學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.理解圓周角定義，掌握圓周角定理.
2.會熟練運(yùn)用定理解決問題.
學(xué)習(xí)策略
1.培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析及理解問題的能力.
2.在學(xué)生自主探索定理的過程中，經(jīng)歷猜想、推理、驗證等環(huán)節(jié)，獲得正確學(xué)習(xí)方式.
3.在經(jīng)歷探索圓周角和圓心角關(guān)系的過程中，感受探索的艱辛與喜悅，體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng)造，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望.
學(xué)習(xí)過程
一.復(fù)習(xí)回顧：
1．圓心角的定義?
2．圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)有何關(guān)系?
3．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條 、兩條 中
有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．

二.新課學(xué)習(xí)：
1.自讀教材78-80頁內(nèi)容思考如下問題：
（1）我們已經(jīng)知道，頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角，那當(dāng)角頂點(diǎn)發(fā)生變化時,我們得到幾種情況?
（2）圖（3）中的∠BAC，頂點(diǎn)在什么位置？
（3）角的兩邊有什么特點(diǎn)？
圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊分別與圓還有另一個交點(diǎn)的角叫圓周角.
2. 當(dāng)球員在B,D,E處射門時,他所處的位置對球門AC分別形成三個張角∠ABC,∠ADC,∠AEC．

（1）在下圖中，所對的圓周角有幾個？
（2）所對的圓心角和所對的圓周角之間有什么關(guān)系？
（3）你是通過什么方法得到的？
圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半．
2. 如圖,∠AOB=80°.

（1）請你畫出幾個所對的圓周角嗎？
（2）圓周角和圓心角有幾種不同的位置關(guān)系？
（3）這些圓周角與圓心角∠AOB的大小有什么關(guān)系?
（4）這幾個圓周角的大小有什么關(guān)系？
（5）改變∠AOB的度數(shù)，上面的結(jié)論還成立嗎？
（6）你能選擇其中之一進(jìn)行證明嗎？
（7）大家通過合作探究還能解決其他兩種情況嗎？
解：∠ABC＝∠AOC ． 理由是：
∵ ∠AOC是△ABO的外角 ，
∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO．
∴∠AOC＝2∠ABO．
即∠ABC＝∠AOC．
（8）問題回顧：當(dāng)球員在B，D，E處射門時,他所處的位置對球門AC分別形成三個張角∠ABC，∠ADC，∠AEC，這三個角的大小有什么關(guān)系?
理由：連接AO、CO,
∴．
圓周角定理推論：同弧或等弧所對的圓周角相等．
三.嘗試應(yīng)用：
1. 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC=45°，∠ACB=75°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
2. 如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，則∠AOB＝ 度．
3. 如圖，OA、OB、OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC，∠ACB與∠BAC的大小有什么關(guān)系，為什么？

四.自主總結(jié)：
1.圓周角定義：頂點(diǎn)在 ，并且兩邊分別與圓還有 的角叫做圓周角．
2.圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的 ．
3.圓周角定理推論：同弧或 所對的圓周角 .
五.達(dá)標(biāo)測試
一、選擇題
1.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，若∠ABC=40°，則∠AOC的度數(shù)為（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
2. 如圖，AB為⊙O直徑，CD為弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度數(shù)為（ ）
A．70°B．35°C．30°D．20°
3. 如圖，AB是⊙O的直徑，∠D=35°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．120°B．70°C．100°D．110°
二、填空題
4. 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠OAB=28°，則∠C的大小為 ．
5. 如圖，AD為⊙O的直徑，∠ABC=75°，且AC=BC，則∠BED= ．
6. 如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC為弦，過圓心O作OD⊥BC交弧BC于點(diǎn)D，連接DC，若∠DCB=32°，則∠BAC= ．
三、解答題
7．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A=45°，BD是直徑，且BD=2，連接CD，求BC的長．
8. 如圖所示，BC為⊙O的直徑，弦AD⊥BC于E，∠C=60°．
求證：△ABD為等邊三角形．
9．如圖，已知△ABC中，以AB為直徑的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度數(shù)．
10．如圖，AB是半圓的直徑，C、D是半圓上的兩點(diǎn)，且∠BAC=20°，=．求四邊形ABCD各內(nèi)角的度數(shù)．
達(dá)標(biāo)測試答案
一、選擇題
1．【解析】由⊙O是△ABC的外接圓，若∠ABC=40°，根據(jù)圓周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．故選：D．
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
2．【解析】由于直徑AB⊥CD，由垂徑定理知B是的中點(diǎn)，進(jìn)而可根據(jù)等弧所對的圓心角和圓周角的數(shù)量關(guān)系求得∠A的度數(shù)．
【解答】解：∵直徑AB⊥CD，∴B是的中點(diǎn)；∴∠A=∠BOC=35°；故選B．
【點(diǎn)評】此題主要考查的是垂徑定理和圓周角定理的綜合應(yīng)用，理解等弧所對的圓周角是圓心角的一半是解決問題的關(guān)鍵．
3. 【解析】根據(jù)同弧所對的圓心角等于它所對圓周角的2倍，由角D為圓的圓周角，求出角AOC的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義，即可求出角BOC的度數(shù)．
【解答】解：∵=，又∠D=35°，
∴∠AOC=2∠D=70°，
∴∠BOC=180°﹣70°=110°．
故選D
【點(diǎn)評】此題要求學(xué)生善于觀察圖形找出一條弧所對的圓心角和圓周角的聯(lián)系，考查了學(xué)生的發(fā)散思維能力，是一道基礎(chǔ)題．
二、填空題
4．【解析】連接OB．根據(jù)等腰△OAB的兩個底角∠OAB=∠OBA、三角形的內(nèi)角和定理求得∠AOB=124°；然后由圓周角定理求得∠C=62°．
【解答】解：連接OB．在△OAB中，OA=OB（⊙O的半徑），
∴∠OAB=∠OBA（等邊對等角）；
又∵∠OAB=28°，∴∠OBA=28°；
∴∠AOB=180°﹣2×28°=124°；
而∠C=∠AOB（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半），
∴∠C=62°；
故答案是：62°．
【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、圓周角定理．解答此類題目時，經(jīng)常利用圓的半徑都相等的性質(zhì)，將圓心角置于等腰三角形中解答．
5．【解析】由AD為⊙O的直徑，∠ABC=75°，且AC=BC，可求得∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，繼而可得∠CBD=15°，由三角形內(nèi)角和定理，即可求得答案．
【解答】解：∵AD為⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°，
∵AC=BC，∠ABC=75°，
∴∠BAC=∠ABC=75°，
∴∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=30°，∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=15°，
∴∠D=∠C=30°，
∴∠BED=180°﹣∠CBD﹣∠D=135°．
故答案為：135°．
【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
6．【解析】由圓周角定理可知，∠BOD=2∠BCD=64°，由AB為直徑可知，AC⊥BC，又OD⊥BC，可知AC∥OD，利用平行線的性質(zhì)可求∠BAC．
【解答】解：∵∠BOD與∠BCD為所對的圓心角和圓周角，
∴∠BOD=2∠BCD=64°，
∵AB為直徑，∴AC⊥BC，
又∵OD⊥BC，∴AC∥OD，
∴∠BAC=∠BOD=64°，
故答案為：64°．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，平行線的判定與性質(zhì)．關(guān)鍵是利用圓周角定理求圓心角，利用平行線的判定與性質(zhì)求解．
三、解答題
7．【解析】先根據(jù)圓周角定理可求出∠D=45°，∠BCD=90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知△BCD是等腰直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義即可求出BC的長．
【解答】解：在⊙O中，∵∠A=45°，∠D=45°，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BCD=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=BD?sin45°，
∵BD=2，
∴．
【點(diǎn)評】本題主要考查的是圓周角定理、等腰直角三角形的判定及銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是求出△BCD是等腰直角三角形．
8．【解析】根據(jù)垂徑定理求出AE=DE，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出BA=BD，根據(jù)圓周角定理求出∠D=60°，根據(jù)等邊三角形判定推出即可．
【解答】證明：∵BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，
∴AE=DE，
∴BD=BA，
∵∠D=∠C=60°，
∴△ABD為等邊三角形．
【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，線段垂直平分線性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．
9．【解析】連接AE，判斷出AB=AC，根據(jù)∠B=∠C=70°求出∠BAC=40°，再根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，求出∠DOE的度數(shù)．
【解答】解：連接AE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵BE=CE，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=70°，∠BAC=2∠CAE，
∴∠BAC=40°，
∴∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40°．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理，把圓周角轉(zhuǎn)化為圓心角是解題的關(guān)鍵．
10. 【解析】連結(jié)BC，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，則利用互余可計算出∠B=70°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算出∠D=180°﹣∠B=110°，接著根據(jù)圓周角定理和三角形內(nèi)角和定理，由弧AD=弧CD得到∠DAC=∠DCA=35°，然后計算∠DAB=∠DAC+∠BAC=55°，∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°．
【解答】解：連結(jié)BC，如圖，
∵AB是半圓的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=70°，
∵四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，
∴∠D=180°﹣∠B=110°，
∵弧AD=弧CD，
∴∠DAC=∠DCA=（180°﹣110°）=35°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=55°，∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°，
即四邊形ABCD各內(nèi)角的度數(shù)發(fā)你為55°，70°，125°，110°．
【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．

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4 圓周角和圓心角的關(guān)系

版本： 北師大版

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