1.通過作圖、觀圖理解切線長的概念，體會切線與切線長的區(qū)別與聯(lián)系.
2.經(jīng)歷探索切線長定理的過程,發(fā)展學生合情推理和演繹推理的能力.
3.應(yīng)用切線長定理進行相關(guān)的計算和證明.
學習策略
1.通過對例題的分析，培養(yǎng)學生分析總結(jié)問題的習慣，提高學生綜合運用知識解題的能力.
2.通過對例題的分析，調(diào)動學生的學習積極性，激發(fā)學生的學習興趣，樹立科學的學習態(tài)度．
3.通過分析問題、解決問題的過程，激發(fā)學生學數(shù)學的興趣，使學生積極參與、體驗成功.
學習過程
一.復(fù)習回顧：
1、直線與圓的位置關(guān)系有 種，
（1） ；
（2） ；
（3） 。
2、過⊙O上一點可以畫 條切線，試用尺規(guī)作圖在下圖中作出經(jīng)過點A的切線MN。

二.新課學習：
1.從⊙O外一點P引⊙O的兩條切線，切點分別為A、B，那么線段PA和PB
之間有何關(guān)系？

（1）根據(jù)條件畫出圖形；
（2）度量線段PA和PB的長度；
（3）猜想：線段PA和PB之間的關(guān)系；
（4）尋找證明猜想的途徑；
（5）在圖中還能得出哪些結(jié)論？并把它們歸類.
（6）上述各結(jié)論中，你想把哪個結(jié)論作為切線長的性質(zhì)？請說明理由.
從圓外一點可以引圓的兩條切線，這一點和切點之間線段的長度叫做圓的切線長.
切線長定理：過圓外一點，所畫的圓的兩條切線長相等。
切線長定理可拓展為過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.
2. 如圖，四邊形ABCD的四條邊都與⊙O相切，切點分別為E，F(xiàn)，G，H，由切線長定理你能發(fā)現(xiàn)哪些線段相等?
（1）由點A的切線可知 = .
（2）由點B的切線可知 = .
（3）由點C的切線可知 = .
（4）由點D的切線可知 = .
結(jié)論：AB+CD=A D+BC，進而得出：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等.
3．已知如圖，在Rt△ABC的兩條直角邊AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的內(nèi)切圓，切點分別為D,E,F，求⊙O 的半徑.
（1）從圖中可得出哪些結(jié)論？請說明理由.
（2）求⊙O 的半徑時，應(yīng)如何利用已知條件？
三.嘗試應(yīng)用：
1. 如圖，AB、AC是⊙O的切線，B、C為切點,∠ A =50°，點P是圓上異于B、C，且在上的動點，則∠BPC的度數(shù)是（ ）
2. 已知⊙O的半徑為3cm，點P和圓心O的距離為6cm,過點P兩條畫⊙O的兩條切線，這兩條切線的切線長為 cm.
3. 已知：如圖PA,PB是⊙O的切線，切點分別是A,B，C為⊙O上一點，過C點作⊙O的切線，交PA,PB于D,E點，已知PA=PB=5cm，求△PDE的周長.
四.自主總結(jié)：
1.過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的 叫做這點到圓的切線長.
2.切線長定理：從圓外一點所畫的圓的兩條切線長 ．
3.圓的外切四邊形的 的和相等.
五.達標測試
一、選擇題
1．如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA=5，則△PCD的周長為（ ）
A．5B．7C．8D．10
2．如圖，一圓內(nèi)切四邊形ABCD，且BC=10，AD=7，則四邊形的周長為（ ）
A．32B．34C．36D．38
3．如圖，正方形ABCD邊長為4cm，以正方形的一邊BC為直徑在正方形ABCD內(nèi)作半圓，過A作半圓的切線，與半圓相切于F點，與DC相交于E點，則△ADE的面積（ ）
A．12B．24C．8D．6
二、填空題
4.已知P是⊙O外一點，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B．若PA=6，則PB= ．
5．如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，P、C、D為切點，如果AB=5，AC=3，則BD的長為 ．
6．如圖，⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，AB=9，BC=8，AC=10，點D、E分別為AB、AC上的點，且DE為⊙I的切線，則△ADE的周長為 ．
三、解答題
7．如圖，P是⊙O外的一點，PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，C是AB上的任意一點，過點C的切線分別交PA、PB于點D、E．若PA=4，求△PED的周長．
8．如圖，邊長為1的正方形ABCD的邊AB是⊙O的直徑，CF是⊙O的切線，E為切點，F(xiàn)點在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面積．
9．如圖，⊙O是梯形ABCD的內(nèi)切圓，AB∥DC，E、M、F、N分別是邊AB、BC、CD、DA上的切點．
（1）求證：AB+CD=AD+BC；
（2）求∠AOD的度數(shù)．
10．如圖，PA、PB、DE切⊙O于點A、B、C、D在PA上，E在PB上，
（1）若PA=10，求△PDE的周長．
（2）若∠P=50°，求∠O度數(shù)．
3.7切線長定理達標測試答案
一、選擇題
1．【解析】由切線長定理可得PA=PB，CA=CE，DE=DB，由于△PCD的周長=PC+CE+ED+PD，所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，故可求得三角形的周長．
【解答】解：∵PA、PB為圓的兩條相交切線，
∴PA=PB，
同理可得：CA=CE，DE=DB．
∵△PCD的周長=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周長=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD的周長=10，
故選D．
【點評】本題考查了切線的性質(zhì)以及切線長定理的運用．
2．【解析】根據(jù)切線長定理，可以證明圓外切四邊形的性質(zhì)：圓外切四邊形的兩組對邊和相等，從而可求得四邊形的周長．
【解答】解：由題意可得圓外切四邊形的兩組對邊和相等，
所以四邊形的周長=2×（7+10）=34．
故選：B．
【點評】此題主要考查了切線長定理，熟悉圓外切四邊形的性質(zhì)：圓外切四邊形的兩組對邊和相等是解題關(guān)鍵．
3．【解析】由于AE與圓O切于點F，根據(jù)切線長定理有AF=AB=4cm，EF=EC；設(shè)EF=EC=xcm．則DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，
然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出關(guān)于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面積．
【解答】解：∵AE與圓O切于點F，
顯然根據(jù)切線長定理有AF=AB=4cm，EF=EC，
設(shè)EF=EC=xcm，
則DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4﹣x）2+42=（4+x）2，
∴x=1cm，
∴CE=1cm，
∴DE=4﹣1=3cm，
∴S△ADE=AD?DE÷2=3×4÷2=6cm2．
故選D．
【點評】此題主要考查圓的切線長定理，正方形的性質(zhì)和勾股定理等知識，解答本題關(guān)鍵是運用切線長定理得出AB=AF，EF=EC．
二、填空題
4．【解析】根據(jù)切線長定理知：PA=PB，由此可求出PB的長．
【解答】解：∵PA、PB都是⊙O的切線，且A、B是切點；
∴PA=PB，即PB=6．
【點評】此題考查的是切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等．
5. 【解析】由于AB、AC、BD是⊙O的切線，則AC=AP，BP=BD，求出BP的長即可求出BD的長．
【解答】解：∵AC、AP為⊙O的切線，
∴AC=AP，
∵BP、BD為⊙O的切線，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．
故答案為：2．
【點評】本題考查了切線長定理，兩次運用切線長定理并利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．【解析】根據(jù)切線長定理，可將△ADE的周長轉(zhuǎn)化為AB+AC﹣BC的長，由此得解．
【解答】解：如右圖；
設(shè)DE、BD、BC、CE與⊙I的切點分別為F、G、H、M，由切線長定理知：
BH=BG、CH=CM、EM=EF、FD=DG、AM=AG；
則AG+AM=AB+AC﹣BC=11；
所以△ADE的周長=AD+DE+AE=AD+DG+EM+AE=AG+AM=11．
【點評】本題考查的是切線長定理，切線長定理圖提供了很多等線段，解析圖形時關(guān)鍵是要仔細探索，找出圖形的各對相等切線長．
三、解答題
7．【解析】由PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，根據(jù)切線長定理得到PA=PB=4，同理得DC=DA，EC=EB，再根據(jù)三角形周長的定義得到△PED的周長=PD+DE+PE，然后利用等相等代換得到△PDE的周長=PD+DA+EB+PE=PA+PB．
【解答】解：∵PA、PB分別與⊙O相切于點A、B，
∴PA=PB=4，
∵過點C的切線分別交PA、PB于點D、E，
∴DC=DA，EC=EB，
∴△PED的周長=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=4+4=8．
【點評】本題考查了切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．
8. 【解析】設(shè)AF=x，由切線長定理可得EF=AF=x，則FD=1﹣x，CF=CE+EF=CB+EF=1+x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出問題的答案．
【解答】解：設(shè)AF=x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴DA⊥AB，
∴AD是圓的切線，
∵CF是⊙O的切線，E為切點，
∴EF=AF=x，
∴FD=1﹣x，
∴CF=CE+EF=CB+EF=1+x．
∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2=CD2+DF2，
即（1+x）2=1+（1﹣x）2 ，
解得x=，
∴DF=1﹣x=，
∴S△CDF=×1×=．
【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理的運用以及三角形的面積公式，題目的綜合性很強，難度中等．
9．【解析】（1）根據(jù)切線長定理可證得AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，進而證明AB+DC=AD+BC；
（2）連OE、ON、OM、OF，通過證明△OAE≌△OAN，得到∠OAE=∠OAN．同理：∠ODN=∠ODE，再利用平行線的性質(zhì)：同旁內(nèi)角互補即可求出∠AOD的度數(shù)．
【解答】（1）證明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切線長定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，
∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM，
∴AB+DC=AD+BC；
（2）解：連OE、ON、OM、OF，
∵OE=ON，AE=AN，OA=OA，
∴△OAE≌△OAN，
∴∠OAE=∠OAN．
同理，∠ODN=∠ODF．
∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE．
又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°，
∴∠OAN+∠ODN=×180°=90°，
∴∠AOD=180°﹣90°=90°．
【點評】本題考查了切線長定理和全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)：同旁內(nèi)角互補，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形．
10. 【解析】（1）于PA、PB、DE都是⊙O的切線，可根據(jù)切線長定理將切線PA、PB的長轉(zhuǎn)化為△PDE的周長；
（2）連接OA、OC、0B，利用切線長定理即可得到∠O=∠AOB，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得∠AOB+∠P=180°，進而求出∠O的度數(shù)．
【解答】解：（1）∵PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20；
∴△PDE的周長為20；
（2）連接OA、OC、0B，
∵OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，
∴∠DAO=∠EBO=90°，
∴∠P+∠AOB=180°，
∴∠AOB=180°﹣50°=130°
∵∠AOD=∠DOC，∠COE=∠BOE，
∴∠DOE=∠AOB=×130°=65°．
【點評】此題主要考查的是切線長定理，能夠發(fā)現(xiàn)△PDE的周長和切線PA、PB長的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
A．
65°
B．
115°
C．
115°或65°
D．
130°或65°

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7 切線長定理

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