因式分解（優(yōu)生集訓(xùn)）一、綜合題1．分解因式：（1）（2）2．分解因式：（1）（2）3．分解因式：（1）（2）4．對多項式(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4進行因式分解時，小亮先設(shè)a2-4a=b，代入原式后得：原式=(b+2)(h+6)+4=b2+8b+16=(b+4)2=(a2-4a+4)2（1）小亮在因式分解時巧妙運用了以下那種數(shù)學(xué)思想：__________；   A．整體換元思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 C．分類討論思想（2）請指出上述因式分解存在的問題并直接寫出正確結(jié)果；（3）請參考以上方法對多項式(4a2+4a)(4a2+4a+2)+1進行因式分解。5．若a+b＝3，ab＝1.求（1）a2+b2；   （2）（a﹣b）2；   （3）ab3+a3b.   6．       （1）因式分解：（x-y）（3x-y）+2x（3x-y）；（2）設(shè) y=kx，是否存在實數(shù) k，使得上式的化簡結(jié)果為 x2？求出所有滿足條件的 k 的值．若不能，請說明理由．7．已知 是方程 的解.  （1）當(dāng) 時，求 的值.  （2）求 的值.  8．下面是某同學(xué)對多項式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4進行因式分解的過程．解：設(shè)x2-4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2-4x+4）2（第四步）（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的______．   A．提取公因式 B．平方差公式C．兩數(shù)和的完全平方公式 D．兩數(shù)差的完全平方公式（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？　     　．（填“徹底”或“不徹底”）若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結(jié)果　         　．（3）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2-2x）（x2-2x+2）+1進行因式分解．9．在求代數(shù)式的值時，當(dāng)單個字母不能或不用求出時，可把已條件作為一個整體，通過整體代入，實現(xiàn)降次、消元、歸零、約分等，快速求得其結(jié)果．如：已知 ， ，求代數(shù)式 的值．可以這樣思考：  因為 ， 所以 即 所以 舉一反三：（1）已知 ， ，求 的值．   （2）已知 ，則 的值．   （3）已知 ，求 的值．   10．下面是某同學(xué)對多項式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4進行因式分解的過程解：設(shè)x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4?。ǖ谝徊剑?/span>＝y2+8y+16?。ǖ诙剑?/span>＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的      （填序號）．   A．提取公因式 B．平方差公式C．兩數(shù)和的完全平方公式 D．兩數(shù)差的完全平方公式（2）該同學(xué)在第四步將y用所設(shè)中的x的代數(shù)式代換，得到因式分解的最后結(jié)果．這個結(jié)果是否分解到最后？　     　．（填“是”或“否”）如果否，直接寫出最后的結(jié)果　          　．（3）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進行因式分解．   11．解答題       （1）根據(jù)如圖所示的圖形寫出一個恒等代數(shù)式;（2）已知x- =3(其中x>0),求x+ 的值.12．閱讀材料題：在因式分解中，有一類形如x2+（m+n）x+mn的多項式，其常數(shù)項是兩個因數(shù)的積，而它的一次項系數(shù)恰是這兩個因數(shù)的和，則我們可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．運用上述方法分解因式：（1）x2+6x+8；（2）x2﹣x﹣6；   （3）x2﹣5xy+6y2；（4）請你結(jié)合上述的方法，對多項式x3﹣2x2﹣3x進行分解因式．13．將式子4x+（3x﹣x）=4x+3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）=4x﹣3x+x分別反過來，你得到兩個怎樣的等式？  （1）比較你得到的等式，你能總結(jié)添括號的法則嗎？  （2）根據(jù)上面你總結(jié)出的添括號法則，不改變多項式﹣3x5﹣4x2+3x3﹣2的值，把它的后兩項放在：  ①前面帶有“+”號的括號里；②前面帶有“﹣”號的括號里．③說出它是幾次幾項式，并按x的降冪排列．14．因式分解：（1）（2）15．分解因式：（1）（2）16．把下列各式分解因式：（1）；（2）17．分解因式：（1）3a3－6a2+3a．（2）a2(x－y)+b2(y－x)．18．分解因式：（1）；（2）19．綜合題（1）因式分解：4x2﹣16（2）解方程組 ．20．分解因式：（1）3a3﹣6a2+3a．（2）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）．21．教材中，在計算如圖1所示的正方形ABCD的面積時，分別從兩個不同的角度進行了操作：（i）把它看成是一個大正方形，則它的面積為（a+b）2；（ii）把它看成是2個小長方形和2個小正方形組成的，則它的面積為a2+2ab+b2；因此，可得到等式：（a+b）2=a2+2ab+b2．（1）類比教材中的方法，由圖2中的大正方形可得等式：　                                　．（2）試在圖2右邊空白處畫出面積為2a2+3ab+b2的長方形的示意圖（標(biāo)注好a，b）　     　 ，由圖形可知，多項式2a2+3ab+b2可分解因式為：　                           　 ．（3）若將代數(shù)式（a1+a2+a3+…+a20）2展開后合并同類項，得到多項式N，則多項式N的項數(shù)一共有　     　項．22．分解因式  （1）a3﹣2a2+a  （2）a2（x﹣y）+16（y﹣x）  23．分解因式  （1）21a3b﹣35a2b3（2）﹣x2+ y2（3）（2a﹣b）2+8ab． 
答案解析部分【解析】【分析】（1）利用平方差公式可得原式=(a2+1)(a2-1)，再次利用平方差公式分解即可；
（2）首先提取公因式-x，然后利用完全平方公式分解即可.【解析】【分析】(1)利用完全平方公式進行因式分解即可；
(2)先提取公因式2，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可.【解析】【分析】（1）先提取公因式x，然后利用完全平方公式進行分解即可．（2）利用平方差公式分解即可求得答案．【解析】【分析】（1）觀察多項式，先設(shè)一個b，利用了整體換元思想。
（2）還可以利用完全平方公式繼續(xù)化簡。
（3）利用整體換元、完全平方公式，可進行因式分解。【解析】【分析】（1）根據(jù)完全平方公式可得a2+b2＝(a+b)2-2ab，然后將已知條件代入計算即可；
（2）根據(jù)完全平方公式可得(a-b)2＝(a+b)2-4ab，然后將已知條件代入計算即可；
（3）對待求式子因式分解可得ab3+a3b＝ab(a2+b2)，然后代入計算即可.【解析】【分析】（1）將3x-y看著整體，利用提公因式法可得結(jié)果。
（2）將y=kx代入，再根據(jù)使化簡的結(jié)果為x2，由此可建立關(guān)于k的方程，解方程求出k的值。【解析】【分析】（1）已知a的值，則x可求，把x、y值代入方程3x+by=即可求出b值；
（2）把原式前三項按完全平方公式分解因式，再代入a、b值即可求出結(jié)果。【解析】【解答】（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的兩數(shù)和的完全平方公式；故答案為：C；（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，原式=（x2-4x+4）2=（x-2）4；故答案為：不徹底，（x-2）4【分析】（1）根據(jù)分解因式的過程直接得出答案；（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，進而再次分解因式得出即可；（3）將（x2-2x）看作整體進而分解因式即可．【解析】【分析】（1）用完全平方公式展開，然后兩式做減法可得到4ab=16，即ab=4；（2）根據(jù) 可得到 ，然后再根據(jù) 得到 ；（3）把 局部進行提取公因式，然后將 整體代入即可【解析】【解答】解：（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的兩數(shù)和的完全平方公式；故答案為：C；（2）這個結(jié)果沒有分解到最后，原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；故答案為：否，（x﹣2）4；
【分析】（1）該同學(xué)第二步到第三步運用了因式分解的兩數(shù)和的完全平方公式；
（2）這個結(jié)果沒有分解到最后，還需要利用完全平方公式分解到每一個因式都不能再分解為止；
（3）把 x2﹣2x 看成一個整體，先將代數(shù)式整理成一般形式，然后利用完全平方公式分解因式，再將底數(shù)使用完全平方公式分解到每一個因式都不能再分解為止。【解析】【分析】（1）根據(jù)陰影部分的面積=大正方形的面積-中間小正方形的面積=4個長方形的面積，列式即可。
（2）將原式兩邊同時平方，得出，再將左邊配成完全平方式，左右兩邊同時加上2，然后根據(jù)x>0，求出代數(shù)式的值即可。【解析】【分析】(1)常數(shù)項8=2×4，它的一次項系數(shù)6=2+4；(2)常數(shù)項-6=-3×2，它的一次項系數(shù)-1=-3+2；(3)將6y2看成常數(shù)項，-5y看成一次項系數(shù)，6y2=(-2y)·(-3y)，-5y=(-2y)+(-3y)；(4)先提出公因式x，再按材料介紹的方法分解因式.【解析】【分析】（1）將式子4x+（3x﹣x）=4x+3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）=4x﹣3x+x分別反過來，得到4x+3x﹣x=4x+（3x﹣x），4x﹣3x+x=4x﹣（3x﹣x），比較即可得到添括號法則；（2）①②利用添括號法則即可求解；③利用多項式的定義，以及降冪排列的順序求解即可．  【解析】【分析】（1）運用平方差公式因式分解即可.（2）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可.【解析】【分析】（1）先提取公因式（常數(shù)2），再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解．（2）先變形提公因式后，在利用平方差公式分解即可.【解析】【分析】（1）直接找出公因式，進而提取公因式得出即可；（2）原式利用平方差公式化簡，再利用完全平方公式分解即可．【解析】【分析】因式分解是把一個多項式化為幾個因式積的形式.根據(jù)因式分解的一般步驟：一提（公因式）、二套（平方差公式 ，完全平方公式 ）、三檢查（徹底分解）.（1）根據(jù)提公因式和公式法即可分解.（2）根據(jù)提公因式和公式法即可分解.【解析】【分析】（1）直接提取公因式即可；（2）先由完全平方公式分解，再用平方差公式二次分解即可.【解析】【分析】（1）第1題先提公因式再運用平方差公式；（2）采用代入消元法簡單些..【解析】【分析】先提取公因式，再利用完全平方差以及平方差公式進行計算。【解析】【解答】解：（1.）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案為：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2.）如圖，2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b），故答案為：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）；（3.）∵（a1+a2）2=a12+2a1a2+a22，共有2+1=3項；（a1+a2+a3）2=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a3a3，共有1+2+3=6項，…∴（a1+a2+a3+…+a20）2展開后合并同類項共有1+2+3+…+20= =210項，故答案為：210．【分析】（1）根據(jù)圖2，利用直接求與間接法分別表示出正方形面積，即可確定出所求等式；（2）根據(jù)長方形的面積公式與長、寬之間的關(guān)系畫出圖形即可；（3）由（a1+a2）2=a12+2a1a2+a22，共有2+1=3項；（a1+a2+a3）2=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a3a3，共有1+2+3=6項，知（a1+a2+a3+…+a20）2展開后合并同類項共有1+2+3+…+20= =210項．【解析】【分析】（1）直接提取公因式a，進而利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（x﹣y），進而利用平方差公式分解因式得出答案．  【解析】【分析】（1）根據(jù)提公因式，可得答案；（2）根據(jù)平方差公式，可得答案；（3）根據(jù)完全平方公式，可得答案． 

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