?專題12 正方形在二次函數(shù)中的綜合問題
1、如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝x+4與拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c是常數(shù)）交于A、B兩點，點A在x軸上，點B在y軸上．設拋物線與x軸的另一個交點為點C．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）P是拋物線上一動點（不與點A、B重合），
①如圖2，若點P在直線AB上方，連接OP交AB于點D，求的最大值；
②如圖3，若點P在x軸的上方，連接PC，以PC為邊作正方形CPEF，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點E或F恰好落在y軸上，直接寫出對應的點P的坐標．
【答案】（1） ；（2）①；②P點坐標（，），（， ），（，2 ）（，2 ）
【思路引導】
（1）利用直線解析式求出點A、B的坐標，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）作PF∥BO交AB于點F，證△PFD∽△OBD，得比例線段，則PF取最大值時，求得的最大值；
（3）（i）點F在y軸上時，過點P作PH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質可證明△CPH≌△FCO，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PH=CO=2，然后利用二次函數(shù)解析式求解即可；（ii）點E在y軸上時，過點PK⊥x軸于K，作PS⊥y軸于S，同理可證得△EPS≌△CPK，可得PS=PK，則P點的橫縱坐標互為相反數(shù)，可求出P點坐標；點E在y軸上時，過點PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，同理可證得△PEN≌△PCM，可得PN=PM，則P點的橫縱坐標相等，可求出P點坐標．
【解析】
解：（1）直線y＝x+4與坐標軸交于A、B兩點，
當x＝0時，y＝4，x＝﹣4時，y＝0，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
把A，B兩點的坐標代入解析式得，，解得，，
∴拋物線的解析式為 ；

（2）①如圖1，作PF∥BO交AB于點F，
∴△PFD∽△OBD，
∴，
∵OB為定值，
∴當PF取最大值時，有最大值，
設P（x，），其中﹣4＜x＜0，則F（x，x+4），
∴PF＝＝，
∵且對稱軸是直線x＝﹣2，
∴當x＝﹣2時，PF有最大值，
此時PF＝2，；
②∵點C（2，0），
∴CO＝2，
（i）如圖2，點F在y軸上時，過點P作PH⊥x軸于H，

在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，
∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，
∴∠HPC＝∠OCF，
在△CPH和△FCO中，，
∴△CPH≌△FCO（AAS），
∴PH＝CO＝2，
∴點P的縱坐標為2，
∴，
解得，，
∴，，

（ii）如圖3，點E在y軸上時，過點PK⊥x軸于K，作PS⊥y軸于S，
同理可證得△EPS≌△CPK，
∴PS＝PK，
∴P點的橫縱坐標互為相反數(shù)，
∴，
解得x＝2（舍去），x＝﹣2，
∴，

如圖4，點E在y軸上時，過點PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，
同理可證得△PEN≌△PCM
∴PN＝PM，
∴P點的橫縱坐標相等，
∴，
解得，（舍去），
∴，
綜合以上可得P點坐標（，），（， ），（，2 ）（，2 ）．
【方法總結】
本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，全等三角形的判定與性質以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，正方形的性質的應用，解題的關鍵是正確進行分類討論．
2、如圖1．在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于兩點，頂點為，設點是軸的正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉，得到新的拋物線．

求拋物線的函數(shù)表達式:
若拋物線與拋物線在軸的右側有兩個不同的公共點，求的取值范圍．
如圖2，是第一象限內拋物線上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點在拋物線上的對應點，設是上的動點，是上的動點，試探究四邊形能否成為正方形？若能，求出的值；若不能，請說明理由．

【答案】；；四邊形可以為正方形，
【解析】
解：

將三點代入得
解得
；
如圖．

關于對稱的拋物線為

當過點時有
解得:
當過點時有
解得:
；
四邊形可以為正方形
由題意設，
是拋物線第一象限上的點

解得:(舍去)即
如圖作，于，

于
四邊形為正方形
易證


為
將代入得

解得:(舍去)
當時四邊形為正方形.
3、如圖1．在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于兩點，頂點為，設點是軸的正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉，得到新的拋物線．

求拋物線的函數(shù)表達式:
若拋物線與拋物線在軸的右側有兩個不同的公共點，求的取值范圍．
如圖2，是第一象限內拋物線上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點在拋物線上的對應點，設是上的動點，是上的動點，試探究四邊形能否成為正方形？若能，求出的值；若不能，請說明理由．

【答案】；；四邊形可以為正方形，
【解析】
解：

將三點代入得
解得
；
如圖．

關于對稱的拋物線為

當過點時有
解得:
當過點時有
解得:
；
四邊形可以為正方形
由題意設，
是拋物線第一象限上的點

解得:(舍去)即
如圖作，于，

于
四邊形為正方形
易證


為
將代入得

解得:(舍去)
當時四邊形為正方形.
4、如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），點P是直線BC下方拋物線上的任意一點．
（1）求這個二次函數(shù)y=x2+bx+c的解析式．
（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP′C，如果四邊形POP′C為菱形,求點P的坐標．
（3）如果點P在運動過程中，能使得以P、C、B為頂點的三角形與△AOC相似，請求出此時點P的坐標．

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）（2）（2+102，-32）（3）P、C、B為頂點的三角形與△AOC相似，此時點P的坐標（1，﹣4）
【解析】（1）將B、C點代入函數(shù)解析式，得：9+3b+c=0c=-3，解得：b=-2c=-3，這個二次函數(shù)y＝x2+bx+c的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵四邊形POP′C為菱形，∴OC與PP′互相垂直平分，∴yP=-OC2=-32，即x2﹣2x﹣3=-32，解得：x1=2+102，x2=2-102（舍），P（2+102，-32）；
（3）∵∠PBC＜90°，∴分兩種情況討論：
①如圖1，當∠PCB＝90°時，過P作PH⊥y軸于點H，BC的解析式為y＝x﹣3，CP的解析式為y＝﹣x﹣3，設點P的坐標為（m，﹣3﹣m），將點P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣4）；
AO＝1，OC＝3，CB=32+32=32，CP=12+（-4+3）2=2，此時BCCP=COAO=3，△AOC∽△PCB；
②如圖2，當∠BPC＝90°時，作PH⊥y軸于H，作BD⊥PH于D．
∵PC⊥PB，∴△PHC∽△BDP，∴PHHC=BDPD．設點P的坐標為（m，m2﹣2m﹣3），則PH=m，HC=－（m2﹣2m﹣3）－（－3）=－m2+2m，BD=－（m2﹣2m﹣3），PD=3－m，∴m-m2+2m=-(m2-2m-3)3-m，∴1m-2=-(m+1)，解得：m=1+52或1-52（舍去）．當m=1+52時，m2﹣2m﹣3=-5+52．
∵△PHC∽△BDP，∴PCPB=HCPD=-m2+2m3-m=5-15-5=15=55≠COAO =3，以P、C、B為頂點的三角形與△AOC不相似．
綜上所述：P、C、B為頂點的三角形與△AOC相似，此時點P的坐標（1，﹣4）．

5、如圖，在平面直角些標系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣的圖象經過點A（﹣1，0），C（2，0），與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D．

（1）求二次函數(shù)的表達式及其頂點的坐標；
（2）若P為y軸上的一個動點，連接PD，求PB+PD的最小值；
（3）M（x，t）為拋物線對稱軸上一個動點，若平面內存在點N，使得以A、B、M、N為頂點的四邊形為菱形，則這樣的點N共有　 　個．
【答案】（1），拋物線的頂點坐標為（）；（2）最小值為；（3）5個
【解析】
(1)∵二次函數(shù)的圖象經過點A(﹣1，0)C(2，0)，
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)的表達式為，
∵y=，
∴拋物線的頂點坐標為()；
(2)如圖，連接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此時PB+PD最小．

理由：∵OA=1，OB=，
∴，
∵，
∴∠ABO=30°，
∴PH=PB，
∴PB+PD=PH+PD=DH，
∴此時PB+PD最短(垂線段最短);
∵拋物線的頂點坐標為()，
∴，
∵∠ABO=30°，
∴∠HAD=60°，
在Rt△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，
∴sin60°=，
∴DH=，
∴PB+PD的最小值為；
(3)①以A為圓心AB為半徑畫弧，因為AB＞AD，故此時圓弧與對稱軸有兩個交點，且AM=AB，即M點存在兩個，所以滿足條件的N點有兩個；
②以B為圓心AB為半徑畫弧，因為，故此時圓弧與對稱軸有兩個交點，且BM=AB，即M點有兩個，所以滿足條件的N點有兩個；
③線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，此時AM=BM，因為M點有一個，所以滿足條件的N點有一個；
則滿足條件的N點共有5個，
故答案為：5．
6、已知，在平面直角坐標系內一直線l1:y=-x+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c經過A、B兩點，y軸右側部分拋物線上有一動點C，過點C作y軸的平行線交直線l1于點D.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖1，C在第一象限，求以CD為直徑的⊙E的最大面積，并判斷此時⊙E與拋物線的對稱軸是否相切？若不相切，求出使得⊙E與該拋物線對稱軸相切時點C的橫坐標；
（3）坐標平面內是否存在點M，使B、C、D、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點M的坐標；不存在，請說明理由.
【答案】(1)y=-x2+2x+3；（2）不相切， C的橫坐標分別為2和5-172；（3）M（0,1），（2,3）（0,1-32），（0,1+32）.
【解析】
解：（1）直線l1:y=-x+3分別與x軸、y軸交于A、B兩點，可得A點（3，0），B點（0，3），將A、B兩點坐標代入y=-x2+bx+c，可得
0=-9+3b+c3=c，可得b=2，c=3
∴拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)=-x2+2x+3；
（2）①可得拋物線對稱軸為：x=-b2a=1，
∵ C在第一象限,以CD為直徑的⊙E的最大面積，即CD最長時，圓的面積最大，
設直線CD的橫坐標為t，0＜t＜3，
∴D點坐標（t，-t+3），C點坐標（t，-t2+2t+3），
∴ |CD|=-t2+2t+3-(-t+3)= -t2+3t（0＜t＜3），
∴當t=-b2a=32時，CD最長，此時CD最長為94，
此時圓E的半徑為98，此時CD與對稱軸的距離為32-1=12≠98，
故不相切.
②當CD在對稱軸右邊時，即1＜t＜3時
|CD|= -t2+3t（1＜t＜3）；圓E的半徑為t-1，
可得|CD|=2r；-t2+3t=2（t-1），解得：t1=-1（舍去）；
t2=2；
當CD在對稱軸左邊時，即即0＜t＜1時，
有-t2+3t=2（1-t），解得：t1=5+172（舍去），
t2=5-172；
綜上所述：t=2或t=5-172，⊙E與該拋物線對稱軸相切.
(3)存在，由菱形性質可得M點坐標（0,1），（2,3）（0,1-32），（0,1+32）.
7、如圖，二次函數(shù)y=-x2+3x+m的圖象與x軸的一個交點為B(4,0)，另一個交點為A，且與y軸相交于C點
（1）求m的值及C點坐標；
（2）在直線BC上方的拋物線上是否存在一點M，使得它與B，C兩點構成的三角形面積最大，若存在，求出此時M點坐標；若不存在，請簡要說明理由
（3）P為拋物線上一點，它關于直線BC的對稱點為Q，當四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標(直接寫出答案)；

【答案】(1)m=4, C(0,4)
(2) 存在, M(2,6)
(3)P點坐標為(1+5,1+5)或(1-5,1-5)
【解析】解：(1) 將點B(4,0)的坐標代入二次函數(shù)y=-x2+3x+m，即-42+3×4+m=0，解得m=4，故二次函數(shù)解析式為y=-x2+3x+4，令x=0，解得y=4，故C點坐標為(0,4);
(2)存在，
理由：∵B(4,0)，C(0,4)
∴直線BC的解析式為y=-x+4，
當直線BC向上平移b單位后和拋物線只有一個公共點時，△MBC面積最大，
∴y=-x+4+by=-x2+3x+4
整理得：x2-4x+b=0
∴?=16-4b=0，
∴b=4
∴x=2y=6
∴M(2,6)
(3)

如圖2、圖3所示，連接PQ交BC于點G。
因為四邊形PBQC是菱形，所以G為BC的中點，
因為點B、C的坐標分別為(4,0)、(0,4)，所以由中點坐標公式得G點坐標為(2,2)，
由(2)可知直線BC的解析式為y=-x+4，
由于PG⊥BC，所以設直線PG的解析式為y=x+b，
將G(2,2)代入，求得直線PG的解析式為y=x，
將直線PG的解析式與拋物線解析式聯(lián)立得：
y=-x2+3x+4y=x，消去y得：x=-x2+3x+4，
解得：x=1±5，
將x=1+5代入直線PG的解析式得y=1+5，
將x=1-5代入直線PG的解析式得y=1-5，
故當四邊形PBQC為菱形時，P點坐標為(1+5,1+5)或(1-5,1-5).

8、如圖所示，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸上，點B坐標為(4，t)(t＞0)．二次函數(shù)y＝x2＋bx(b＜0)的圖象經過點B，頂點為點D.
(1)當t＝12時，頂點D到x軸的距離等于____；
(2)點E是二次函數(shù)y＝x2＋bx(b＜0)的圖象與x軸的一個公共點(點E與點O不重合)．求OE·EA的最大值及取得最大值時的二次函數(shù)表達式；
(3)矩形OABC的對角線OB，AC交于點F，直線l平行于x軸，交二次函數(shù)y＝x2＋bx(b＜0)的圖象于點M，N，連結DM，DN.當△DMN≌△FOC時，求t的值．

【解析】 (1)將B點坐標(4，12)代入y＝x2＋bx求出二次函數(shù)關系式，再用配方法或二次函數(shù)的頂點坐標公式解決問題；
(2)分別用含b的代數(shù)式表示OE，AE的長，再運用二次函數(shù)的求最值的方法(配方法)求出OE·EA的最大值；
(3)由△DMN≌△FOC可得MN＝CO＝t，再分別用含b，t的代數(shù)式表示出點M，N的坐標，將點M或點N的坐標代入y＝x2＋bx就可以求出t的值．
解：(2)∵二次函數(shù)y＝x2＋bx與x軸交于點E，∴E(－b，0)．
∴OE＝－b，AE＝4＋b.∴OE·EA＝－b(b＋4)＝－b2－4b＝－(b＋2) 2＋4.
∴當b＝－2時，OE·EA有最大值，其最大值為4.此時b＝－2，二次函數(shù)表達式為y＝x2－2x；
第1題答圖
(3)如答圖，過D作DG⊥MN，垂足為G，過點F作FH⊥CO，垂足為H.
∵△DMN≌△FOC，∴MN＝CO＝t，DG＝FH＝2.
∵D，
∴N，即N.
把x＝，y＝代入y＝x2＋bx，
得＝＋b·，
解得t＝±2，∵t＞0，∴t＝2.
9、如圖所示，直線y＝kx＋m分別交y軸，x 軸于A(0，2)，B(4，0)兩點，拋物線y＝－x2＋bx＋c過A，B兩點．
(1)求直線和拋物線的表達式；
(2)設N(x，y)是(1)所得拋物線上的一個動點，過點N作直線MN垂直x軸交直線AB于點M，若點N在第一象限內．試問：線段MN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由；
(3)在(2)的情況下，以A，M，N，D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標．

【解析】 (1)由直線y＝kx＋m分別交y軸、x 軸于A(0，2)，B(4，0)兩點，拋物線y＝－x2＋bx＋c過A，B兩點，利用待定系數(shù)法即可求得直線和拋物線的表達式；
(2)假設x＝t時，線段MN的長度是最大值，可得M，N，則可得MN＝－＝－t2＋4t
＝－(t－2)2＋4，然后由二次函數(shù)的最值問題，求得答案；
(3)根據(jù)平行四邊形的性質即可求得答案．
解：(1)∵直線y＝kx＋m分別交y軸，x 軸于A(0，2)，B(4，0)兩點，
∴解得
∴直線的表達式為y＝－x＋2，
將A(0，2)，B(4，0)分別代入拋物線，得
解得
∴拋物線的表達式為y＝－x2＋x＋2；
(2)存在．
假設x＝t時，線段MN的長度是最大值，
由題意，得M，N，
∴MN＝－＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4，
∴當t＝2時，MN有最大值4；
第2題答圖
(3)由題意可知，D的可能位置有如答圖三種情形．
當D在y軸上時，
設D的坐標為(0，a)，
由AD＝MN，得|a－2|＝4，
解得a1＝6，a2＝－2，
∴D(0，6)或D(0，－2)；
當D不在y軸上時，由圖可知D為D1N與D2M的交點，
∵直線D1N的表達式為y＝－x＋6，直線D2M的表達式為y＝x－2，
由兩方程聯(lián)立解得D(4，4)．
綜上可得，D的坐標為(0，6)，(0，－2)或(4，4)．
10、如圖所示，拋物線y＝－x2＋6x交x軸正半軸于點A，頂點為M，對稱軸MB交x軸于點B，過點C(2，0)作射線CD交MB于點D(D在x軸上方)，OE∥CD交MB于點E，EF∥x軸交CD的延長線于點F，作直線MF.

(1)求點A，M的坐標；
(2)當BD為何值時，點F恰好落在該拋物線上？
(3)當BD＝1時，
①求直線MF的表達式，并判斷點A是否落在該直線上；
②延長OE交FM于點G，取CF中點P，連結PG，△FPG，四邊形DEGP，四邊形OCDE的面積分別記為S1，S2，S3，則S1∶S2∶S3＝__3∶4∶8__.
解：(1)令y＝0，則－x2＋6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，∴A(6，0)，∴對稱軸是直線x＝3，∴M(3，9)；
(2)∵OE∥CF，OC∥EF，C(2，0)，
∴EF＝OC＝2，∴BC＝1，
∴點F的橫坐標為5，
∵點F落在拋物線y＝－x2＋6x上，
∴F(5，5)，BE＝5.∵＝＝，
∴DE＝2BD，∴BE＝3BD，∴BD＝；
(3)①當BD＝1時，BE＝3，∴F(5，3)．
第3題答圖
設MF的表達式為y＝kx＋b，將M(3，9)，F(xiàn)(5，3)代入，
得解得
∴y＝－3x＋18.
∵當x＝6時，y＝－3×6＋18＝0，
∴點A落在直線MF上；
②∵BD＝1，BC＝1，
∴△BDC為等腰直角三角形，
∴△OBE為等腰直角三角形，
∴CD＝，CF＝OE＝3，
∴DP＝，PF＝，
根據(jù)MF及OE的表達式求得點G的坐標為，如答圖，過點G作GN⊥EF交EF于點N，則EN＝GN＝，∴EG＝，S△FPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面積比等于底之比，
故S△FPG∶S梯形DEGP∶S梯形OCDE
＝PF∶(DP＋EG)∶(DC＋OE)
＝∶2∶4
＝∶2∶4＝3∶4∶8.



11、如圖所示，拋物線y＝ax2＋bx－3經過點A(2，－3)，與x軸負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC＝3OB.
(1)求拋物線的表達式；
(2)點D在y軸上，且∠BDO＝∠BAC，求點D的坐標；
(3)點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

【解析】 (1)本題需先根據(jù)已知條件，求出C點坐標，即OC，進而根據(jù)OC＝3OB求出點B的坐標，再根據(jù)過A，B兩點，即可得出結果；
(2)過點B作BE⊥x軸交AC的延長線于點E，由∠BDO＝∠BAC，∠BOD＝∠BEA＝90°得到Rt△BDO和Rt△BAE相似，得到OD，進而得到點D的坐標；
(3)根據(jù)題意可知N點在對稱軸x＝1上，而A，B，M，N四點構成平行四邊形符合題意的有三種情況：①BM∥AN，AM∥BN；②BN∥AM，AB∥MN；③BM∥AN，AB∥MN，然后根據(jù)平行直線k相同可以得到點M的坐標．
解：(1)令x＝0，由y＝ax2＋bx－3，得y＝－3，∴C(0，－3)，∴OC＝3，
又∵OC＝3OB，∴OB＝1，∴B(－1，0)，
把點B(－1，0)和A(2，－3)分別代入y＝ax2＋bx－3，
得 解得
∴該二次函數(shù)的表達式為y＝x2－2x－3.
(2)如答圖①，過點B作BE⊥x軸交AC的延長線于點E.
∵∠BDO＝∠BAC，∠BOD＝∠BEA＝90°，
∴Rt△BDO∽Rt△BAE，
∴OD∶OB＝AE：BE，∴OD∶1＝3∶3，∴OD＝1，
∴D點坐標為(0，1)或(0，－1)．

第4題答圖① 　　　第4題答圖②
(3)如答圖②，M1(0，－3)，M2(－2，5)，M3(4，5)．
12、如圖所示，頂點為的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點M(2，0)．

　 原圖　　　 備用圖
(1)求拋物線的表達式；
(2)點A是拋物線與x軸的交點(不與點M重合)，點B是拋物線與y軸的交點，點C是直線y＝x＋1上一點(處于x軸下方)，點D是反比例函數(shù)y＝(k>0)圖象上一點．若以點A，B，C，D為頂點的四邊形是菱形，求k的值．
【解析】 (1)已知拋物線的頂點坐標，可設頂點式為 y＝a－，再把點M(2，0)代入，可求a＝1，所以拋物線的表達式可求；
(2)先分別求出A，B兩點的坐標，及AB的長，再根據(jù)反比例函數(shù)y＝(k>0)，考慮點C在x軸下方，故點D只能在第一、三象限．確定菱形有兩種情形：①菱形以AB為邊，如答圖①，過點D作y軸的垂線，交y軸于點N，因此，∠BDN＝∠GAO＝45°，BD＝AB，從而求出DN，NO，即D的坐標可求，從而k可求．② 菱形以AB為對角線，如答圖②，過點D作x軸的垂線，與x軸交于點F，與過點B作y軸的垂線交于點E，可證△DBE是等腰直角三角形，所以設BE＝DE＝x，則DF＝x－2，DB＝x，在Rt△ADF中，AD＝BD＝x，AF＝x＋1，利用勾股定理，構造關于x的方程，求出x，則D點坐標(x，x－2)可求，k可求．
解：(1)依題意可設拋物線為y＝a－，將點M(2，0)代入可得a＝1，∴拋物線的表達式為y＝－＝x2－x－2；
(2)當y＝0時，x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，∴A(－1，0)，當x＝0時，y＝－2，∴B(0，－2)．
在 Rt△OAB 中，OA＝1，OB＝2，∴AB＝.設直線 y ＝ x＋1 與 y 軸的交點為點 G，易求 G(0，1)，∴Rt△AOG為等腰直角三角形，∴∠AGO＝45°.∵點 C 在 y＝x＋1 上且在 x 軸下方，而 k>0，∴y＝的圖象位于第一、三象限，故點 D 只能在第一、三象限，因此符合條件的菱形只能有如下兩種情況：
第5題答圖①
∴①菱形以 AB 為邊且 AC 也為邊，如答圖①所示，過點 D 作 DN⊥y 軸于點 N，
在 Rt△BDN 中，
∵∠DBN＝∠AGO ＝45°，
∴DN＝BN＝，
∴D，點D在y＝(k>0)的圖象上，∴k＝－×＝＋.
②菱形以 AB 為對角線，如答圖②所示，作 AB 的垂直平分線 CD 交直線 y ＝ x＋1 于點 C，交 y＝的圖象于點 D．再分別過點 D，B 作 DE⊥x 軸于點 F，BE⊥y 軸，DE 與 BE 相交于點 E.
在 Rt△BDE 中，同①可證∠AGO＝∠DBO ＝∠BDE＝ 45°，∴BE＝DE.設點 D 的坐標為(x，x－2)．
第5題答圖②
∵BE2＋DE2＝BD2，∴BD＝BE ＝x.∵四邊形ACBD是菱形，∴AD＝BD＝x.
∴在Rt△ADF中，AD2＝AF2＋DF2，(x)2＝(x＋1)2＋(x－2)2，解得x＝，
∴點D的坐標為，點D在y＝(k>0)的圖象上，
∴k＝.
綜上所述，k的值為＋或.

13、如圖所示，拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸交拋物線于點D，交x軸于點E，已知OB＝OC＝6.
(1)求拋物線的表達式及點D的坐標；
(2)連結BD，F(xiàn)為拋物線上一動點，當∠FAB＝∠EDB時，求點F的坐標；
(3)平行于x軸的直線交拋物線于M，N兩點，以線段MN為對角線作菱形MPNQ，當點P在x軸上，且PQ＝MN時，求菱形對角線MN的長．

【解析】 (1)利用OB＝OC＝6得到點B(6，0)，C(0，－6)，將其代入拋物線的表達可求出b，c的值，進而得到拋物線的表達式，最后通過配方得到頂點坐標；
(2)由于F為拋物線上一動點，∠FAB＝∠EDB，可以分兩種情況求解：一是點F在x軸上方；二是點F在x軸下方．每一種情況都可以作FG⊥x軸于點G，構造Rt△AFG與Rt△DBE相似，利用對應邊成比例或三角函數(shù)的定義求點F的坐標．
(3)首先根據(jù)MN與x軸的位置關系畫出符合要求的兩種圖形：一是MN在x軸上方；二是MN在x軸下方．設菱形對角線的交點T到x軸的距離為n，利用PQ＝MN，得到MT＝2n，進而得到點M的坐標為(2＋2n，n)，再由點M在拋物線上，得n＝(2＋2n)2－2(2＋2n)－6，求出n的值，最后可以求得MN＝2MT＝4n的兩個值．
解：(1)∵OB＝OC＝6，∴B(6，0)，C(0，－6)．
∴ 解得∴拋物線的表達式為y＝x2－2x－6.
∵y＝x2－2x－6＝(x－2)2－8，
∴點D的坐標為(2，－8)；
(2)如答圖①，當點F在x軸上方時，設點F的坐標為.過點F作FG⊥x軸于點G，易求得OA＝2，則AG＝x＋2，F(xiàn)G＝x2－2x－6.
第7題答圖①
∵∠FAB＝∠EDB，
∴tan∠FAG＝tan∠EDB，
即 ＝，
解得x1＝7，x2＝－2(舍去)．
當x＝7時，y＝，
∴點F的坐標為.
當點F在x軸下方時，同理求得點F的坐標為.
綜上所述，點F的坐標為或.
(3)∵點P在x軸上，∴根據(jù)菱形的對稱性可知點P的坐標為(2，0)．
如答圖②，當MN在x軸上方時，設T為菱形對角線的交點．
第7題答圖②
∵PQ＝MN，∴MT＝2PT.設TP＝n，則MT＝2n.
∴M(2＋2n，n)．∵點M在拋物線上，
∴n＝(2＋2n)2－2(2＋2n)－6，即2n2－n－8＝0.
解得n1＝，n2＝(舍去)．
∴MN＝2MT＝4n＝＋1.
當MN在x軸下方時，設TP＝n，得M(2＋2n，－n)．
∵點M在拋物線上，
∴－n＝(2＋2n)2－2(2＋2n)－6，
即2n2＋n－8＝0.
解得n1＝，n2＝(舍去)．
∴MN＝2MT＝4n＝－1.
綜上所述，菱形對角線MN的長為＋1或－1.





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