本課是一節(jié)公式定理的新知課第一課時(shí)，曾在舊版的教材中占據(jù)很重要的位置，不但在中考中體現(xiàn)，延伸到高中的教學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用。現(xiàn)在又將曾一度刪去的內(nèi)容恢復(fù)，可見(jiàn)根系關(guān)系的重要，它為進(jìn)一步解決一元二次方程、二次函數(shù)以及相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題提供一些新的思路。
二、學(xué)情分析：
1.學(xué)生已學(xué)習(xí)用求根公式法解一元二次方程，。
2．本課的教學(xué)對(duì)象是初中三年級(jí)學(xué)生，學(xué)生對(duì)事物的認(rèn)識(shí)多是直觀、形象的，他們所注意的多是事物外部的、直接的、具體形象的特征，
3．在教學(xué)初始，出示一些學(xué)生所熟悉和感興趣的東西，結(jié)合一元二次方程求根公式使他們?cè)诂F(xiàn)代化的教學(xué)模式和傳統(tǒng)的教學(xué)模式相結(jié)合的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。
三、教法特點(diǎn)及預(yù)期效果分析：
1、 本設(shè)計(jì)采用“實(shí)踐——觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過(guò)程，使學(xué)生既動(dòng)手又動(dòng)腦，且又動(dòng)口，教師引導(dǎo)啟 發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)特性，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。
2、本設(shè)計(jì)遵循由特殊到一般，從實(shí)踐到理論（即從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)）的認(rèn)知規(guī)律。
3、本設(shè)計(jì)注重了學(xué)生的反思過(guò)程，使學(xué)生將知識(shí)系統(tǒng)化、格式化。
學(xué)法指導(dǎo)
1、引導(dǎo)學(xué)生實(shí)踐、觀察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、猜想并推理。
2、指導(dǎo)學(xué)生掌握思考問(wèn)題的方法及解決問(wèn)題的途徑。
3、指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，并將應(yīng)用問(wèn)題和規(guī)律歸類。
四、教學(xué)目標(biāo):
1、知識(shí)目標(biāo)：要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根與未知數(shù)，會(huì)求一元二次方程兩個(gè)根的倒數(shù)和與平方和，兩根之差。
2、能力目標(biāo)：通過(guò)韋達(dá)定理的教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。
3、情感目標(biāo)：通過(guò)情境教學(xué)過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的態(tài)度。體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的成功感，建立自信心。
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
1、重點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。
2、難點(diǎn)：讓學(xué)生從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，并用語(yǔ)言表述，比較抽象，學(xué)生真正掌握有一定的難度，是教學(xué)的難點(diǎn)。
五、教學(xué)過(guò)程:
（一）探索新知
問(wèn)題1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值決定什么？b2-4ac的取值呢？?jī)筛趺辞?？同學(xué)們可知道a、b、c的取值與一元二次方程ax2+bx+c=0的根還有其它關(guān)系？今天我們進(jìn)一步研究一元二次方程的這種關(guān)系。
問(wèn)題2.解下列方程并填寫下表：
（1）x2-5x+6=0 （2）2x2+5x+3=0 （2）3x2-2x-8=0
填寫下表
【設(shè)計(jì)意圖】：
二次項(xiàng)系數(shù)為1有1題；二次項(xiàng)系數(shù)不為1有2題,系數(shù)性質(zhì)符號(hào)各有不同.讓學(xué)生盡量體會(huì)與猜想兩根和、兩根積與系數(shù)之間的關(guān)系
請(qǐng)觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積與方程的系數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？
問(wèn)題3.請(qǐng)根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2與a、b、c之間的關(guān)系：____________。
問(wèn)題4.你能證明上面的猜想嗎？請(qǐng)證明，并用文字語(yǔ)言敘述說(shuō)明。分小組討論以上的問(wèn)題，并作出推理證明。若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1=，x2= 。則 x1+x2= ；x1x2=
設(shè)是方程的兩個(gè)根。
∴
∴


【設(shè)計(jì)意圖】
學(xué)生在已有公式法解一元二次方程的知識(shí)基礎(chǔ)上，可以最快速度說(shuō)出x1 和x2的值，接下來(lái)將字母系數(shù)表示的x1和x2的值代入相應(yīng)的代數(shù)式 x1+x2和x1x2 得出根系關(guān)系的結(jié)論，憑借學(xué)生自己的現(xiàn)有能力可以解決證明過(guò)程還可以讓學(xué)生體會(huì)，數(shù)學(xué)知識(shí)的一些結(jié)論是在計(jì)算的過(guò)程中產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)中那一系列的字母并不是高不可攀。
（二）嘗試發(fā)展
試一試：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積（方程兩根為x1，x2、k是常數(shù)）
（1）2x2-3x+1=0 x1+x2= ________ x1x2= ________
（2）3x2+5x=0 x1+x2= ________ x1x2= ________
（3）-4x2+x-2=0 x1+x2= _________ x1x2= _________
（4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _________ x1x2= _________
【設(shè)計(jì)意圖】
本例對(duì)絕大多數(shù)同學(xué)來(lái)說(shuō)是可以掌握的內(nèi)容，也是研究根系關(guān)系應(yīng)掌握
的內(nèi)容，還可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)整體代入的數(shù)學(xué)思想方法
嘗試題1、已知方程6x2+kx-5=0的一個(gè)根為，求它的另一個(gè)根及k的值。
組織學(xué)生自己分析解決，然后一學(xué)生演板，其余學(xué)生在草稿本上練習(xí)。
嘗試題2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程3x2-3x-1=0的兩個(gè)根的（1）平方和，（2）倒數(shù)和。
（三）歸納小結(jié)本課主要研究了什么？
1、方程的根是由系數(shù)決定的。
2、a≠0，且b2-4ac≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0的根為x1、x2
3、a≠0，△≥0時(shí)，x1+x2=，x1x2= 。
4、方程根與系數(shù)關(guān)系的有關(guān)應(yīng)用。
（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有關(guān)代數(shù)式的值。
六、設(shè)計(jì)說(shuō)明:
一、 重視知識(shí)的連貫性，由淺入深，在舊知識(shí)上構(gòu)建新知，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，活躍學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)。
在教學(xué)設(shè)計(jì)中，先復(fù)習(xí)一元二次方程的一般形式及求根公式，利用問(wèn)題情境解方程，一方面鞏固前面所說(shuō)的用公式法求一元二次方程，另一方面通過(guò)求出方程的兩根，引導(dǎo)學(xué)生探討一元二次方程的兩根和與兩根之積和系數(shù)的關(guān)系。讓學(xué)生自己動(dòng)手，得出結(jié)論。這樣做，充分發(fā)揮了學(xué)生的主動(dòng)性。
二、采用循序漸進(jìn)的方法達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。先是解解方程（1）x2-5x+6=0 （2）2x2+5x+3=0 （2）3x2-2x-8=0
觀察、思考兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系．
思考：所有的一元二次方程的兩個(gè)根都有這樣的規(guī)律嗎？
接著是利用求根公式推導(dǎo)一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）兩根之和與兩根之積與系數(shù)的關(guān)系，做到由特殊到一般，從而得出最后的結(jié)論。在以前的教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們習(xí)慣于教師講，學(xué)生聽(tīng)，學(xué)生自主探究的機(jī)會(huì)較少，我們先把一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系告訴學(xué)生，之后再進(jìn)行驗(yàn)證，學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神和綜合分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力沒(méi)有被充分發(fā)揮出來(lái)，通過(guò)這次的教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，提高了推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新精神。最后是通過(guò)講解例題和練習(xí)的方式讓學(xué)生掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

一元二次方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2-5x+6=0
2x2+5x+3=0
3x2-2x-8=0

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21.2.4 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

版本： 人教版

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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