? 二次函數(shù) （優(yōu)生加練）
一、單選題
1．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，設(shè)CD的長為x，四邊形ABCD的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是（　　）

A．y= B． y= C． y= D．y=
2．己知菱形ABCD的邊長為1，∠DAB=60°，E為AD上的動點，F(xiàn)在CD上，且AE+CF=1，設(shè)ΔBEF的面積為y，AE=x，當(dāng)點E運動時，能正確描述y與x關(guān)系的圖像是：(　　)

A． B．
C． D．
3．如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C對稱軸為直線x=1.直線y=﹣x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標(biāo)小于3，則下列結(jié)論：
①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1.
其中正確的有（　?。?br />
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
4．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝﹣1，下列結(jié)論不正確的是（　?。?br />
A．b2＞4ac B．a(chǎn)bc＞0
C．a(chǎn)﹣c＜0 D．a(chǎn)m2+bm≥a﹣b（m為為任意實數(shù)）
5．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與自變量x的部分對應(yīng)值如表，下列說法不正確的是（　　）
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣3
1
3
1
…
A．a(chǎn)＜0
B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4與5之間
C．2a+b＞0
D．若點（5，y1）、（﹣，y2）都在函數(shù)圖象上，則y1＜y2
6．二次函數(shù) 的部分圖象如圖所示，當(dāng) 時，函數(shù)值 的取值范圍是(　　)

A． B． C． D．
7．如圖，是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，給出下列命題：
①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c=0；④8a+c＞0；⑤ax2+bx+c=0的兩根分別為﹣3和1．
其中正確的命題有（　　）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
8．將拋物線在x軸上方的部分記為，在x軸上及其下方的部分記為，將沿x軸向下翻折得到，和兩部分組成的圖象記為M．若直線與M恰有2個交點，則m的取值范圍為（　?。?br /> A．或 B．或
C． D．或
9．將二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示.當(dāng)直線y＝x+b與新函數(shù)的圖象恰有3個公共點時，b的值為（　?。?br />
A． 或﹣3 B． 或﹣3
C． 或﹣3 D． 或﹣3
10．已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（點A在點B的左側(cè)），對稱軸為l：x＝1，直線y＝kx+2（k≠0）與拋物線相交于兩點M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），則|x1﹣x2|最小值為（　?。?
A．4 B．4 C．2 D．2
二、填空題
11．已知拋物線y=-x2+bx+c（b、c為常數(shù)）．
（1）當(dāng)c=-4時，拋物線與x軸有且只有一個交點，則b=　 ??；
（2）當(dāng)c=2b2時，若在自變量x的值滿足b≤x≤b+3的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為18，則b的值　 　．
12．如圖是王明正在設(shè)計的一動畫示意圖，×軸上依次有A，B，C三個點，且AB=2，在BC上方有五個臺階（各拐角均為90°），每個臺階的高、寬分別是1和1.5，第一個臺階到x軸距離BD=10．從點A處向右，上方沿拋物線y=-x2+4x+12發(fā)出一個帶光的點P．當(dāng)點P落在臺階上時，落點的坐標(biāo)是　 　．

13．我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學(xué)畫出了“鵲橋”函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|的圖像（如圖所示），并寫出下列結(jié)論：
①圖像與坐標(biāo)軸的交點為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②圖像具有對稱性，對稱軸是直線x＝1；
③當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；
④當(dāng)x＝﹣1或x＝3時，函數(shù)的最小值是0；
⑤當(dāng)x＝1時，函數(shù)的最大值是4；
⑥若點P（a，b）在該圖像上，則當(dāng)b＝2時，可以找到4個不同的點P．其中錯誤的結(jié)論是 　 ?。ㄌ钚蛱枺?br />
14．如圖，已知二次函數(shù) （a≠0（的圖象，且關(guān)于x的一元二次方程 沒有實數(shù)根，有下列結(jié)論：① ；② ；③ ；④ .其中正確結(jié)論的序號有　 　.

15．如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為邊AD上一動點，連接CE，以CE為邊向右側(cè)作正方形CEFG，連接DF，DG，則面積的最小值為　 　．

16．記拋物線C1：y＝(x﹣2)2+3的頂點為A，拋物線C2：y＝ax2+1(a＜0)頂點是點B，且與x軸的正半軸交于點 C.當(dāng)△ABC是直角三角形時，拋物線C2的解析式為　 　.
三、綜合題
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸相交于A，B兩點，點C的坐標(biāo)是．連接AC，BC．

（1）求過O，A，C三點的拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并判斷△ABC的形狀；
（2）動點P從點O出發(fā)，沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動；同時，動點Q從點B出發(fā)，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動．規(guī)定其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為ts，當(dāng)t為何值時，BPQ的面積最大？
（3）當(dāng)拋物線的對稱軸上有一點M，使以A，B，M為頂點的三角形是等腰三角形時，求出點M的坐標(biāo)．
18．拋物線過點A(-1，0)，B(3，0)，與y軸交于點C．對稱軸與x軸交于點D．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標(biāo)：
（2）如圖，連接CD、CB，在直線BC上方的拋物線上找點P，使得，求出P點的坐標(biāo)：
（3）點M為直線BC上一點，點N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以C，D，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
19．已知：拋物線y＝－x＋kx＋k＋1（k＞1）與x軸交于A、B兩點，（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．
（1）k＝2時，求拋物線的頂點坐標(biāo)；
（2）若拋物線經(jīng)過一個定點，求這個定點的坐標(biāo)；
（3）點P為拋物線上一點，且位于直線BC上方，過點P作PF∥y軸，交BC于點F，求PF長度的最大值（用含k式子表示）．
20．已知函數(shù)（m為常數(shù)），問：
（1）無論m取何值，該函數(shù)的圖像總經(jīng)過x軸上某一定點，該定點坐標(biāo)為　 　；
（2）求證：無論m為何值，該函數(shù)的圖像頂點都在函數(shù)圖像上：
（3）若拋物線與x軸有兩個交點A、B，且，求線段AB的最大值．
21．某童裝店銷售某款童裝，每件售價為60元，每星期可賣100件，為了促銷，該店決定降價銷售，經(jīng)市場調(diào)查反應(yīng)：每降價2元，每星期可多賣20件．已知該款童裝每件成本為40元．設(shè)該款童裝每件售價為x元，銷售量為y件．
（1）每星期的銷售量y =　 　(用含x的代數(shù)式表示y并化簡)；
（2）當(dāng)每件童裝售價定為多少元時，該店一星期可獲得2210元的利潤？
（3）當(dāng)每件售價定為多少元時，每星期的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
22．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx-3的圖象與x軸交于A（-3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點D在x軸的上方，以A、B、D為頂點的三角形與△ABC全等，平移該二次函數(shù)圖象，使平移后的圖象經(jīng)過點B與點D，請你寫出平移過程，并說明理由．
23．我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于直線 （n為常數(shù)）對稱，則把該函數(shù)稱之為“ 函數(shù)”.
（1）在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“ 函數(shù)”的是　 ?。ㄌ钚蛱枺?；
① ，② ，③
（2）若關(guān)于x的函數(shù) （h為常數(shù)）是“ 函數(shù)”，與 （m為常數(shù)， ）相交于A（ ， ）、B（ ， ）兩點，A在B的左邊， ，求m的值；
（3）若關(guān)于x的“ 函數(shù)” （a，b為常數(shù)）經(jīng)過點（ ，1），且 ，當(dāng) 時，函數(shù)的最大值為 ，最小值為 ，且 ，求t的值.
24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 與x軸交于 ， 兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接AC、BC，點P為直線BC上方拋物線上一動點，連接OP交BC于點Q.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng) 的值最大時，求點P的坐標(biāo)和 的最大值；
（3）把拋物線 沿射線AC方向平移 個單位得新拋物線 ，M是新拋物線上一點，N是新拋物線對稱軸上一點，當(dāng)以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出N點的坐標(biāo)，并把求其中一個N點坐標(biāo)的過程寫出來.
25．如圖1，拋物線 與x軸交于 ， 兩點，交y軸于點

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點P為直線AC上方且拋物線對稱軸左側(cè)的拋物線上一點，過點P作х軸的平行線交拋物線于點D，過點P作y軸的平行線交AC于點H，求 的最大值及此時點P的坐標(biāo)；
（3）把拋物線 向右平移 個單位，再向上平移 個單位得新拋物線，在新拋物線對稱軸上找一點M，在新拋物線上找一點N，直接寫出所有使得以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的坐標(biāo)，并把求其中一個點M的坐標(biāo)的過程寫出來.

答案解析部分
【解析】【解答】解：作AE⊥AC，DE⊥AE，兩線交于E點，作DF⊥AC垂足為F點，

∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
設(shè)BC=a，則DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，
解得：a= ，
∴y=S四邊形ABCD=S梯形ACDE= ×（DE+AC）×DF
= ×（a+4a）×4a
=10a2= x2．
故答案為：C．
【分析】作AE⊥AC，DE⊥AE，兩線交于E點，作DF⊥AC垂足為F點，利用AAS判定△ABC和△ADE全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)得出BC=DE，AC=AE，設(shè)BC=a，則DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，利用勾股定理求出a與x的關(guān)系，分別用含x的代數(shù)式表示出DE、DF、AC,求出梯形AEDC的面積即為四邊形ABCD的面積。
【解析】【解答】解：過點E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足為M、N，過點B作BG⊥DC，垂足為G．

∵AE=DF=x，
∴DE=FC=a-x．
∵∠A=∠NDE=∠C=60°，
∴EM= x，NE= （1-x），BG= ,
∵△EFB的面積=菱形的面積-△AEB的面積-△DFE的面積-△FCB的面積，
∴y=
=
當(dāng)x=0或x=1時，S△EFB有最大值；
故答案為：A。
【分析】過點E作EM⊥AB，EN⊥DC，垂足為M、N，過點B作BG⊥DC，垂足為G．由菱形的性質(zhì)可將EM、NE用含x的代數(shù)式表示出來，用勾股定理可求得BG的長，根據(jù)△EFB的面積=菱形的面積-△AEB的面積-△DFE的面積-△FCB的面積即可寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，由題意知，當(dāng)x=0或x=1時，函數(shù)有最大值，由此即可判斷正確的圖像。
【解析】【解答】∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c＞0，
∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣ =1，
∴b=﹣2a，
∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正確；
∵拋物線與x軸的一個交點在點（3，0）左側(cè)，
而拋物線的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點在點（﹣1，0）右側(cè)，
∴當(dāng)x=﹣1時，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以②正確；
∵x=1時，二次函數(shù)有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正確；
∵直線y=﹣x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C、D兩點，D點在x軸下方且橫坐標(biāo)小于3，
∴x=3時，一次函數(shù)值比二次函數(shù)值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b=﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正確，
故答案為：A.

【分析】根據(jù)拋物線與y軸的交點位置確定c的符號，根據(jù)對稱軸公式得出b=﹣2a，代 ① 化簡即可判斷 ① ；拋物線與x軸的一個交點在點（3，0）左側(cè)，結(jié)合拋物線的對稱軸為直線x=1，推出拋物線與x軸的另一個交點在點（﹣1，0）右側(cè)，則可得出當(dāng)x=﹣1時，y＜0，即a﹣b+c＜0，即可判斷②；正確；觀察圖象可得當(dāng)x=1時，二次函數(shù)有最大值，可得ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，即可判斷③；觀察圖象可得x=3時，一次函數(shù)值比二次函數(shù)值大，從而得出9a+3b+c＜﹣3+c，結(jié)合b=﹣2a，則可推出a＜﹣1，即可判斷④.
【解析】【解答】解：A、∵拋物線與坐標(biāo)軸有兩個交點，∴△=b2-4ac>0，即b2>4ac，正確；
B、∵拋物線的開口向上，∴a>0，-=-1，∴b>0，c>0，∴abc>0，正確；
C、∵-=-1，∴b=-2a，當(dāng)x=-1，a-b+c

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