《4.5.1 函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的第五節(jié) 函數(shù)的應(yīng)用（二）（第一課時(shí)）。以下是本單元《4.5函數(shù)的應(yīng)用（二）》三個(gè)課時(shí)的安排： 第一課時(shí)第二課時(shí)第三課時(shí)課時(shí)內(nèi)容函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解用二分法求方程的近似解函數(shù)模型的應(yīng)用所在位置教材第142頁(yè)教材第144頁(yè)教材第148頁(yè)  新教材內(nèi)容分析類比二次函數(shù)零點(diǎn)（本冊(cè)書(shū)2.3）直接給出函數(shù)零點(diǎn)的概念，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的意圖，又遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，利于學(xué)生把握函數(shù)零點(diǎn)的本質(zhì)按照用二分法求方程近似解的步驟一步步展開(kāi)，既滲透了逼近思想和算法思想，又讓學(xué)生經(jīng)歷了觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括的過(guò)程素材更加豐富，通過(guò)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，最終解決問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的來(lái)源與應(yīng)用，豐富學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知 核心素養(yǎng)培養(yǎng)為了建立求方程近似解的理論依據(jù)，研究從函數(shù)特征判定方程實(shí)數(shù)解的存在性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；借助第一課時(shí)理論依據(jù)得到求方程近似解的二分法，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng)； 通過(guò)研究函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，意在從現(xiàn)實(shí)背景體現(xiàn)函數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，提升數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。教學(xué)主線方程 與 函數(shù)一次、指、對(duì)函數(shù) 二、學(xué)情分析     在教材第50頁(yè)（2.3），學(xué)生已學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的零點(diǎn)，且在此學(xué)習(xí)的過(guò)程中,已經(jīng)初步理解了二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的根之間的關(guān)系，具備一定的用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的能力，這為更深入的學(xué)習(xí)和理解函數(shù)零點(diǎn)提供了基礎(chǔ)知識(shí)與認(rèn)知.但對(duì)于其他方程（例如高次方程）與對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，還沒(méi)有準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)。且在函數(shù)零點(diǎn)存在定理的導(dǎo)出過(guò)程中，涉及到轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，及借助計(jì)算工具（列表），或利用信息技術(shù)Geogebra畫(huà)圖過(guò)程，這是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，且這些思想或是工具對(duì)后面二分法的學(xué)習(xí)也有一定的輔助作用。   三、學(xué)習(xí)目標(biāo) 理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，會(huì)求一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)的零點(diǎn)，達(dá)成數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2. 理解方程的解、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)三者的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).3. 掌握函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能用該定理判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否存在零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).4. 通過(guò)函數(shù)零點(diǎn)的概念和函數(shù)零點(diǎn)存在定理的形成及應(yīng)用，體會(huì)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與劃歸數(shù)學(xué)思想. 四、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)與方程的解之間的關(guān)系；求函數(shù)零點(diǎn)的方法；利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理確定連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)的大致區(qū)間.難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)與理解方程的解與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系；探究函數(shù)零點(diǎn)存在定理的的認(rèn)知過(guò)程. 五、教學(xué)過(guò)程（一）新知導(dǎo)入1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問(wèn)題一枚炮彈發(fā)射后，通過(guò)落到地面擊中目標(biāo)，炮彈射高是，且炮彈距離地面的高度（單位：）與飛行時(shí)間（單位：）形成的函數(shù)關(guān)系式是【想一想】 利用函數(shù)解析式怎樣求出這枚炮彈在哪一時(shí)刻落地？   探索交流，解決問(wèn)題【問(wèn)題1】  求出下列方程 的實(shí)數(shù)根并且畫(huà)出其對(duì)應(yīng)的函數(shù) 圖象并且標(biāo)出圖象與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).          【思考1】（1）方程 的根的個(gè)數(shù)與函數(shù) 與 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？（2）方程 的根與函數(shù)與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有什么關(guān)系？（3）對(duì)于上面問(wèn)題1中的（4），既不會(huì)解方程，又不會(huì)函數(shù)圖象，如何解決呢？【提示】  （1）方程 的根的個(gè)數(shù)與函數(shù) 與 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同；（2）方程 的根與函數(shù)與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等。（3）對(duì)于問(wèn)題1中的（4），我們后面會(huì)在函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用處講到。【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題與思考題的探究，引導(dǎo)學(xué)生得出函數(shù)零點(diǎn)的概念。問(wèn)題1中（4）引出了本節(jié)課的主線，且為函數(shù)零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化作了鋪墊。（二）函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于一般函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn).【思考2】   由函數(shù)零點(diǎn)的概念，你發(fā)現(xiàn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根有什么關(guān)系？ 【提示】函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以方程有實(shí)數(shù)解函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)。【做一做】   根據(jù)零點(diǎn)的定義判斷對(duì)錯(cuò)與填空.（1）任何函數(shù)都有零點(diǎn).（ ）（2） 函數(shù) 的零點(diǎn)是.（ ）（3）如右圖所示，函數(shù) 的零點(diǎn) 是         .                   【提示】 （1）錯(cuò)，與x軸無(wú)交點(diǎn)的函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，如；                                                 （2）錯(cuò)，零點(diǎn)是函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而不是交點(diǎn)；（3） ，根據(jù)圖象，函數(shù)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是 ，所以零點(diǎn)即為 。 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題探究，使學(xué)生深入理解函數(shù)零點(diǎn)的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。 （三）函數(shù)的零點(diǎn)的求解例1  求下列函數(shù)的零點(diǎn).（1）f(x)＝－8x2＋7x＋1； （2）f(x)＝1＋log3x. 【思維引導(dǎo)】  將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根或函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)求解。[解析](1)令－8x2＋7x＋1＝0，解得x＝－或x＝1．所以函數(shù)的零點(diǎn)為－和1．(2)令1＋log3x＝0，則log3x＝－1，解得x＝．所以函數(shù)的零點(diǎn)為。【類題通法】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以，求函數(shù)的零點(diǎn)的方法是令f(x)＝0，通過(guò)解方程f(x)＝0的根求得函數(shù)的零點(diǎn)，或者先做出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判斷函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再解方程得到函數(shù)的零點(diǎn)．【情境問(wèn)題】提示：，所以在26秒的時(shí)候落地。【鞏固練習(xí)】 已知函數(shù)f(x)＝loga(2－x)．（1）求函數(shù)f(x)的定義域；    （2）求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)． [解析](1)要使函數(shù)有意義，須2－x>0，解得x<2，∴函數(shù)定義域?yàn)?/span>(－∞，2)．(2)令f(x)＝loga(2－x)＝0，∴2－x＝1解得x＝1.∵1∈(－∞，2)，∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為1.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例題及練習(xí)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握求函數(shù)零點(diǎn)的方法，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 （四） 函數(shù)零點(diǎn)存在定理【思考3】  下面兩組鏡頭，哪一組能說(shuō)明人一定曾渡過(guò)河?【探究】  如果函數(shù)在區(qū)間滿足，是否一定推出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，進(jìn)一步得到方程在區(qū)間內(nèi)有根？若不能，請(qǐng)舉出反例.      【提示】如果函數(shù)在區(qū)間滿足，不一定推出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，進(jìn)一步得到方程在區(qū)間內(nèi)有根，例如函數(shù)，滿足，作出函數(shù)圖象為 由圖象可知此函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)。 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題探究，探究零點(diǎn)存在定理，使學(xué)生對(duì)不同條件函數(shù)的零點(diǎn)是否存在作出判斷。 （五）函數(shù)零點(diǎn)存在定理1.零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0,_這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解． 【辨一辨】  根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理判斷:（1）已知函數(shù)在區(qū)間，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn).（   ）（2）已知函數(shù)在區(qū)間，則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn).（   ）（3）已知函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)并且有零點(diǎn)，則一定有.（  ）（4）已知函數(shù)在區(qū)間，則在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).（   ）【提示】（1）錯(cuò)，（2）錯(cuò)，（3）錯(cuò)，（4）錯(cuò)【點(diǎn)睛】(1)           一個(gè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)必須同時(shí)滿足:①函數(shù)f(x)在區(qū)[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線;②f(a)f(b)<0．這兩個(gè)條件缺一不可，否則結(jié)論不一定成立；(2)           若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的,且在兩端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)  異號(hào)，則函數(shù)y=f(x)的圖象至少穿過(guò)x軸一次,即方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根。（3）零點(diǎn)的存在性定理只能判斷出零點(diǎn)的存在性,而不能判斷出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題探究，使學(xué)生理解零點(diǎn)存在性定理，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。  零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用例2   函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)嗎？  【思維引導(dǎo)】利用零點(diǎn)存在性定理，判斷是否小于0. [解析]因?yàn)?/span>f=,所以,所以函數(shù) 在區(qū)間上存在零點(diǎn)。【延伸探究】（1）    若存在，在區(qū)間上是否只有一個(gè)零點(diǎn)？（2）    判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，還有別的方法嗎？（3） 求方程 的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。【提示】 （1）函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以只有一個(gè)零點(diǎn).（2）方法一、借助計(jì)算工具，列出x,y的對(duì)應(yīng)值表，畫(huà)出的圖象.xy1-42-1.306931.098643.386355.609467.791879.9459 方法二、借助信息技術(shù)，比如GeoGebra,繪制的圖象.方法三、由=0得,設(shè)=lnx,  =,分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖，由圖象可知兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)只有一個(gè)。（3）    由函數(shù)零點(diǎn)概念知，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解。 【類題通法】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法：對(duì)于一般函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷問(wèn)題，不僅要用零點(diǎn)存在性定理來(lái)判斷區(qū)間[a，b]上是否有f(a)·f(b)<0，還需要結(jié)合函數(shù)的圖象和單調(diào)性來(lái)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)：(1)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)存在零點(diǎn)，且在(a，b)上只有1個(gè)零點(diǎn)．(2)若通過(guò)構(gòu)造f(x)＝g(x)－h(huán)(x)，且g(x)、h(x)圖象容易作出，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是g(x)與h(x)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)作圖容易得到f(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)． 【設(shè)計(jì)意圖】體現(xiàn)信息技術(shù)的應(yīng)用             強(qiáng)化函數(shù)零點(diǎn)的解決方法 - 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力 【鞏固練習(xí)2】   函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為（   ）  【解析】 所以函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)。答案：C 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例題學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，會(huì)判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間及零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。 （六）操作演練  素養(yǎng)提升1．函數(shù)的零點(diǎn)為（   ）A.，  B.    C. 0,4     D.42. 函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（   ）A.         B.     C.      D.  3.已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的,有如下對(duì)應(yīng)值表：123456239-711-5-12那么函數(shù)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（   ） A.2個(gè)    B.3個(gè)     C.4個(gè)      D.至少三個(gè) 【答案】1.C  2.B  3.D 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)課堂達(dá)標(biāo)練習(xí)，鞏固本節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容。  （七）課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識(shí)總結(jié)：2.學(xué)生反思：（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？ （2）在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？ 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)課堂小結(jié)，有利于學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，納入自己的知識(shí)體系。    

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

4.5 函數(shù)的應(yīng)用（二）

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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