? 二次函數(shù) （優(yōu)生集訓(xùn)）
一、綜合題
1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 與 軸交于 ， 兩點(diǎn)，與 軸交于點(diǎn) ，已知 ，直線 的解析式為 .

（1）求拋物線的解析式；
（2）在線段 上有一動(dòng)點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn) 作 交拋物線于點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn) 作 軸的平行線交 于點(diǎn) .求 的最大值，以及此時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將該拋物線沿 軸向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為 ， ， 在平面內(nèi)找一點(diǎn) ，使得以 ， ， ， 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫(xiě)出點(diǎn) 的坐標(biāo).
2．在平面直角坐標(biāo)系中，將一點(diǎn)（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不相等）橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到的點(diǎn)叫這一點(diǎn)的“H點(diǎn)”，如（2，-3）與（-3，2）是一對(duì)“H點(diǎn)”.
（1）點(diǎn) 和它的“H點(diǎn)”均在直線 上，求k的值；
（2）若直線 經(jīng)過(guò)的A，B兩點(diǎn)恰好是一對(duì)“H點(diǎn)”，其中點(diǎn)A還在反比例函數(shù) 的圖象上，一條拋物線 也經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，求該拋物線的解析式；
（3）已知 ，B為拋物線 上的一對(duì)“H點(diǎn)”，且滿(mǎn)足： ， ，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若該拋物線上有且僅存在3個(gè)點(diǎn)P滿(mǎn)足△PAB的面積為16，求 的值.
3．平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y = - +2ax + 1 - a(a為常數(shù))的頂點(diǎn)為A.
（1）當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，2)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)(用含字母ɑ的代數(shù)式表示)，判斷頂點(diǎn)A在x軸的上方還是下方，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)x ≥0時(shí)，拋物線y = - + 2ɑx + 1 - ɑ(ɑ為常數(shù))的最高點(diǎn)到直線y = 3ɑ的距離為5，求ɑ的值.
4．如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，CE=1，點(diǎn)F是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以EF為斜邊向上作等腰直角三角形.

（1）當(dāng)BF=5時(shí)，求BG的長(zhǎng)度．
（2）點(diǎn)F從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A的過(guò)程中，求AG的最小值．
5．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 的頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3 , 5）.

（1）求拋物線過(guò)點(diǎn)B時(shí)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)A的坐標(biāo)記為（ , ），求 關(guān)于 的函數(shù)表達(dá)式；
（3）已知C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0, 2），當(dāng)m取何值時(shí)，拋物線 與線段BC只有一個(gè)交點(diǎn).
6．某商店購(gòu)進(jìn)一批清潔劑，每瓶進(jìn)價(jià)為20元，出于營(yíng)銷(xiāo)考慮，要求每瓶清潔劑的售價(jià)不低于20元且不高于28元，在銷(xiāo)售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)該清潔劑每周的銷(xiāo)售量（瓶）與每瓶清潔劑的售價(jià)（元）之間滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為22元時(shí)，銷(xiāo)售量為36瓶；當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為24元時(shí)，銷(xiāo)售量為32瓶．
（1）求出與的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出的取值范圍；
（2）設(shè)該商店每周銷(xiāo)售這種清潔劑所獲得的利潤(rùn)為元，將該清潔劑銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，才能使商店銷(xiāo)售該清潔劑所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
7．如圖，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)y＜0時(shí)，寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）當(dāng)a≤x≤a＋1時(shí)，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的最小值為2a，求a的值．
8．在平面直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn)A是拋物線 的頂點(diǎn).

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）若射線 與x軸所成的銳角為 ，求m的值；
（3）將點(diǎn) 向左平移 個(gè)單位得到點(diǎn)Q，若拋物線與線段 只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出m的取值范圍.
9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系 中，拋物線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，且與直線 在第二象限交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作 軸，垂足為點(diǎn) .若P是直線 上方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作 軸于點(diǎn)C，交 于點(diǎn)D，連接 ， .

（1）求拋物線的解析式；
（2）求 的面積S的最大值；
（3）連接 交 于點(diǎn)E，如圖2，線段 與 能否互相平分？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx＋c的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P為二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求二次函數(shù)的解析式和直線AD的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P位于第二象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上時(shí)，連接AD，AP，以AD，AP為鄰邊作平行四邊形APED，設(shè)平行四邊形APED的面積為S，求S的最大值.
11．“三高四新”戰(zhàn)略是習(xí)近平總書(shū)記來(lái)湘考察時(shí)，為建設(shè)現(xiàn)代化新湖南擘畫(huà)的宏偉戰(zhàn)略藍(lán)圖.在數(shù)學(xué)上，我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn) 稱(chēng)為“三高四新”點(diǎn)，經(jīng)過(guò) 的函數(shù)，稱(chēng)為“三高四新”函數(shù).
（1）下列函數(shù)是“三高四新”函數(shù)的有　 ??；
①②③④
（2）若關(guān)于x的一次函數(shù) 是“三高四新”函數(shù)，且它與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸，求k的取值范圍；
（3）關(guān)于x的二次函數(shù) 的圖象頂點(diǎn)為A，點(diǎn) 和點(diǎn) 是該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)且使得 ，試判斷直線MN是否為“三高四新”函數(shù)，并說(shuō)明理由.
12．在平面直角坐標(biāo)系中，若直線 與函數(shù)G的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)P.則稱(chēng)該直線l是函數(shù)G關(guān)于點(diǎn)P的“聯(lián)絡(luò)直線”，點(diǎn)P稱(chēng)為“聯(lián)絡(luò)點(diǎn)”.
（1）直線 是函數(shù) 的“聯(lián)絡(luò)直線”嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù) ，求該函數(shù)關(guān)于“聯(lián)絡(luò)點(diǎn)” 的“聯(lián)絡(luò)直線”的解析式；
（3）若關(guān)于x的函數(shù) 圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)P作函數(shù) 關(guān)于點(diǎn)M，N的“聯(lián)絡(luò)直線”P(pán)M、PN.若直線 恰好經(jīng)過(guò)M、N兩點(diǎn)，請(qǐng)用含a的式子表示線段PC的長(zhǎng).
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)N是第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接NA，交y軸于點(diǎn)E，．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求線段AN的長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)M在第三象限拋物線上，連接MN，，則這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為　 ?。ㄖ苯訉?xiě)出結(jié)果）．
14．二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－4，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接PA，PC，求的最大值；
（3）連接BC，當(dāng)∠DPB＝2∠BCO時(shí)，求直線BP的表達(dá)式．
15．如圖，已知二次函數(shù) 的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C. 點(diǎn)P，Q為拋物線上兩動(dòng)點(diǎn).

（1）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，3），求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖①連結(jié)BC，在（1）的條件下，是否存在點(diǎn)Q，使得∠BCQ=∠ABC. 若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)，連結(jié)OP，當(dāng) a 的值從-3變化到-1的過(guò)程中，求線段OP掃過(guò)的面積.
16．二次函數(shù)y1＝ax2+2x過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A，B作一次函數(shù)y2＝kx+b，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1．

（1）求出二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象，當(dāng)y2＞y1時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）若P點(diǎn)在拋物線y1上，且橫坐標(biāo)為﹣1，求△ABP的面積．
17．某公司銷(xiāo)售一種商品，成本為每件30元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的日銷(xiāo)售量（件）與銷(xiāo)售單價(jià)（元）是一次函數(shù)關(guān)系，其銷(xiāo)售單價(jià)、日銷(xiāo)售量的三組對(duì)應(yīng)數(shù)值如下表：
銷(xiāo)售單價(jià)（元）
40
60
80
日銷(xiāo)售量（件）
80
60
40
（1）求公司銷(xiāo)售該商品獲得的最大日利潤(rùn)；
（2）銷(xiāo)售一段時(shí)間以后，由于某種原因，該商品每件成本增加了10元，若物價(jià)部門(mén)規(guī)定該商品銷(xiāo)售單價(jià)不能超過(guò)元，在日銷(xiāo)售量（件）與銷(xiāo)售單價(jià)（元）保持（1）中函數(shù)關(guān)系不變的情況下，該商品的日銷(xiāo)售最大利潤(rùn)是1500元，求的值．
18．已知二次函數(shù)y=ax2+bx (a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，4)，B(4，0) .

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.
（2）將x軸上的點(diǎn)P先向上平移3n (n>0）個(gè)單位得點(diǎn)P，再向左平移2n個(gè)單位得點(diǎn)2，若點(diǎn)P1，P2均在該二次函數(shù)圖象上，求n的值.
19．已知拋物線有最高點(diǎn)．

（1）m　 　0（填“>、=、

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