4.5.1 函數(shù)的零點與方程的解


學習目標 1.了解函數(shù)的零點、方程的解與圖象交點三者之間的聯(lián)系.2.會借助零點存在性定理判斷函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間.3.能借助函數(shù)單調(diào)性及圖象判斷零點個數(shù)．








知識點一 函數(shù)的零點


對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．


方程、函數(shù)、圖象之間的關系：


方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點．


思考 (1)函數(shù)的“零點”是一個點嗎？


(2)函數(shù)y＝x2有零點嗎？


答案 (1)不是；(2)有零點，零點為0.


知識點二 函數(shù)的零點、方程的解、函數(shù)圖象與x軸的交點


方程f(x)＝0的實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)的零點?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標．


思考 函數(shù)f(x)＝ax2＋x－2有一個零點是1，這個函數(shù)還有其他零點嗎？


答案 f(x)＝ax2＋x－2有一個零點是1，即a·12＋1－2＝0，∴a＝1，


∴f(x)＝x2＋x－2，令x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，


∴這個函數(shù)還有一個零點為－2.


知識點三 函數(shù)零點存在定理


如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)0，則f(x)在[a，b]內(nèi)無零點．( × )


3．若f(x)在[a，b]上為單調(diào)函數(shù)，且f(a)·f(b)1時，令1＋lg2x＝0，得x＝eq \f(1,2)，此時無解．


綜上所述，函數(shù)零點為0.


(2)若函數(shù)f(x)＝ax－b(b≠0)有一個零點3，則函數(shù)g(x)＝bx2＋3ax的零點是________．


答案 －1和0


解析 因為f(x)＝ax－b的零點是3，所以f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a.


所以g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，所以方程g(x)＝0的兩個根為－1和0，


即函數(shù)g(x)的零點為－1和0.


二、探求零點所在區(qū)間


例2 (1)在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))


答案 C


解析 因為f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \r(4,e)－20，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0，f(－1)＝－4

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4.5 函數(shù)的應用（二）

版本： 人教A版 (2019)

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