2022年初升高數(shù)學銜接講義(第2套) 第12講函數(shù)的奇偶性（教師版+學生版）-學案下載-教習網(wǎng)

第12講函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義奇函數(shù)：一般地，設函數(shù)的定義域為,如果，都有，且，那么函數(shù)叫做奇函數(shù).偶函數(shù)：一般地，設函數(shù)的定義域為,如果，都有，且，那么函數(shù)叫做偶函數(shù). 奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)奇函數(shù)性質(zhì)：①定義域關于原點對稱；②圖像關于原點對稱；③若定義域內(nèi)包含0，則；④.偶函數(shù)性質(zhì)：①定義域關于原點對稱；②圖像關于軸對稱；③. 用定義證明函數(shù)奇偶性的步驟：①求定義域.若定義域不關于原點對稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若定義域關于原點對稱，則進行下一步;②化簡的解析式.③求，判斷與的關系.若，則為奇函數(shù)；若，則為偶函數(shù)；若都不滿足，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若兩個等式都滿足，則既是奇函數(shù)也是偶函數(shù). 判斷函數(shù)奇偶的方法（1）定義法；（2）圖像法；（3）性質(zhì)法: ①偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數(shù)；②奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)； ③兩個奇函數(shù)的積、商(分母不為0)為偶函數(shù)；③一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積、商(分母不為0)為奇函數(shù).(性質(zhì)法里面需要注意定義域) 例1.函數(shù)的奇偶性是( )A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】C【解析】定義域不關于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)，選C. 例2.下列說法正確的是( )A．若一個函數(shù)的定義域關于坐標原點對稱，則這個函數(shù)為奇函數(shù)B．若一個函數(shù)為偶函數(shù)，則它的定義域關于坐標原點對稱C．若一個函數(shù)的定義域關于坐標原點對稱，則這個函數(shù)為偶函數(shù)D．若函數(shù)的定義域為，且，則是奇函數(shù)【答案】B 例3.設奇函數(shù)的定義域是且圖象的一部分如圖所示，則不等式的解集是__________．【答案】【解析】是奇函數(shù)，可作出如下在的圖象，由圖象可知的解集為. 例4.判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1) ； (2)；(3) ； (4) 【答案】(1)非奇非偶函數(shù)；(2)既奇又偶函數(shù)；(3)偶函數(shù)；(4)奇函數(shù).【解析】(1)的定義域為，不關于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)；(2)中有，解得，且，為既奇又偶函數(shù)；(3)定義域為，且，為偶函數(shù)；(4)函數(shù)定義域為，且，當時，，此時；當時，，此時，綜上可知，為奇函數(shù). 例5.設函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是( )A. 是偶函數(shù) B. 是奇函數(shù)C. 是偶函數(shù) D. 是偶函數(shù)【答案】D 例6.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則________．【答案】2【解析】當時，，是奇函數(shù)，，解得. 例7.函數(shù)，若對任意實數(shù)都有，求證：為奇函數(shù)．【證明】令得，則，令，依題意得，即，又定義域為，為奇函數(shù)．例8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則當時，__________．【答案】【解析】當時，，是定義在上的偶函數(shù)，. 例9.已知分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，試求和的表達式．【答案】【解析】分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，又，則，即，聯(lián)立解得. 例10. 若函數(shù)是偶函數(shù)，且定義域為，則__________，__________．【答案】【解析】依題意得且恒成立，解得且恒成立，則. 例11. 已知為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解集為__________．【答案】【解析】奇函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，又，，由得或，解得或，的解集為. 例12. 定義在上且滿足，且時，，則不等式的解集為__________．【答案】【解析】依題意，令得，，任取且，則，，在上單調(diào)遞增，不等式轉(zhuǎn)化為且，，解得，故解集為. 例13. 設定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，當時，單調(diào)遞減，若成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，可化為，又時，單調(diào)遞減，，解得，故的取值范圍為. 例14. 函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且．(1) 確定函數(shù)的解析式；(2) 用定義證明：在區(qū)間上是增函數(shù)；(3) 解不等式：．【答案】(1)；(2)見解析；(3). 【解析】(1)依題意得，解得，；(2)任取且，則，且，，，即，在區(qū)間上是增函數(shù)(3)可化為，則，解得.
跟蹤訓練已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則等于( ) A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】依題意，選D. 下面五個命題中，正確命題的個數(shù)是( ) ①偶函數(shù)的圖像一定與軸相交；②奇函數(shù)圖像一定過原點；③偶函數(shù)圖像一定關于軸對稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是；⑤偶函數(shù)與軸若有交點，則交點橫坐標之和為0.A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】①錯誤，③正確：偶函數(shù)的圖像關于軸對稱，但不一定與軸相交；②錯誤：奇函數(shù)圖像關于原點對稱，但不一定經(jīng)過原點，只有在原點處有定義才通過原點；④錯誤：若既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，則且，則，但不一定，只要定義域關于原點對稱即可；⑤正確.故正確命題個數(shù)是2，選A. 對于定義在上的任意奇函數(shù)，都有( ) A. B. C. D.【答案】D【解析】對于定義在上的任意奇函數(shù)，都有，則，故選D. 若函數(shù)為偶函數(shù)，則( )A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意得，即，，解得，選C. 函數(shù)的圖像關于( )A.軸對稱 B．直線對稱 C．坐標原點對稱 D．直線對稱【答案】C【解析】定義域為，且，是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，選C. 已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則在上的表達式為( ) A. B. C. D.【答案】B【解析】是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，則時，，此時，，故選B. 已知函數(shù)，則下列結論正確的是( )A.是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是 B.是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是C.是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是 D.是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是【答案】C【解析】定義域為，且，是奇函數(shù)，當時，，在上遞減，在遞增；當時，，在上遞減，在遞增，綜上，遞減區(qū)間是，選C. 如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且最大值為，那么在區(qū)間上是( )A.增函數(shù)且最小值是 B.增函數(shù)且最大值是 C.減函數(shù)且最大值是 D.減函數(shù)且最小值是【答案】A【解析】奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且最大值為，則在上也是增函數(shù)，，在區(qū)間上由最小值，選A. 若函數(shù)是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間是 .【答案】【解析】依題意，解得，，的遞減區(qū)間是. 若函數(shù)在上是奇函數(shù),則的解析式為________.【答案】【解析】在上是奇函數(shù)，，解得，. 設偶函數(shù)的定義域為，當時，是增函數(shù)，則由大到小的關系是__________．【答案】【解析】偶函數(shù)在上是增函數(shù)，，即. 若函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)的值為______．【答案】1【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，時，，則，. 設奇函數(shù)的定義域為，若當時，的圖象如右圖,則不等式的解集是．【答案】【解析】奇函數(shù)圖象關于原點對稱，作出在的圖象如下：由得，由圖可知，的解集為. 已知，則．【答案】【解析】由已知得，則. 已知函數(shù)的定義域是，且滿足，,如果對于，都有.(1) 求；(2) 解不等式.【答案】(1)0；(2).【解析】(1)令，得，；(2)依題意，，，由對于，都有，可知在單調(diào)遞減，由得，，解得，故解集為. 判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1) ； (2) ； (3) ； (4) .【答案】(1)奇函數(shù)；(2)非奇非偶函數(shù)；(3)奇函數(shù)；(4)非奇非偶函數(shù).【解析】(1)定義域為，且，是奇函數(shù)；(2)中有，解得，不關于原點對稱，是非奇非偶函數(shù)；(3)中有，解得，，，是奇函數(shù)；(4)當時，，此時且，是非奇非偶函數(shù). 已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，求不等式的解集.【答案】【解析】奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，由得，，解得，故解集為. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，且當時是增函數(shù)，若，求不等式的解集．【答案】【解析】奇函數(shù)在上是增函數(shù)，且，在上是增函數(shù)，且，由得或，解得或，故解集為. 若是定義在上的奇函數(shù)，當時，，求函數(shù)的解析式．【答案】【解析】是定義在上的奇函數(shù)，，當時，，此時，綜上，.

相關學案

相關學案更多

相關學案

相關學案 更多

相關學案更多