專題14 平行模型解決二次函數(shù)中的面積問題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題14 平行模型解決二次函數(shù)中的面積問題【模型展示】初中數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題有一種?？嫉念愋?，二次函數(shù)最大面積問題。常用的方法有平行法、鉛垂高法、矩形覆蓋法等。本文主要說明一下平行法，一般都是平移定底找最大高，形成與二次函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)。然后利用一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立出一元二次方程解根的判別式等于零，進(jìn)而求出一次函數(shù)解析式，交點(diǎn)坐標(biāo)可求。最大高一般都是空中有高平移至與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處，構(gòu)成直角三角形，與已知一次函數(shù)與坐標(biāo)軸所夾直角三角形相似。1、如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）若直線l過點(diǎn)E(4, 0)，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式．圖1 滿分解答（1）由，得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(－4, 0)、B(2, 0)．對(duì)稱軸是直線x＝－1．（2）△ACD與△ACB有公共的底邊AC，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，點(diǎn)B、D到直線AC的距離相等．過點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，在AC的另一側(cè)有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D′．設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，與AC交于點(diǎn)H．由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．因?yàn)?/span>AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐標(biāo)為．圖2 圖3（3）過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)M．以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)M；如果圓與直線l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)M了．聯(lián)結(jié)GM，那么GM⊥l．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A＝6．所以點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(－4, 6)，過M1、E的直線l為．根據(jù)對(duì)稱性，直線l還可以是．2、如圖1，二次函數(shù)y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖像與x軸分別交于A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0,－3)，點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖像上，CD//AB，聯(lián)結(jié)AD．過點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點(diǎn)E，AB平分∠DAE．（1）用含m的式子表示a；（2）求證：為定值；（3）設(shè)該二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為F．探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)GF，以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個(gè)滿足要求的點(diǎn)G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．圖1思路點(diǎn)撥1．不算不知道，一算真奇妙．通過二次函數(shù)解析式的變形，寫出點(diǎn)A、B、F的坐標(biāo)后，點(diǎn)D的坐標(biāo)也可以寫出來．點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為定值是算出來的．2．在計(jì)算的過程中，第（1）題的結(jié)論及其變形反復(fù)用到．3．注意到點(diǎn)E、D、F到x軸的距離正好是一組常見的勾股數(shù)（5，3，4），因此過點(diǎn)F作AD的平行線與x軸的交點(diǎn)，就是要求的點(diǎn)G．滿分解答（1）將C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此．（2）由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)2－4，得A(－m, 0)，B(3m, 0)，F(m, －4)，對(duì)稱軸為直線x＝m．所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2m,－3)．設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x, a(x＋m)(x－3m))．如圖2，過點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線，垂足分別為D′、E′．由于∠EAE′＝∠DAD′，所以．因此．所以am(x－3m)＝1．結(jié)合，于是得到x＝4m．當(dāng)x＝4m時(shí)，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4m, 5)．所以．圖2 圖3（3）如圖3，由E(4m, 5)、D(2m,－3)、F(m,－4)，可知點(diǎn)E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3．那么過點(diǎn)F作AD的平行線與x軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)，就是符合條件的點(diǎn)G．證明如下：作FF′⊥x軸于F′，那么．因此．所以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)圍成一個(gè)直角三角形．此時(shí)GF′＝4m．所以GO＝3m，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(－3m, 0)．3、如圖1，已知拋物線（b是實(shí)數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為__________（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．圖1滿分解答（1）B的坐標(biāo)為(b, 0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, )．（2）如圖2，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, x)．如圖3，聯(lián)結(jié)OP．所以S四邊形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．解得．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為()．圖2 圖3（3）由，得A(1, 0)，OA＝1．①如圖4，以OA、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．當(dāng)，即時(shí)，△BQA∽△QOA．所以．解得．所以符合題意的點(diǎn)Q為()．②如圖5，以OC為直徑的圓與直線x＝1交于點(diǎn)Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．當(dāng)時(shí)，△BQA∽△QOA．此時(shí)∠OQB＝90°．所以C、Q、B三點(diǎn)共線．因此，即．解得．此時(shí)Q(1,4)．圖4 圖54、如圖1，已知拋物線的方程C1： (m＞0)與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．（1）若拋物線C1過點(diǎn)M(2, 2)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使得BH＋EH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1思路點(diǎn)撥1．第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BH＋EH最?。?/span>2．第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示點(diǎn)F的坐標(biāo)．然后根據(jù)夾角相等，兩邊對(duì)應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程．滿分解答（1）將M(2, 2)代入，得．解得m＝4．（2）當(dāng)m＝4時(shí)，．所以C(4, 0)，E(0, 2)．所以S△BCE＝．（3）如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1，當(dāng)H落在線段EC上時(shí)，BH＋EH最?。?/span>設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為P，那么．因此．解得．所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為．（4）①如圖3，過點(diǎn)B作EC的平行線交拋物線于F，過點(diǎn)F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以當(dāng)，即時(shí)，△BCE∽△FBC．設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由，得．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程無解．圖2 圖3 圖4②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點(diǎn)F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時(shí)，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．綜合①、②，符合題意的m為．5、如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖1 思路點(diǎn)撥1．用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗(yàn)．2．本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點(diǎn)P重合在一起．滿分解答（1）如圖2，過點(diǎn)B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（2）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于O、A(4, 0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點(diǎn)B，．解得．所以拋物線的解析式為．（3）拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, y)．①當(dāng)OP＝OB＝4時(shí)，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當(dāng)P在時(shí)，B、O、P三點(diǎn)共線（如圖2）．②當(dāng)BP＝BO＝4時(shí)，BP2＝16．所以．解得．③當(dāng)PB＝PO時(shí)，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，如圖2所示．圖2 圖36、如圖，矩形O1A1BC1，由矩形OABC旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C，O1在x軸上，O1A1與BC交于點(diǎn)D，B的坐標(biāo)為（﹣1，3）．（1）求線段O1A1所在直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如果函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過O1，O，D三點(diǎn)．問該拋物線上是否有一點(diǎn)P使△PO1D的面積為2？如存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）如圖，連接OB，O1B，則OB＝O1B，∵四邊形OABC是矩形，∴BC⊥OC，∴CO＝CO1，∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，3），∴OC＝1，∴CO1＝1，∴點(diǎn)O1的坐標(biāo)是（﹣2，0），在△BA1D與△O1CD中，，∴△BA1D≌△O1CD（AAS），∴BD＝O1D，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，a），則CD＝a，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣1，3），∴O1D＝BD＝3﹣a，在Rt△CDO′中，CD2+CO12＝O1D2，∴a2+12＝（3﹣a）2，解得a＝，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，），設(shè)直線O1A1的解析式為y＝kx+b，∴，解得∴線段O1A1所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+；（2）∵函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象過O1，O，D三點(diǎn)，設(shè)函數(shù)為y＝a（x+1）2+，代入（﹣2，0）得0＝a+，∴a＝﹣，∴函數(shù)y＝﹣（x+1）2+＝﹣x2﹣x，∵O1D＝BD＝3﹣＝，∵△PO1D的面積為2，∴P到直線O1A1的距離為，設(shè)x軸上有一定M，過M作MN⊥直線O1A1，且MN＝，∵∠MNO1＝∠O1CD＝90°，∠MO1N＝∠DO1C，∴△MNO1∽△O1DC，∴，即＝，∴O1M＝3，∴M（1，0），過M點(diǎn)作直線O1A1的平行線，與拋物線的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，設(shè)過M點(diǎn)作直線O1A1的平行線為y＝x+n，把M（1，0）代入得0＝+n，解得n＝﹣，∴y＝x﹣，解得或∴P（，）或（，）．

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