．
10．目前某縣有100萬人，經(jīng)過x年后為y萬人．如果年平均增長率是1.2%，請回答下列問題：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(2)計算10年后該縣的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；
(3)計算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達到120萬(精確到1年)．
解 (1)當x＝1時，
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
當x＝2時，
y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%
＝100(1＋1.2%)2；
當x＝3時，
y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%
＝100(1＋1.2%)3；….
故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為
y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)當x＝10時，y＝100×(1＋1.2%)10
＝100×1.01210≈112.7.
故10年后該縣約有112.7萬人．
(3)設(shè)x年后該縣的人口總數(shù)為120萬，
即100×(1＋1.2%)x＝120，
解得x＝lg1.012eq \f(120,100)≈16.
故大約16年后該縣的人口總數(shù)將達到120萬．
11．某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)獎金投入．若該公司2017年全年投入研發(fā)獎金130萬元．在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)獎金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)獎金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
答案 D
解析 設(shè)第x年的研發(fā)獎金為200萬元，
則由題意可得130×(1＋12%)x＝200，
∴1.12x＝eq \f(20,13)，∴x＝lg1.12eq \f(20,13)＝lg1.1220－lg1.1213
＝eq \f(lg 20,lg 1.12)－eq \f(lg 13,lg 1.12)＝eq \f(?lg 2＋lg 10?－?lg 1.3＋lg 10?,lg 1.12)
≈eq \f(0.3＋1－0.11－1,0.05)＝3.8.
即3年后不到200萬元，第4年超過200萬元，
即2021年超過200萬元．
12．根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,\r(x))，x200時，y>5不滿足公司要求；
②中，函數(shù)y＝1.003x，易知滿足(1)，但當x>600時，y>5不滿足公司要求；
③中，函數(shù)y＝1＋lg7x，易知滿足(1)，且當x＝1 000時，y取最大值1＋lg71 000＝1＋eq \f(3,lg 7)5不滿足公司要求．
16．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表：
(1)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重y kg與身高x cm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個函數(shù)模型的解析式；
(2)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175 cm，體重為78 kg的在校男生的體重是否正常？
解 (1)以身高為橫坐標，體重為縱坐標，畫出散點圖．
根據(jù)點的分布特征，可考慮以y＝a·bx作為刻畫這個地區(qū)未成年男性的體重與身高關(guān)系的函數(shù)模型．取其中的兩組數(shù)據(jù)(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(7.9＝a·b70，,47.25＝a·b160，))用計算器算得a≈2，b≈1.02.
這樣，我們就得到一個函數(shù)模型：y＝2×1.02x.
將已知數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)解析式，或作出上述函數(shù)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好，這說明它能較好地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系．
(2)將x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，
由計算器算得y≈63.98.
由于78÷63.98≈1.22>1.2，
所以，這個男生偏胖．函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)
反比例函數(shù)模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)
二次函數(shù)模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)
指數(shù)型函數(shù)模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)
對數(shù)型函數(shù)模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)
冪函數(shù)型模型
f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
月份
用氣量
煤氣費
一月份
4 m3
4元
二月份
25 m3
14元
三月份
35 m3
19元
強度(J)
1.6×1019
3.2×1019
4.5×1019
6.4×1019
震級(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
體重/kg
6.13
7.90
9.90
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

4.5 函數(shù)的應(yīng)用（二）

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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