◇教學(xué)目標(biāo)◇
【知識(shí)與技能】
1.了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系;
2.能應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決相關(guān)問(wèn)題.
【過(guò)程與方法】
經(jīng)歷一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的探究過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生觀察思考、歸納概括的能力.
【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】
通過(guò)小組合作探究,發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心,培養(yǎng)科學(xué)探究精神.
◇教學(xué)重難點(diǎn)◇
【教學(xué)重點(diǎn)】
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.
【教學(xué)難點(diǎn)】
用根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題.
◇教學(xué)過(guò)程◇
一、情景導(dǎo)入
先填空,再找規(guī)律.
思考:觀察表中的x1+x2與x1x2的值,它們與前面的一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)之間有什么關(guān)系?從中你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?
二、合作探究
探究點(diǎn)1 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
典例1 一元二次方程3x2-1=2x+5兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和與積分別是( )
A.32,-2B.23,-2
C.-23,2D.-32,2
[解析] 先把3x2-1=2x+5化為一元二次方程的一般形式3x2-2x-6=0,再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系就可得出x1+x2=23,x1x2=?63=-2.
[答案] B
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為x1,x2,則x1+x2=-ba,x1x2=ca.
探究點(diǎn)2 根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用
典例2 已知5是方程x2+mx-5=0的一個(gè)根,求m的值及方程的另一根.
[解析] 解法1:設(shè)方程的另一個(gè)根為x1,則有5+x1=-m,5·x1=-5,得x1=-1,m=-4,所以方程的另一個(gè)根為-1,m的值為-4.
解法2:由題意得52+5·m-5=0,解得m=-4.
當(dāng)m=-4時(shí),方程為x2-4x-5=0,
解得x1=-1,x2=5,
所以方程的另一個(gè)根為-1,m的值為-4.
典例3 已知x1,x2是方程2x2+14x-16=0的兩實(shí)數(shù)根,那么x2x1+x1x2的值為 .
[解析] 由題意,得x1+x2=-7,x1x2=-8.
x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2?2x1x2x1x2=-(?7)2?2×(?8)8=-658.
[答案] -658
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,常用的拓展公式有:
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2;1x1+1x2=x1+x2x1x2;x12x2+x2x12=x1x2·(x1+x2).
變式訓(xùn)練 若x1,x2是關(guān)于x的方程x2-2mx+m2-m-1=0的兩個(gè)根,且x1+x2=1-x1x2,求m的值.
[解析] 因?yàn)閤1,x2是關(guān)于x的方程x2-2mx+m2-m-1=0的兩個(gè)根,
所以x1+x2=2m,x1·x2=m2-m-1.
因?yàn)閤1+x2=1-x1x2,
所以2m=1-(m2-m-1),
即m2+m-2=(m+2)(m-1)=0,
解得m1=-2,m2=1.
因?yàn)榉匠蘹2-2mx+m2-m-1=0有實(shí)數(shù)根,
所以Δ=(-2m)2-4(m2-m-1)=4m+4≥0,
解得m≥-1,所以m=1.
三、板書設(shè)計(jì)
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
1.利用求根公式推導(dǎo)根與系數(shù)的關(guān)系:由ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根x1=?b+b2?4ac2a,x2=?b?b2?4ac2a得x1+x2=-ba,x1x2=ca.
2.利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求方程中未知數(shù)的值.
◇教學(xué)反思◇
本節(jié)主要探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.在教學(xué)中主要通過(guò)填表的形式,讓學(xué)生先發(fā)現(xiàn)規(guī)律,通過(guò)一些特殊的方程歸納出一般一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系,再?gòu)睦碚撋霞右则?yàn)證,經(jīng)歷從特殊到一般的科學(xué)探究過(guò)程.
一元二次方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2+2x+1=0
x2-x=0
2x2-3x+1=0
5x+2x-3=0

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21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

版本： 人教版

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