知識點一 位似圖形
要點1.位似圖形的定義
如果兩個圖形不僅相似，而且它們的對應(yīng)頂點的連線相交于一點，那么這兩個圖形叫做位似圖形，這個點做位似中心.
注意：①位似圖形一定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；
②兩個位似圖形的位似中心可能位于圖形的內(nèi)部、外部或圖形上；
③兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能于位似中心的一側(cè).
要點2.位似圖形的性質(zhì)
（1）位似圖形的任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比；
（2）位似圖形對應(yīng)點的連線交于一點；
（3）位似圖形的對應(yīng)線段平行(或在同一條直線上)且比相等；
（4）位似圖形是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì).
注意：①位似圖形中任意兩對對應(yīng)點的連線的交點就是位似中心；
②一對對應(yīng)邊與位似中心(不在同一直線上)形成的兩個三角形相似.
注意：①符合條件的位似圖形往往不唯一；
②作出的位似圖形一般有兩種情況，一是各對應(yīng)點在位似中心的同側(cè)，二是各對應(yīng)點在位似中心的兩側(cè)；
③作位似圖形時，要注意相似比的順序性.
要點3.位似圖形的畫法
步驟：①確定位似中心；
②分別過位似中心和原圖的各關(guān)鍵點作直線；
③根據(jù)相似比，找出所作位似圖形的對應(yīng)點；
④按原圖連接各點，得到放大或縮小的圖形.
課堂練習(xí)
1.如圖，在網(wǎng)格圖中的△ABC與△DEF是位似圖形，它們的
位似中心坐標(biāo)為 .
2.如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D均在格點上，以點A為位似中心畫四邊形AB'C'D'，使它與四邊形ABCD位似，且相似比為2.
（1）在圖中畫出四邊形AB'C'D'；
（2）△AC'D'是什么三角形?
3.在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△O1A1B1，與△OAB是以點P為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上.
（1）在圖中標(biāo)出位似中心P的位置，并寫出點P的坐標(biāo)(請保留畫圖痕跡)；
（2）以點O為位似中心，在y軸的左側(cè)畫出△OAB的位似圖形△OA2B2，使它與△OAB 的位似比為2:1，并直接寫出△OA2B2與△OAB
的面積之比： .
4.如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，已知△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(-1，2)，B(2，1)，C(4，5).
（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；
（2）以原點O為位似中心，在x軸的上方畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且相似比為2，并求出△A2B2C2的面積.
5.在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB 的頂點坐標(biāo)分別為O(0，0)、A(2，1)、B(1，-2)。
（1）以原點O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出△OAB 的一個位似△OA1B1，使它與△OAB 的相似比為2:1， 并寫出點A的對應(yīng)點A1的坐標(biāo)；
（2）畫出將△OAB 向左平移2個單位，再向上平移1個單位后的△O2A2B2，并寫出點A2的坐標(biāo)；
（3）判斷△OA1B1與△O2A2B2，能否是關(guān)于某一點M為位似中心的位似圖形？若是，請在圖中標(biāo)出位似中心M，并寫出點M的坐標(biāo)。
6.平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(1，-2)，B(2，-1)，C(4，-3)
（1）畫出△A1B1C1，使它與△ABC關(guān)于x軸對稱；
（2）以原點為位似中心，在第一象限畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2使△A2B2C2與
△A1B1C1的相似比為2:1；
（3）若將△A2B2C2繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°
得到△A3B3C3，求點C2經(jīng)過的路徑長.
7.如圖，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(2，3)，B(3，1)，C(5，4).
（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；
（2）以點P(1，-1)為位似中心，在如圖所示的網(wǎng)格中畫出△A1B1C1的位似圖形△A2B2C2，使△A2B2C2與△A1B1C1的相似比為2:1；
（3）畫出△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°所
得的△A'B'C'，并寫出線段BC掃過的面積.
知識點二 平面直角坐標(biāo)系中的位似變換
要點1.平面直角坐標(biāo)系中的位似變換
一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(x0，y0)對應(yīng)的位似圖形上的點的坐標(biāo)為(kx0，ky0)或(-kx0，-ky0).
要點2.平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、位似變換中坐標(biāo)的變化規(guī)律
課堂練習(xí)
1.如圖，在直角坐標(biāo)系中，有兩點A(6，3)、B(6，0).以原點
O為位似中心，相似比為，在第一象限內(nèi)把線段AB縮小
后得到線段CD，則點C的坐標(biāo)為 .
2.如圖，線段AB兩個端點的坐標(biāo)分別為A(6，6)、B(8，2)，以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，則端點C的坐標(biāo)為（ ）
A.(3，3)B.(4，3)
C.(3，1)D.(4，1)
3.如圖，點P(8，6)在△ABC的邊AC上，以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將△ABC縮小到原來的，得到△A'B'C'，點P在A'C'上的對應(yīng)點P'的坐標(biāo)為（ ）
A.(4，3) B.(3，4)
C.(5，3) D.(4，4)
4.如圖，已知△AOB和△A1OB1是以點O為位似中心的位似圖形，且△AOB和△A1OB1的周長之比為1:2，點B的坐標(biāo)為(-1，2)，則點B1的坐標(biāo)為（ ）
A.(2，-4)B.(1，-4)
C.(-1，4)D.(-4，2)
5.如圖，四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'是以點O為位似中心的位似圖形，若OA:OA'=2:3，則四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'的面積比為（ ）
A.4:9 B.2:5
C.2:3 D.
6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(-4，2)，B(-6，-4)，以原點O為位似中心，相似比為2，把△ABO放大，則點A的對應(yīng)點A'的坐標(biāo)是 位似中心在同側(cè)
位似中心在異側(cè)
位似中心在內(nèi)部
圖形變換類型
圖形
點的坐標(biāo)變化規(guī)律
平移
變換
形狀、大小不變，
位置改變
左右平移：橫坐標(biāo)左減右加，縱坐標(biāo)不變
上下平移：縱坐標(biāo)上加下減，橫坐標(biāo)不變
軸對稱
變換
x軸對稱
形狀、大小不變，
位置改變
橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)
y軸對稱
縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)
旋轉(zhuǎn)
變換
中心（原點）對稱（旋轉(zhuǎn)角是180°）
形狀、大小不變，
位置改變
橫、縱坐標(biāo)均與原坐標(biāo)互為相反數(shù)
旋轉(zhuǎn)角不是180°
坐標(biāo)按全等知識計算
位似變換
（坐標(biāo)原點為位似中心）
形狀不變，
大小、位置改變
若與原圖形的相似比為k，則對應(yīng)點坐標(biāo)為原來的k倍或者(k≠0).

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