2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【題組一 解無參數(shù)的一元二次不等式】解下列不等式：（1）；        （2）；（3）；        （4）．（5）x2＋3x－5＞0         （6）－2x2＋3x－2＜0；（7）－2＜x2－3x≤10．【答案】（1）或；（2）；（3）或；（4）.(5)(6)R(7)[－2，1)∪(2，5]【解析】（1）由題意，不等式，則不等式的解集為或；（2）由題意，不等式，則不等式的解集為；（3）由題意，不等式，則不等式的解集為或； （4）由題意，不等式，則不等式的解集為；（5）原不等式可化為x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0無實(shí)根，又二次函數(shù)y＝x2－6x＋10的圖象開口向上，所以原不等式的解集為（6）原不等式可化為2x2－3x＋2＞0，因?yàn)?/span>Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0無實(shí)根，又二次函數(shù)y＝2x2－3x＋2的圖象開口向上，所以原不等式的解集為R（7）原不等式等價于，①可化為x2－3x＋2＞0，解得x＞2或x＜1②可化為x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5．故原不等式的解集為[－2，1)∪(2，5]【題組二 解有參數(shù)的一元二次不等式】1．（2020·安徽金安 六安一中高一期中（理））設(shè)函數(shù)．（1）若對任意的，均有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，解關(guān)于的不等式．【答案】（1）；（2）答案見解析．【解析】（1）由題意得，對任意的成立，即對任意的成立，①當(dāng)時，，顯然不符合題意；②當(dāng)時，只需，即，化簡得，解得，綜上所述，.（2）由得，即，①當(dāng)時，，解集為；②當(dāng)時，，解集為；③當(dāng)時，，解集為．2．（2020·寧夏興慶.銀川一中高一期末）解關(guān)于的不等式：.【答案】答案不唯一，具體見解析【解析】原不等式移項得，即.∵，∴當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，綜上所述：當(dāng)時，解集為當(dāng)時，解集為當(dāng)時，解集為3．（2019·四川仁壽一中高一月考）設(shè)，解關(guān)于的不等式．【答案】詳見解析【解析】①時，恒成立．②時，不等式可化為，即而，此時不等式的解集為；③當(dāng)時，不等式可化為，即而，此時不等式的解集為；4．（2020·上海高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式：.【答案】見解析【解析】（1）當(dāng)時,;（2）當(dāng)時,原不等式化為.①當(dāng)時,原不等式化為..②當(dāng)時,原不等式化為.a.當(dāng)時,；b.當(dāng)時，；c.當(dāng)時，.綜上所述：①當(dāng)時,；②當(dāng)時,; ③當(dāng)時,；④當(dāng)時,;⑤當(dāng)時,..5．（2020·上海高一課時練習(xí)）解關(guān)于x的不等式：．【答案】見解析【解析】將不等式變形為.當(dāng)a <0或時，有a < a2，所以不等式的解集為或；當(dāng)a =0或時，a = a2=0，所以不等式的解集為且；當(dāng)0< a <1時，有a > a2，所以不等式的解集為或；6（2020·浙江高一課時練習(xí)）解關(guān)于x的不等式：．【答案】答案見解析.【解析】當(dāng)時，不等式化為，解得；若，則原不等式可化為，，當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，不等式化為，解得且，當(dāng)時，，解得或；若，則不等式可化為當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，不等式可化為，其解集為，當(dāng)時，，解得．綜上，當(dāng)時，不等式的解集為;當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為;當(dāng)時，不等式的解集為;當(dāng)時，不等式的解集為或;當(dāng)時，不等式的解集為且；當(dāng)時，不等式的解集為或．7．（2020·上海高一課時練習(xí)）解下列含參數(shù)的不等式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】（1）原不等式等價于，對應(yīng)方程兩根為，比較兩根的大小情況，可得當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為．（2）當(dāng)時，不等式化為．解得．當(dāng)時，方程的兩根為，．①時，分情況討論：時，；時，；時，．②時，．綜上，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為．（3）．①，即或時，不等式的解集為；②，即或時，不等式的解集為；③，即時，不等式的解集為.【題組三 三個一元二次的關(guān)系】1．（2020·全國高一開學(xué)考試）關(guān)于的不等式，解集為，則不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題,是方程的兩根,可得,即,所以不等式為,即,所以,故選：D2．（2020·全國高一課時練習(xí)）若方程只有正根，則m的取值范圍是（    ）A．或 B．C． D．【答案】B【解析】方程只有正根，則當(dāng)，即時，當(dāng)時，方程為時，，符合題意；當(dāng)時，方程為時，不符合題意.故成立；當(dāng)，解得或，則，解得.綜上得.故選B.3．（2020·全國高一課時練習(xí)）已知一元二次不等式的解集為，求不等式的解集                .【答案】.【解析】由題意，不等式的解集為，所以與是方程的兩個實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得 解得所以不等式，即為，整理得，解得即不等式的解集為.4．（2020·上海高一開學(xué)考試）關(guān)于的方程有兩個不等的實(shí)根，則的取值范圍是（    ）A．  B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個不等的實(shí)根且，即：且，解得且.故選：D.5．（2019·山東濟(jì)寧.高一月考）已知，關(guān)于的一元二次不等式的解集為（   ）A．，或 B．C．，或 D．【答案】B【解析】依題意可化為，由于，故不等式的解集為.故選B.6．（2020·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校高一期末）關(guān)于的不等式的解集為.（1）求的值；（2）求關(guān)于的不等式的解集．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）關(guān)于的不等式的解集為，∴，且﹣1和2是方程的兩實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，，解得；（2）由（1）知，時，不等式為，∴不等式的解集是.7．（2020·荊州市北門中學(xué)高一期末）已知關(guān)于x的不等式（1）若不等式的解集是，求k的值；（2）若不等式的解集是R，求k的取值范圍；（3）若不等式的解集為，求k的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)∵不等式的解集是,∴且-3和-2是方程的實(shí)數(shù)根,由根與系數(shù)的關(guān)系,得,所以；(2)不等式的解集是R,所以,解得 (3)不等式的解集為,得,解得8．（2020·全國高一課時練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.（1）求k的取值范圍；（2）若該方程的兩根分別為，且滿足，求k的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是；（2）由（1）可知，又由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，可得，因?yàn)?/span>，所以，整理得，解得（舍去）或，所以.9（2020·浙江高一課時練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式．（1）若不等式的解集是或，求k的值．（2）若不等式的解集是，求k的值．（3）若不等式的解集是R，求k的取值范圍．（4）若不等式的解集是，求k的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）由不等式的解集為或可知，且與是方程的兩根，，解得．（2）由不等式的解集為可知，解得．（3）依題意知解得．（4）依題意知解得．【題組四 一元二次恒成立問題】1．（2020·全國高一課時練習(xí)）當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________．【答案】【解析】，且，所以原不等式等價于，不等式恒成立，則，由，當(dāng)且僅當(dāng)時,，所以正確答案為．2．（2020·全國高一課時練習(xí)）對任意x∈R，函數(shù)f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值總為非負(fù)，則m的取值范圍為________.【答案】{0}【解析】由題意知＝(m－4)2－4(4－2m)= m2≤0，得m＝0.故答案為：.3．（2020·江西高一期末）對任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則k的取值范圍是______．【答案】【解析】∵對任意實(shí)數(shù)x恒成立，的系數(shù)∴，解得：，∴k的取值范圍是：．故答案為：．4．（2020·安徽金安.六安一中高一期中（文））若不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍為__________________.【答案】【解析】當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，則，即解得：，綜上：.故答案為：.5．（2019·天津河西 高二期中）已知函數(shù)=.（1）若不等式的解集為，求不等式的解集；（2）若對于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知，若方程在有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或；（2）；（3）.【解析】（1）由的解集是，可得有2個不等的實(shí)根1和2， 由韋達(dá)定理，可得 此時等價于，即，解得或所以不等式的解集是或；（2）對于任意的，不等式恒成立，也即  對任意的恒成立，因?yàn)?/span>二次函數(shù)開口向上，最大值在或處取得，所以只需滿足，解得：，據(jù)此可得；綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：.（3）若方程在有解，可得到在有實(shí)數(shù)根.參數(shù)分離得，則，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，所以，也即.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：.6．（2020·浙江寧波.高一期末）已知集合．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）已知，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由題意可知，和是方程的兩個根，所以由韋達(dá)定理得，故實(shí)數(shù).（Ⅱ）由，原不等式可化為，所以在上恒成立，令，因?yàn)?/span>，所以，所以不等式恒成立等價于，故由，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍為：.【題組五 實(shí)際運(yùn)用題】1．（2019·全國高一課時練習(xí)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷售量 （件）與單價 （元）之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件所需成本為（元），其中元，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷售量的取值范圍是（    ）.A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)該廠每天獲得的利潤為元，則，，，根據(jù)題意，可得，解得，故當(dāng)，且時，每天獲得的利潤不利于1300元.故選B.2．（2019·遼寧沙河口 遼師大附中高三月考（文））某商場若將進(jìn)貨單價為8元的商品按每件10元出售,每天可銷售100件,現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價來增加利潤,已知這種商品每件銷售價提高1元,銷售量就要減少10件.那么要保證每天所賺的利潤在320元以上,銷售價每件應(yīng)定為(    )A．12元 B．16元 C．12元到16元之間 D．10元到14元之間【答案】C【解析】設(shè)銷售價定為每件元,利潤為則依題意,得即,解得所以每件銷售價應(yīng)定為12元到16元之間故選:C3．（2020·沙坪壩 重慶八中高一期中）經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度v（千米/小時）之間的函數(shù)關(guān)系為：（）.（1）在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（保留分?jǐn)?shù)形式）（2）若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范用內(nèi)？【答案】（1）當(dāng)時，車流量最大，最大車流量約為千輛/時；（2）汽車的平均速度應(yīng)大于且小于.【解析】（1）依題得.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上時等號成立，（千輛/時）.當(dāng)時，車流量最大，最大車流量約為千輛/時；（2）由條件得，因?yàn)?/span>，所以整理得，即，解得.如果要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/時，則汽車的平均速度應(yīng)大于且小于.4．（2020·江西省崇義中學(xué)高一開學(xué)考試（文））某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為（），則出廠價相應(yīng)地提高比例為，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為，已知年利潤=（出廠價-投入成本）×年銷售量．（1）寫出本年度預(yù)計的年利潤與投入成本增加的比例的關(guān)系式；（2）為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由題意得：，，整理得：，（2）要保證本年度的年利潤比上年度有所增加，必須，即，．解得，所以投入成本增加的比例應(yīng)在范圍內(nèi)． 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

版本： 人教A版 (2019)

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