1.理解最值的概念，了解其與函數極值的區(qū)別與聯(lián)系.2.會求某閉區(qū)間上的最值并能解決生活中的最值問題.
同學們，上節(jié)課我們在群山之間穿梭，感受了每一個山峰與山谷的優(yōu)美之處，而今天我們誓要尋找最高的山峰和最低的峽谷，我們既要有俯視一切的雄心和氣概，拿出“會當凌絕頂，一覽眾山小”的氣勢，也要有仰望一切的謙虛和胸懷，更要有“可上九天攬月，可下五洋捉鱉”的勇氣，這其實就是我們今天要探究的函數的最值.
三、用導數解決實際問題
問題1　如圖是y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的函數圖象.顯然f(x1)，f(x3)，f(x5)為極大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)為極小值.你能找到函數的最大值和最小值嗎？
提示　最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分別在x＝x3及x＝b處取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4處取得.顯然函數的最值是函數的整體性質，且要求函數是連續(xù)不斷的，而最值不同于極值，如果有最大(小)值，則唯一存在.
問題2　開區(qū)間上的連續(xù)函數有最值嗎？
容易發(fā)現(xiàn)，開區(qū)間上的連續(xù)函數不一定有最大值和最小值，若有最值，則一定是在極值點處取到.
函數最值的定義(1)一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)如果在函數定義域I內存在x0，使得對任意x∈I，總有f(x)≤f(x0)，那么f(x0)為函數在定義域上的最大值；如果在函數定義域I內存在x0，使得對任意x∈I，總有f(x)≥f(x0)，那么f(x0)為函數在定義域內的最小值.注意點：(1)開區(qū)間不一定有最值，閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定有最值；(2)函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)是f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要條件.
例1　如圖是函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象，寫出函數的極大值、極小值、最大值和最小值.
解　由題圖可知，y＝f(x)在x1，x3處取得極小值，在x2處取得極大值，
最大值在b處取得，最大值為f(b).
反思感悟　最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系(1)極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數的定義區(qū)間的整體而言.(2)在函數的定義區(qū)間內，極大(小)值可能有多個，但最大(小)值只有一個(或者沒有).(3)函數f(x)的極值點為定義域中的內點，而最值點可以是區(qū)間的端點.(4)對于可導函數，函數的最大(小)值必在極大(小)值點或區(qū)間端點處取得.
跟蹤訓練1　設f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數，且在(a，b)內可導，則下列結論中正確的是A.f(x)的極值點一定是最值點B.f(x)的最值點一定是極值點C.f(x)在區(qū)間[a，b]上可能沒有極值點D.f(x)在區(qū)間[a，b]上可能沒有最值點
解析　根據函數的極值與最值的概念知，f(x)的極值點不一定是最值點，f(x)的最值點不一定是極值點.可能是區(qū)間的端點，連續(xù)可導函數在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項A，B，D都不正確，若函數f(x)在區(qū)間[a，b]上單調，則函數f(x)在區(qū)間[a，b]上沒有極值點，所以C正確.
求f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟：(1)求f(x)在區(qū)間(a，b)上的 ；(2)將(1)中求得的極值與f(a)，f(b) ，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的 與 .
例2　求下列函數的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
解　因為f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，
因為f(－2)＝8，f(3)＝18，
當x＝3時，f(x)取得最大值18.
因為f(0)＝1，f(2π)＝π＋1，
所以當x＝2π時，f(x)有最大值f(2π)＝π＋1，
反思感悟　求函數最值需注意的點(1)確定函數的定義域.(2)求出定義域內的每一個極值與最值.(3)比較所求的每一個極值與最值.(4)得出結論.
跟蹤訓練2　求下列函數的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；
解　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，f(－2)＝－37，∴當x＝4時，f(x)取最大值35.當x＝－2時，f(x)取最小值－37.即f(x)的最大值為35，最小值為－37.
當f′(x)＝0時，x＝2，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示.
∴f(x)在(－∞，2)上是增函數，在(2，＋∞)上是減函數，
例3　如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒.點E，F(xiàn)在邊AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點.設AE＝FB＝x(cm).
某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.∵當0

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5.3 導數在研究函數中的應用

版本： 蘇教版 (2019)

年級： 選擇性必修第一冊

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