? 函數(shù)模型的應(yīng)用第二課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)
（一）教學(xué)內(nèi)容
　　教科書(shū)例5和例6，用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程．
　　　　　
（二）教學(xué)目標(biāo)
　　1．通過(guò)例題能讓學(xué)生將具體的實(shí)際問(wèn)題化歸為函數(shù)問(wèn)題，并能通過(guò)分析函數(shù)圖象及表格數(shù)據(jù)了解相應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)、線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的變化差異，正確選擇合適的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)．
　2.通過(guò)例題條件出發(fā)，能夠根據(jù)“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的含義，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)形結(jié)合地素養(yǎng)；
（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
1.重點(diǎn)
選擇合適的函數(shù)類型構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，體會(huì)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程．
2.難點(diǎn)
　　如何選擇合適的函數(shù)類型建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型．
　　
（四） 教學(xué)過(guò)程
我們知道 ， 函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型 ， 不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà) ． 面臨一個(gè)實(shí)際問(wèn)題 ， 該如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)刻畫(huà)它呢？看以下問(wèn)題
　
　　例5. 假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：
　　方案一：每天回報(bào)40元；
　　方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；
　　方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．
　　請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案？
　　問(wèn)題1：請(qǐng)初步選擇一種你認(rèn)為合適的投資方案．
師生活動(dòng)：學(xué)生讀完題后進(jìn)行分析，明白題中給出什么條件，要求什么量。進(jìn)行簡(jiǎn)單的思考后，選擇一個(gè)方案。
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生理解題意，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，并能利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)。
追問(wèn)：（1）你能根據(jù)例題提供的三種投資方案的描述，分析出其中的常量、變量及其相互關(guān)系，并建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型嗎？
　?。?）三個(gè)方案的本質(zhì)是三個(gè)不同的函數(shù)模型，如何選擇一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)比較它們的差異，從而選擇合適的函數(shù)模型？
　?。?）根據(jù)例1中的表格提供的數(shù)據(jù)，你對(duì)三種投資方案分別表現(xiàn)出的回報(bào)資金的增長(zhǎng)差異有什么認(rèn)識(shí)？
　?。?）你能借助計(jì)算工具作出函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象描述一下三種方案的特點(diǎn)嗎？
　　師生活動(dòng)：教師可提出進(jìn)一步的問(wèn)題，指導(dǎo)學(xué)生分析其中的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生正確寫(xiě)出三種投資方案所對(duì)應(yīng)的每天回報(bào)金額關(guān)于天數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．再利用表格和圖象比較分析三種函數(shù)模型的增長(zhǎng)情況，作出需要分投資天數(shù)進(jìn)行選擇的初步判斷．學(xué)生通過(guò)教師指導(dǎo)，分析出題中的數(shù)量關(guān)系，能寫(xiě)出三種投資方案所對(duì)應(yīng)的每天回報(bào)金額關(guān)于天數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．再利用表格和圖象比較分析三種函數(shù)模型的增長(zhǎng)情況，選出最佳方案。
　　設(shè)計(jì)意圖：例題教學(xué)除了關(guān)注例題本身承載的教學(xué)目的外，還要注意不同層次的學(xué)生在學(xué)習(xí)上的差異，本例設(shè)問(wèn)意在分層次、有針對(duì)性地給出不同的臺(tái)階，做到 “總體引導(dǎo)，分層指導(dǎo)”，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，利用追問(wèn)逐步深入．追問(wèn)（1）意在指導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；追問(wèn)（2）意在引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異選擇合適的函數(shù)模型；追問(wèn)（3）意在引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)表對(duì)三種模型的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析，借助增加量初步發(fā)現(xiàn)當(dāng)自變量變得很大時(shí)，指數(shù)函數(shù)比一次函數(shù)增長(zhǎng)得快，一次函數(shù)比對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)得快，尤其是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察增加量體會(huì)指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度；追問(wèn)（4）意在借助計(jì)算結(jié)果與圖象直觀理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的實(shí)際含義，并通過(guò)描述三種方案的特點(diǎn)，為下一個(gè)問(wèn)題埋下伏筆．
問(wèn)題2：僅僅分析每天的回報(bào)數(shù)就能準(zhǔn)確作出選擇嗎？請(qǐng)結(jié)合教科書(shū)152頁(yè)邊空的問(wèn)題進(jìn)一步思考：關(guān)于三種投資方案的選擇，你應(yīng)當(dāng)如何判斷？
師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行分析明白每天回報(bào)數(shù)并不能準(zhǔn)確地做出選擇。通過(guò)邊空的問(wèn)題，學(xué)生思考能夠做出判斷。
設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生分析影響方案選擇的因素，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到要作出正確選擇，除了考慮每天的收益外，還要考慮一段時(shí)間內(nèi)累計(jì)的回報(bào)．讓學(xué)生對(duì)不同類型的函數(shù)增長(zhǎng)總量有更直觀的認(rèn)知.
　　追問(wèn)：教科書(shū)152頁(yè)邊空的問(wèn)題中，是根據(jù)投資天數(shù)作出不同方案的選擇，劃分天數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)是什么？這種劃分正確嗎？
　　師生活動(dòng)：教師可根據(jù)學(xué)生的思考，指出計(jì)算每月回報(bào)的增加量（或增長(zhǎng)率）是對(duì)數(shù)據(jù)的基本處理方法，本例提供的表格和圖象都可以直觀看出三種函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異，但要具體到投資的天數(shù)，回報(bào)的增加量還不足以作為選擇投資方案的依據(jù)，然后利用下述追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生選擇累計(jì)的回報(bào)數(shù)進(jìn)行判斷，作出正確的回答．最后，在問(wèn)題2的基礎(chǔ)上，給出本題的完整解答．
　　設(shè)計(jì)意圖：教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析影響方案選擇的因素，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到要作出正確選擇，除了考慮每天的收益外，還要考慮一段時(shí)間內(nèi)累計(jì)的回報(bào)．最后借助計(jì)算工具，得出總收益并作出正確判斷．
　　
解 ： 設(shè)第x天所得回報(bào)是y元 ， 則方案一可以用函數(shù) y ＝40(x∈N*) 進(jìn)行描述 ；
方案二可以用函數(shù) y ＝10x(x∈N*)進(jìn)行描述 ；
方案三可以用函數(shù)y=0.4×2x-1(x∈N*)
進(jìn)行描述 ． 三個(gè)模型中 ， 第一個(gè)是常數(shù)函數(shù) ， 后兩個(gè)都是增函數(shù) ．
要對(duì)三個(gè)方案作出選擇 ， 就要對(duì)它們的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析 ．
我們先用信息技術(shù)計(jì)算一下三種方案所得回報(bào)的增長(zhǎng)情況
三種方案每天回報(bào)表


方案一的函數(shù)是常數(shù)函
數(shù) ， 方案二 、 方案三的函數(shù)都是增函數(shù) ， 但方案三的函數(shù)與
方案二的函數(shù)的增長(zhǎng)情況很不相同 ． 可以看到 ， 盡管方案一 、 方案二在第 １ 天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25
倍 ， 但它們的增長(zhǎng)量固定不變 ， 而方案三是 “ 指數(shù)增長(zhǎng) ”，
其 “ 增長(zhǎng)量 ” 是成倍增加的 ， 從第7天開(kāi)始 ， 方案三比其他兩個(gè)方案增長(zhǎng)得快得多 ， 這種增長(zhǎng)速度是方案一 、 方案二所無(wú)法企及的 ． 從每天所得回報(bào)看 ，
在第 １～３ 天 ， 方案一最多 ；
在第 ４ 天 ， 方案一和方案二一樣多 ， 方案三最少 ；
在第５～８ 天 ， 方案二最多 ； 第9天開(kāi)始 ， 方案三比其他兩個(gè)方
案所得回報(bào)多得多 ， 到第30天 ， 所得回報(bào)已超過(guò)2億元 ．
下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù) ． 通過(guò)信息技術(shù)列表如下

投資1~6天，應(yīng)選擇方案一；
投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二；
投資8~10天，應(yīng)選擇方案二；
投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇方案三。

上述例子只是一種假想情況 ， 但從中可以看到 ， 不同的函數(shù)增長(zhǎng)模型 ， 增長(zhǎng)變化存在很大差異



例6?某公司為了實(shí)現(xiàn)1 000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨銷售利潤(rùn)x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%．三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x，，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？
問(wèn)題1：根據(jù)題目條件，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型才符合公司的要求？
師生活動(dòng)：學(xué)生讀完題后進(jìn)行分析，明白題中給出什么條件，要干什么事情。在給定的三個(gè)函數(shù)模型中進(jìn)行簡(jiǎn)單的思考后，選擇正確模型。
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生理解題意，能夠按要求選擇符合題意的模型，并能利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，從而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)。
追問(wèn)：（1）公司提出的要求與函數(shù)的什么性質(zhì)有關(guān)？這對(duì)選擇函數(shù)模型有什么幫助？
　?。?）函數(shù)圖象能直觀反映函數(shù)的性質(zhì)特征，從而可以直觀判斷函數(shù)模型是否符合公司的要求．為此，你能否作出函數(shù)圖象，并通過(guò)觀察作出初步的判斷嗎？
　　師生活動(dòng)：教師可以在學(xué)生思考問(wèn)題1的基礎(chǔ)上，提出追問(wèn)中的問(wèn)題，進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題目條件，分析例題中隱藏的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定符合公司要求的函數(shù)模型．
　　設(shè)計(jì)意圖：這里依然關(guān)注教學(xué)的生成，繼續(xù)在總體指導(dǎo)下有針對(duì)性地給出不同臺(tái)階的分層問(wèn)題．追問(wèn)（1）意在引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律，并建立與函數(shù)性質(zhì)的聯(lián)系，為選擇合適模型做好準(zhǔn)備；追問(wèn)（2）意在引導(dǎo)學(xué)生作出函數(shù)圖象，并結(jié)合函數(shù)性質(zhì)作出初步判斷，從而實(shí)現(xiàn)將實(shí)際問(wèn)題向函數(shù)模型轉(zhuǎn)化．
　　問(wèn)題2：（1）你是如何判定所選擇的獎(jiǎng)勵(lì)模型是否符合要求？
　　 （2）能否給出本題的解答過(guò)程？
　　師生活動(dòng)：教師在學(xué)生嘗試給出解答的基礎(chǔ)上，通過(guò)問(wèn)題作進(jìn)一步的指導(dǎo)，幫助學(xué)生從畫(huà)函數(shù)圖象入手，通過(guò)觀察函數(shù)的圖象，得出初步的判斷，再通過(guò)具體計(jì)算求解得出正確結(jié)果．
　　設(shè)計(jì)意圖：教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)際問(wèn)題，并根據(jù)函數(shù)性質(zhì)選擇合適的函數(shù)模型，給出正確解答．（1）意在引導(dǎo)學(xué)生指出判斷依據(jù)；（2）意在指導(dǎo)學(xué)生確認(rèn)解題基本思路，從而學(xué)習(xí)運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)分析問(wèn)題．
　　解 ： 借助信息技術(shù)畫(huà)出函數(shù) y ＝５ ， y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x 的圖象． 觀察圖象發(fā)現(xiàn) ， 在區(qū)間 ［ 10， 1000］ 上 ， 模型 y=0.25x, y=1.002x的圖象都有一部分在直線 y ＝５ 的上方 ， 只有模型 y=log7x+1的圖象始終在 y＝５ 的下方 ， 這說(shuō)明只有按模型 y=log7x+1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求 ．


下面通過(guò)計(jì)算確認(rèn)上述判斷 ．
先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò) ５ 萬(wàn)元 ．
對(duì)于模型 y ＝0.25x， 它在區(qū)間 ［ 10，1000 ］ 上單調(diào)遞增 ，
而且當(dāng) x ＝２０ 時(shí) ， y ＝５ ，
因此 ， 當(dāng) x ＞２０ 時(shí) ， y ＞５ ， 所以該模型不符合要求 ；
對(duì)于模型, y=1.002x ， 由函數(shù)圖象 ，
并利用信息技術(shù) ， 可知在區(qū)間 （805 ，806 ）
內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0 滿足 1.002x0＝５ ， 由于它在區(qū)間 ［10 ，1000 ］ 上單調(diào)遞增 ，
因此當(dāng) x＞ x0時(shí) ， y ＞５ ，所以該模型也不符合要求 ；
對(duì)于模型 y=log7x+1， 它在區(qū)間 ［10 ，1000 ］上單調(diào)遞增 ， 而且當(dāng) x＝1000 時(shí) ，y=log71000+1≈4.55＜５ ， 所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過(guò) ５ 萬(wàn)元的要求 ．
再計(jì)算按模型 y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí) ， 獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25％ ，
即當(dāng) x ∈［10 ，1000 ］ 時(shí) ， 是否有 y ≤0.25x，
即y=log7x+1 ≤0.25x成立 ．
令 f(x) ＝ y=log7x+1-0.25x， x ∈ ［10 ，1000 ］, 利用信息技術(shù)畫(huà)出它的圖象


由圖象可知函數(shù) f(x)在區(qū)間［10 ，1000 ］ 上單調(diào)遞減 ，
因此f(x)≤ f(10)≈－0.3167＜０ ，
即y=log7x+1＜0.25x．所以 ， 當(dāng) x ∈ ［10 ，1000 ］時(shí) ，
y ≤0.25x， 說(shuō)明按模型y=log7x+1 獎(jiǎng)勵(lì) ， 獎(jiǎng)金不會(huì)超過(guò)利潤(rùn)的 25％．綜上所述 ， 模型 y=log7x+1確實(shí)能符合公司要求 ．
　課堂小結(jié)
　　問(wèn)題：通過(guò)解答以上兩道例題的實(shí)際問(wèn)題，并結(jié)合教科書(shū)中的例3和例4，你能歸納出用建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程嗎？
　　設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)用建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本過(guò)程，提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力．
　
　　五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
　課堂檢測(cè)
完成教科書(shū)第154頁(yè)練習(xí)1，2．
　　師生活動(dòng)：教師結(jié)合兩道例題的教學(xué)情況讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，并根據(jù)學(xué)生的解答情況，給出應(yīng)有的指導(dǎo)，或提供正確的解答．
　　設(shè)計(jì)意圖：促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，并從中評(píng)價(jià)學(xué)生達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的情況．
課后作業(yè)
1．為了能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成預(yù)期的運(yùn)輸量，某運(yùn)輸公司提出了五種運(yùn)輸方案，每種方案的運(yùn)輸量Q與時(shí)間t的關(guān)系如下圖所示．運(yùn)輸效率（單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量）逐步提高的圖象編號(hào)是______________．
　　?
　　設(shè)計(jì)意圖：考查在具體背景下，根據(jù)不同函數(shù)模型的增長(zhǎng)特點(diǎn)選擇合適的函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題．
　　2．某工廠今年前三個(gè)月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為1萬(wàn)件、1.2萬(wàn)件、1.3萬(wàn)件．現(xiàn)有三種函數(shù)模型用于描述產(chǎn)量y（單位：萬(wàn)件）關(guān)于月份x的關(guān)系：y=ax+b，y=ax2+bx+c，．若4月份的產(chǎn)量為1.37萬(wàn)件，請(qǐng)問(wèn)哪個(gè)函數(shù)更符合實(shí)際？
　　設(shè)計(jì)意圖：考查根據(jù)題目條件，選擇和求解函數(shù)模型刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的變化規(guī)律．
　　3*．設(shè)火箭質(zhì)量是箭體質(zhì)量與燃料質(zhì)量的和，在不考慮空氣阻力的條件下，兩火箭的最大速度之差與這兩火箭質(zhì)量的自然對(duì)數(shù)之差成正比．已知某火箭的箭體質(zhì)量為m kg，當(dāng)燃料質(zhì)量為m kg 時(shí)，該火箭的最大速度為2ln2 km/s，當(dāng)燃料質(zhì)量為m(e－1) kg時(shí)，該火箭的最大速度為2 km/s．
　?。?）寫(xiě)出該火箭最大速度y與燃料質(zhì)量x的函數(shù)關(guān)系式；
　?。?）當(dāng)燃料質(zhì)量為多少時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12km/s？
　　設(shè)計(jì)意圖：考查建立函數(shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題．
（六）教學(xué)反思

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【小單元教案】高中數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第一冊(cè)--4.4.3 不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異（課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì))

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)第三章 函數(shù)概念與性質(zhì)3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）一等獎(jiǎng)教案

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