? 二次函數(shù) （優(yōu)生集訓(xùn)）
一、綜合題
1．公司經(jīng)銷某種商品，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天的銷售單價(jià) （元/千克）和成本價(jià) （元/千克）關(guān)于時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系式分別為 （ ，且 為整數(shù)）； ，他們的圖象如圖1所示，未來40天的銷售量 （千克）關(guān)于時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系如圖2的點(diǎn)列所示.

（1）求 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式；
（2）哪一天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
（3）若在最后10天，公司決定每銷售1千克產(chǎn)品就捐贈(zèng) 元給“環(huán)保公益項(xiàng)目”，且希望扣除捐贈(zèng)后每日的利潤(rùn)不低于3600元以維持各種開支，求 的最大值（精確到0.01元）.
2．某商店銷售一種商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的周銷售量y（件）是售價(jià)x（元/件）的一次函數(shù)，其售價(jià)、周銷售量、周銷售利潤(rùn)w（元）的三組對(duì)應(yīng)值如表：
售價(jià)x（元/件）
60
70
80
周銷售量y（件）
100
80
60
周銷售利潤(rùn)w（元）
2000
2400
2400
注：周銷售利潤(rùn)＝周銷售量×（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）
（1）①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．（不要求寫出自變量的取值范圍）
②該商品進(jìn)價(jià)是 ▲ 元/件；當(dāng)售價(jià)是 ▲ 元/件時(shí)，周銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是 ▲ 元．
（2）由于某種原因，該商品進(jìn)價(jià)提高了m元/件（m＞0），物價(jià)部門規(guī)定該商品售價(jià)不得超過70元/件，該商店在今后的銷售中，周銷售量與售價(jià)仍然滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系．若周銷售最大利潤(rùn)是1600元，求m的值．
3．某賓館共有80間客房.賓館負(fù)責(zé)人根據(jù)經(jīng)驗(yàn)作出預(yù)測(cè)：今年5月份，每天的房間空閑數(shù)y（間）與定價(jià)x（元/間）之間滿足y＝ x﹣42（x≥168）.若賓館每天的日常運(yùn)營(yíng)成本為4000元，有客人入住的房間，賓館每天每間另外還需支出36元的各種費(fèi)用，賓館想要獲得最大利潤(rùn)，同時(shí)也想讓客人得到實(shí)惠.
（1）求入住房間z（間）與定價(jià)x（元/間）之間關(guān)系式；
（2）應(yīng)將房間定價(jià)確定為多少元時(shí)，獲得利潤(rùn)最大？求出最大利潤(rùn)？
4．我縣某農(nóng)業(yè)合作社對(duì)一種特色水果一共開展了35次線上銷售，該種水果的成本價(jià)為每噸4萬元，銷售結(jié)束后，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得到了如下信息；
信息1：設(shè)第 次線上銷售水果 （噸），且第一次線上銷售水果為39噸，然后每一次總比前一次銷售減少1噸，
信息2：該水果的銷售單價(jià) （萬元/噸）與銷售場(chǎng)次 之間的函數(shù)關(guān)系式為
，且當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， .
請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下列問題.
（1） 與 之間的函數(shù)表達(dá)式為　 ??；
（2）若 （萬元/噸），求 的值；
（3）在這35次線上銷售中，哪一次線上銷售獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
5．某公司經(jīng)營(yíng)楊梅業(yè)務(wù)，以3萬元/噸的價(jià)格向農(nóng)戶收購(gòu)楊梅后，分揀成A、B兩類；B類楊梅深加工后再銷售，A類楊梅的包裝成本為1萬元/噸，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，平均銷售價(jià)格y（單位：萬元/噸）與銷售數(shù)量x（x≥2）之間的函數(shù)關(guān)系如圖，B類楊梅深加工總費(fèi)用s（單位：萬元）與加工數(shù)量t（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系是s＝12+3t，平均銷售價(jià)格為9萬元/噸，

（1）直接寫出A類楊梅平均銷售價(jià)格y與銷售量x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）第一次，該公司收購(gòu)了20噸楊梅，其中A類楊梅有x噸，經(jīng)營(yíng)這批楊梅所獲得的總利潤(rùn)為w萬元，求w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）第二次，該公司準(zhǔn)備投入132萬元資金，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種經(jīng)營(yíng)方案，使公司獲得最大利潤(rùn)，并求出最大利潤(rùn).
6．如圖，已知拋物線 與 軸交于 ， 兩點(diǎn)（點(diǎn) 在點(diǎn) 的左側(cè)），與 軸交于點(diǎn) ，且 .

（1）求拋物線的解析式：
（2）如圖，證明：對(duì)于 軸上任意一點(diǎn) ，都存在過點(diǎn) 的直線交拋物線于 ， 兩點(diǎn)，使得 ；
（3）將該拋物線在 之間的部分圖象記為 ，將圖象 在直線 下方的部分沿 翻折，其余部分保持不變，得到一個(gè)新的函數(shù)的圖象，記這個(gè)函數(shù)的最大值為 ，最小值為 ，若 ，求 的取值范圍.
7．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A為x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A（t，0）作垂直于x軸的直線l，在直線l上取點(diǎn)B，點(diǎn)B在第一象限，AB=4，直線OB：y1=kx（k為常數(shù)）.
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求k的值；
（2）經(jīng)過O，A兩點(diǎn)作拋物線y2=ax（x﹣t）（a為常數(shù)，a＞0），直線OB與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C.
①用含a，t的式子表示點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；
②當(dāng)t≤x≤t+4時(shí)，|y1﹣y2|的值隨x的增大而減?。划?dāng)x≥t+4時(shí)，|y1﹣y2|的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式并直接寫出t的取值范圍.
8．在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是直線 ，拋物線 上的動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為 ， .
（1）點(diǎn)B的縱坐標(biāo)用含有n的式子可表示為　 　.
（2）連接AB，當(dāng) 軸，A在B的右側(cè)且 時(shí)，求m的值；
（3）當(dāng) ， 時(shí)，作直線AB交y軸于點(diǎn)C，請(qǐng)直接寫出C點(diǎn)縱坐標(biāo)y的取值范圍.
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)t（t＞0）秒，拋物線y=x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)O和點(diǎn)P.已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）.

（1）求c、b（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)4＜t＜5時(shí)，設(shè)拋物線分別與線段AB、CD交于點(diǎn)M、N.
①在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，你認(rèn)為∠AMP的大小是否會(huì)變化？若變化，說明理由；若不變，求出∠AMP的值；
②求△MPN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求t為何值時(shí)，S= ；
③在矩形ABCD的內(nèi)部（不含邊界），把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”.若拋物線將這些“好點(diǎn)”分成數(shù)量相等的兩部分，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍.
10．汈汊湖素有魚米之鄉(xiāng)的美譽(yù)，某水產(chǎn)養(yǎng)殖大戶為了更好地發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢(shì)，一次性收購(gòu)了 淡水魚，計(jì)劃養(yǎng)殖一段時(shí)間后再出售.若每天放養(yǎng)的費(fèi)用均為400元，收購(gòu)成本為300000元.設(shè)這批淡水魚放養(yǎng)t天后的質(zhì)量為m（ ），銷售單價(jià)為y元/ .根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知：m與t的函數(shù)關(guān)系為 ；y與t的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

（1）分別求出當(dāng) 和 時(shí)，y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)將這批淡水魚放養(yǎng)t天后一次性出售所得利潤(rùn)為w元，求當(dāng)t為何值時(shí)，w最大？并求出最大值.（利潤(rùn)=銷售總額-總成本）
11．小亮在學(xué)習(xí)完一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)后，從中心對(duì)稱的角度思考函數(shù)圖象上的點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)所有的反比例函數(shù)圖象上都存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，經(jīng)過探究，小亮發(fā)現(xiàn)一些一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上也存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
（1）下列給出的一次函數(shù)中，其圖象上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是　 ??；
① ；② ；③ ；④
（2）已知二次函數(shù) 的圖象上存在不同的兩點(diǎn) 與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中 .
①求m及b的值；
②點(diǎn)C是該二次函數(shù)圖象上點(diǎn)A，B之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)A，B），若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)t最小值為 ，求此二次函數(shù)解析式.
12．材料：對(duì)拋物線 ，定義：點(diǎn) 叫做該拋物線的焦點(diǎn)，直線 叫做該拋物線的準(zhǔn)線，且該拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到準(zhǔn)線的距離相等.運(yùn)用上述材料解決如下問題：
如圖所示，已知拋物線C： 的圖象與x軸交于O、A兩點(diǎn)，且過點(diǎn) ，

（1）求拋物線C的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若將拋物線C的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到拋物線 的圖象.
①求拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.
②設(shè)M為拋物線 位于第一象限內(nèi)圖象上的任意一點(diǎn)，MN⊥x軸于點(diǎn)N，求MN+MA的最小值，并求出取得這個(gè)最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
13．如果某封閉圖形內(nèi)部存在一個(gè)點(diǎn).過該點(diǎn)的水平直線和沿垂直線交該圖形的四個(gè)點(diǎn)到每個(gè)點(diǎn)的距離相等，我們稱該圖形叫做中心等距圖形、這個(gè)點(diǎn)叫做該圖形的等距中心.如正方形就是中心等距圖形，請(qǐng)根據(jù)該定義探究以下回題：

（1）請(qǐng)寫出兩個(gè)常見幾何圖形是中心等距圖形；
（2）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，2），B（4，2），D（2，0），請(qǐng)判斷四邊形OABD是否為中心等距圖形，若是，求出等距中心的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.
（3）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，1），函數(shù)y＝ （x≥0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)C在x軸上，過點(diǎn)C作x軸垂線交函數(shù)y＝ （x＞0）的圖象于點(diǎn)B（B在A右側(cè)），若以線段OA、OC、BC和曲線AB所構(gòu)成的封閉圖形是中心等距圖形，求點(diǎn)C橫坐標(biāo)的范圍.
（4）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，2）.B（4，2），C（4，0），若拋物線y＝（x﹣m）2及其內(nèi)部與矩形OABC重疊部分所構(gòu)成的圖形是中心等距圖形，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍.
14．如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形 的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn) 為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn) ，點(diǎn) 是拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過 點(diǎn)作 于點(diǎn) ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .連接 .

（1）求拋物線的解析式；
（2）求 的值；
（3）①在點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) 的坐標(biāo)為；
②連接 ，在①的條件下，把 沿 軸平移（限定點(diǎn) 在射線 上），并使拋物線與 的邊始終有兩個(gè)交點(diǎn)，探究 點(diǎn)縱坐標(biāo) 的取值范圍是多少？

15．如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，點(diǎn)M為拋物線第二象限上一點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)D，與的面積比為.
①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②過點(diǎn)D作直線軸，點(diǎn)E是直線l上的點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的E、F，使得以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）與軸交于點(diǎn)，與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），且點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，.

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將原拋物線沿軸正方向平移得到新拋物線，經(jīng)過點(diǎn)，平移后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為新拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在新拋物線上存在一點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，并選擇一個(gè)你喜歡的點(diǎn)寫出求解過程.
17．如圖，拋物線 ，與 軸的正半軸交于點(diǎn) ，與 軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) ，與 軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) ，且 .

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將其圖象在 ， 之間的部分（含 ， 兩點(diǎn)）記為 ，若二次函數(shù) 的圖象與 只有一個(gè)公共點(diǎn)，求 的取值范圍.
18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線 過點(diǎn) ， ，與y軸的交點(diǎn)為C.
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，B，D，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）試畫出函數(shù) 的大致圖象，并直接寫出方程 的根的個(gè)數(shù).
19．已知拋物線y＝ax2+bx.
（1）若拋物線與一次函數(shù)y＝﹣x﹣1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a、b滿足的關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上的頂點(diǎn)，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，﹣2)， ＝3，且OP＞OQ，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(m，n)和點(diǎn)B(4﹣m，n)，直線PB與拋物線的另一交點(diǎn)為C.
①求拋物線的解析式；
②證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，直線AC必過一定點(diǎn).
20．已知拋物線 的對(duì)稱軸為直線x=1.
（1）求a的值；
（2）若點(diǎn)M( , ),N( , )都在此拋物線上，且-1＜ ＜0，1＜ ＜2.比較 和 的大小，并說明理由；
（3）設(shè)直線y=m(m＞0)與拋物線 交于A、B，與拋物線 交于C、D，求線段AB與線段CD的長(zhǎng)度之比.
21．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系 中，已知拋物線 ： （ ）．

（1）若拋物線過點(diǎn) ，求出拋物線的解析式；
（2）當(dāng) 時(shí)， 的最小值是 ，求 時(shí)， 的最大值；
（3）已知直線 與拋物線 （ ）存在兩個(gè)交點(diǎn)，若兩交點(diǎn)到 軸的距離相等，求 的值；
（4）如圖2，作與拋物線 關(guān)于 軸對(duì)稱且對(duì)稱軸相同的拋物線 ，當(dāng)拋物線 與拋物線 圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有11個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，直接寫出 的取值范圍．
22．定義：如果二次函數(shù)y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常數(shù)）與y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，則這兩個(gè)函數(shù)互為“N”函數(shù).

（1）寫出y＝﹣x2+x﹣1的“N”函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若題（1）中的兩個(gè)“N”函數(shù)與正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，求k的值；
（3）如圖，二次函數(shù)y1與y2互為“N”函數(shù)，A、B分別是“N”函數(shù)y1與y2圖象的頂點(diǎn)，C是“N”函數(shù)y2與y軸正半軸的交點(diǎn)，連接AB、AC、BC，若點(diǎn)A（﹣2，1）且△ABC為直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).
23．如圖，拋物線 與 軸交于點(diǎn) 和點(diǎn) ，交 軸于點(diǎn) ，連接 ， ，已知 ，且 的面積為 .

（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn) 是直線 上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) 作 軸，交直線 于點(diǎn) .拋物線上是否存在點(diǎn) ，使以 ， ， ， 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
24．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線和直線l:y=kx+b，點(diǎn)A(-3，-3)，B(1，-1)均在直線l上.
（1）若拋物線C與直線l有交點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=-1，二次函數(shù)的自變量x滿足m≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y的最大值為-4，求m的值；
（3）若拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍.
25．如圖，拋物線 經(jīng)過點(diǎn) ，與 軸交于點(diǎn) 和點(diǎn) （點(diǎn) 在點(diǎn) 的右邊），且 .

（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖1，點(diǎn) 、 在直線 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 ，點(diǎn) 在點(diǎn) 的上方，求四邊形 的周長(zhǎng)的最小值；
（3）如圖2，點(diǎn) 為拋物線上一點(diǎn)，連接 ，直線 把四邊形 的面積分為3：5兩部分，求點(diǎn) 的坐標(biāo).

答案解析部分
【解析】【分析】（1）設(shè)0≤t≤30時(shí)的解析式為m=k1t+b1，將點(diǎn)（0，120），（30，180）代入可得k1，b1，據(jù)此可得函數(shù)解析式；同理可得30

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