?專題13 圓中的面積綜合問(wèn)題
1、已知：AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使AB＝AC，連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為 E．
（1）求證：DC＝BD；
（2）求證：DE為⊙O的切線；
（3）若AB＝12，AD＝6，連接OD，求扇形BOD的面積．

證明：（1）連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴DC＝BD；
（2）連接半徑OD，
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線；
（3）∵AB＝12，AD＝6，
∴sinB＝＝＝，
∴∠B＝60°，
∴∠BOD＝60°，
∴S扇形BOD＝＝6π．

2、如圖，AB是⊙O的直徑，AC⊥AB，E為⊙O上的一點(diǎn)，AC＝EC，延長(zhǎng)CE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）求證：CE為⊙O的切線；
（2）若OF⊥AE，AE＝4，∠OAF＝30°，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

（1）證明：連接OE，
∵AC＝EC，OA＝OE，
∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO，
∵AC⊥AB，
∴∠CAD＝90°，
∴∠CAE+∠EAO＝90°，
∴∠CEA+∠AEO＝90°，
即∠CEO＝90°，
∴OE⊥CD，
∴CE為⊙O的切線；
（2）解：設(shè)OF＝x，
∵∠OAF＝30°，OF⊥AF，
∴OA＝2OF＝2x，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：，
解得x＝2，
∴OA＝4，
∴，
∵∠AOE＝120°，AO＝4；
∴，
∴．

3、如圖，以△ABC的邊AB為直徑畫(huà)⊙O，交AC于點(diǎn)D，半徑OE∥BD，連接BE，DE，BD，設(shè)BE交AC于點(diǎn)F，若∠DEB＝∠DBC．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BF＝BC＝2，求圖中陰影部分的面積．

證明：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBC，
∵∠DBC+∠ABD＝90°，
∴BC是⊙O的切線；
（2）連接OD，
∵BF＝BC＝2，且∠ADB＝90°，
∴∠CBD＝∠FBD，
∵OE∥BD，
∴∠FBD＝∠OEB，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠CBD＝∠OEB＝∠OBE＝∠ADB＝90°＝30°，
∴∠C＝60°，
∴AB＝BC＝2，
∴⊙O的半徑為，
∴陰影部分的面積＝扇形DOB的面積﹣三角形DOB的面積＝．

4、如圖，△ABD內(nèi)接于半徑為5的⊙O，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，AB＝AM．
（1）求證：△ABM∽△ECA．
（2）當(dāng)CM＝4OM時(shí)，求BM的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)CM＝k?OM時(shí)，設(shè)△ADE的面積為S1，△MCD的面積為S2，求的值．（用含k的代數(shù)式表示）．

證明：（1）∵AE∥BD，
∴∠AMB＝∠CAE，
又∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ABM∽△ECA；

（2）解：∵AB＝AM，△ABM∽△ECA，
∴AE＝CE，
∵CM＝4OM，
∴可以假設(shè)OM＝k，CM＝4k，
∴OA＝OC＝5k＝5，
∴k＝1，
∴AM＝6，CM＝4，
∵DM∥AE，
∴DM：AE＝CM：CA＝4：10，
設(shè)DM＝4m，則EA＝EC＝10m，
∵AB＝AM，
∴∠ABM＝∠AMB，
∵∠AMB＝∠DMC，∠B＝∠C，
∴∠DMC＝∠C，
∴DM＝DC＝4m，
∴DE＝EC﹣DC＝6m，
∵AC是直徑，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝8m，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴（8m）2+（4m）2＝102
∵m＞0，
∴m＝，
∵△AMB∽△DMC，
∴＝，
∴＝，
∴BM＝．

（3）設(shè)△CDM的面積為x．
∵CM＝kOM，
∴OM＝，CM＝，AM＝5+＝，
∴AC：CM＝（2+2k）：k，
∴△ACD的面積＝?x，
∵DM∥AE，
∴CD：DE＝CM：AM＝k：（2+k），
∴△ADE的面積＝??x，
∴＝．


5、如圖1，Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝90°，點(diǎn)M為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在弧上，連接CD、BD，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，連結(jié)MG．
（1）求證：MG⊥CD；
（2）如圖2，若AC＝BC，AD平分∠BAC，AD與BC交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BD，與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，求證：CF＝CE；
（3）在（2）的條件下，若OG?DE＝3（2﹣），求⊙O的面積．

（1）證明：如圖1中，

∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直徑，點(diǎn)M與O重合，
∴∠ADB＝90°，[來(lái)源:Zxxk.Com]
∵OA＝OB，
∴CO＝AB，OD＝AB，
∴CO＝OD，∵CG＝GD，
∴CG⊥CD，
即MG⊥CD．

（2）證明：如圖2中，
在△ACE和△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF，
∴CE＝CF．


（3）解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BD于H，則BH＝DH，

則OH＝AD，即AD＝2OH，
又∵∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝BD，
∴OH＝OG，
∵∠DBE＝∠DAC＝∠BAD，
∴Rt△BDE∽R(shí)t△ADB，
∴BD：AD＝DE：BD，
∴BD2＝AD?DE＝2OH?DE＝2OG?DE＝6（2﹣），
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴AD⊥BF，
而AD平分∠BAC，
∴AB＝AF，
∴BD＝FD，
∴BF＝2BD，
∴BF2＝4BD2＝24（2﹣），
設(shè)AC＝x，則BC＝x，AB＝x，
∴AF＝x，
∴CF＝AF﹣AC＝x﹣x＝（ ﹣1）x，
在Rt△BCF中，∵CF2+BC2＝BF2，
∴[﹣1）x]2+x2＝24（2﹣），
∴x2＝12，解得x＝2 或x＝﹣2 （舍去），
∴AB＝x＝2 ，
∴OA＝，
∴⊙O面積＝π?（ ）2＝6π．
6、如圖，已知AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P是半圓上一點(diǎn)，連結(jié)BP，并延長(zhǎng)BP到點(diǎn)C，使PC＝PB，連結(jié)AC．
（1）求證：AB＝AC．
（2）若AB＝4，∠ABC＝30°．
①求弦BP的長(zhǎng)．②求陰影部分的面積．


（1）證明：連接AP，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BC．
∵PC＝PB，
∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC；

（2）解：①∵∠APB＝90°，AB＝4，∠ABC＝30°，
∴AP＝AB＝2，[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
∴BP＝＝＝2；

②連接OP，
∵∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝60°，
∴∠POB＝120°．
∵點(diǎn)O時(shí)AB的中點(diǎn)，
∴S△POB＝S△PAB＝×AP?PB＝×2×2＝，
∴S陰影＝S扇形BOP﹣S△POB
＝﹣
＝π﹣．

7、如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為弧BE的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，AC＝FC，連接BD．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）已知⊙O的半徑R＝5cm，AB＝8cm，求△ABD的面積．

（1）證明：連接OA，OD．
∵點(diǎn)D是弧BE的中點(diǎn)，
∴∠BOD＝∠EOD＝90°，
∴∠ODF+∠OFD＝90°
又∵∠OFD＝∠AFC，
∴∠ODF+∠AFC＝90°
又∵AC＝FC，
∴∠AFC＝∠CAF，
∵OA＝OD，
∴∠ODF＝∠OAF，
∴∠OAF+∠CAF＝90°，
即∠OAC＝90°，
故AC是⊙O的切線；

（2）解：過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AD于G，
∵∠BOD＝90°，OB＝OD＝R＝5，
∴，
∵點(diǎn)D是弧BE的中點(diǎn)，
∴∠BAD＝45°，
∵∠AGB＝90°，
∴∠ABG＝∠BAD＝45°，即BG＝AG．
∴2BG2＝AB2＝82，
∴
又∵，
∴
故S△ABD＝AD?BG＝＝28（cm2）．

8、如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，連結(jié)OA、OB、OC，延長(zhǎng)BO與AC交于點(diǎn)D，與⊙O交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使得∠BGF＝∠GBC，連接FG．
（1）求證：FG是⊙O的切線；
（2）若⊙O的徑為4．
①當(dāng)OD＝3，求AD的長(zhǎng)度；
②當(dāng)△OCD是直角三角形時(shí)，求△ABC的面積．

（1）證明：連接AF，
∵BF為⊙O的直徑，
∴∠BAF＝90°，∠FAG＝90°，
∴∠BGF+∠AFG＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠AFB，∠BGF＝∠ABC，
∴∠BGF＝∠AFB，
∴∠AFB+∠AFG＝90°，即∠OFG＝90°，
又∵OF為半徑，
∴FG是⊙O的切線；

（2）解：①連接CF，則∠ACF＝∠ABF，
∵AB＝AC，AO＝AO，BO＝CO，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAO＝∠ACF，
∴AO∥CF，
∴＝，
∵半徑是4，OD＝3，
∴DF＝1，BD＝7，
∴＝＝3，即CD＝AD，
∵∠ABD＝∠FCD，∠ADB＝∠FDC，
∴△ADB∽△FDC，
∴＝，
∴AD?CD＝BD?DF，
∴AD?CD＝7，即AD2＝7，
∴AD＝（取正值）；

②∵△ODC為直角三角形，∠DCO不可能等于90°，
∴存在∠ODC＝90°或∠COD＝90°，
當(dāng)∠ODC＝90°時(shí)，
∵∠ACO＝∠ACF，
∴OD＝DF＝2，BD＝6，
∴AD＝CD，
∴AD?CD＝AD2＝12，
∴AD＝2，AC＝4，
∴S△ABC＝×4×6＝12；
當(dāng)∠COD＝90°時(shí)，
∵OB＝OC＝4，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴BC＝4，
延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)M，[來(lái)源:學(xué)+科+網(wǎng)]
則AM⊥BC，
∴MO＝2，
∴AM＝4+2，
∴S△ABC＝×4×（4+2）＝8+8，
∴△ABC的面積為12或8+8．

9、如圖，已知AB為⊙O的直徑，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC∥AD，BA、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半徑．
（3）在（2）中的條件下，∠ABD＝30°，將△ABD以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，求BD掃過(guò)的圖形的面積（結(jié)果用π表示）．

證明：（1）連接DO，如圖，

∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中

∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO．
∵BC是⊙O的切線，
∴∠CBO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∴OD⊥CE，
又∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線；
（2）設(shè)圓O的半徑為R，
則OD＝R，OE＝R+1，
∵CD是圓O的切線，
∴∠EDO＝90°，
∴ED2+OD2＝OE2，
∴9+R2＝（R+1）2，
∴R＝4，
∴圓O的半徑為4；
（3）∵∠ABD＝30°，AB＝2R＝8，
∴AD＝4，
∴BD掃過(guò)的圖形的面積＝＝16π．
10、如圖1，點(diǎn)E在矩形ABCD的邊AD上，AD＝6，tan∠ACD＝，連接CE，線段CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CF，以線段EF為直徑做⊙O．
（1）請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)C一定在⊙O上的理由；
（2）點(diǎn)M在⊙O上，如圖2，MC為⊙O的直徑，求證：點(diǎn)M到AD的距離等于線段DE的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)△AEM面積取得最大值時(shí)，求⊙O半徑的長(zhǎng)；[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]
（4）當(dāng)⊙O與矩形ABCD的邊相切時(shí)，計(jì)算扇形OCF的面積．

（1）解：點(diǎn)C一定在⊙O上的理由如下：
連接OC，如圖1所示：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ECF＝90°，
∵EF是⊙O的直徑，O為圓心，
∴OE＝OF，
∴OC＝OE＝OF，
∴點(diǎn)C一定在⊙O上；
（2）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ECF＝90°，CE＝CF，
∵OE＝OF，
∴CO⊥EF，
∵M(jìn)C為⊙O的直徑，
∴CM⊥EF，OC＝OM，∠MEC＝90°，
∴EM＝CE，
過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AD于N，如圖2所示：
∵∠DEC+∠DCE＝90°，∠DEC+∠DEM＝90°，
∴∠DEM＝∠DCE，
在△MEN和△CED中，，
∴△MEN≌△CED（AAS），
∴MN＝DE，即點(diǎn)M到AD的距離等于線段DE的長(zhǎng)；
（3）解：∵點(diǎn)E在矩形ABCD的邊AD上，AD＝6，
∴∠D＝90°，設(shè)AE＝x，則DE＝6﹣x，
由（2）得：點(diǎn)M到AD的距離等于線段DE的長(zhǎng)，
∴S△AEM＝×x×（6﹣x）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，
∴當(dāng)x＝3時(shí)，△AEM面積取得最大值，
此時(shí)，DE＝6﹣3＝3，
∵tan∠ACD＝＝，
∴CD＝＝4，
由勾股定理得：CE2＝DE2+CD2，即CE2＝32+42，
∴CE＝5，
由（2）得：CM⊥EF，OC＝OM，∠MEC＝90°，
∴∠CEF＝45°，
在Rt△CEF中，EF＝＝＝5，
∴⊙O半徑的長(zhǎng)為；
（4）解：當(dāng)⊙O與矩形ABCD的邊相切時(shí)，只有點(diǎn)O與點(diǎn)D重合時(shí)存在，
此時(shí)⊙O半徑r＝CD＝4，∠COF＝90°，
∴扇形OCF的面積＝＝4π．


11、如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點(diǎn)P，連接EF、EO．若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求圖中陰影部分及△PBF的面積．

解：（1）∵OC⊥DE，
∴DC＝EC＝DE＝×2＝，
∵弦DE垂直平分半徑OA，
∴OC＝OA＝OE，
在Rt△OCE中，∵OE＝2OC，
∴∠E＝30°，
∴OC＝CE＝1，
∴OE＝2，
即⊙O的半徑為2；
（2）連結(jié)OF，BF，BE，作BH⊥DF于H，如圖，
∵∠DPA＝45°，
∴∠DDC＝45°，
∴∠EOF＝2∠EPF＝90°，△PCD為等腰直角三角形，
∴圖中陰影部分的面積＝S扇形EOF﹣S△OEF
＝﹣?2?2
＝π﹣2；
∵BC＝AB﹣AC＝4﹣1＝3，
而DC＝，
∴BD＝＝2，
∵BC垂直平分DE，
∴BD＝BE＝2，
∵BD＝DE＝BE，
∴△BED為等邊三角形，
∴∠BED＝60°，
∴∠BFD＝∠BED＝60°，
∵△PCD為等腰直角三角形，
∴PC＝DC＝，
∴OP＝PC﹣OC＝﹣1，
∴PB＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
在Rt△PBH中，∠BPH＝∠DPC＝45°，
∴BH＝PH＝PB＝，
在Rt△BHF中，∠HBF＝30°，
∴HF＝BH＝?＝，
∴PF＝PH+HF＝+＝，
∴S△PBF＝??＝．

12、如圖，BE為⊙O的直徑，C為線段BE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，連AB，AE，AO．∠C＝30°．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）求證：BO＝CE；
（3）已知⊙O的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

（1）解：∵CA為⊙O的切線，
∴∠OAC＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠C＝60°，
由圓周角定理得，∠ABC＝∠AOC＝30°；
（2）證明：在Rt△AOC中，∠C＝30°，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB＝OE，
∴OB＝CE；
（3）解：在Rt△AOC中，AC＝＝6，
∴圖中陰影部分的面積＝×6×6﹣＝18﹣6π．
13、如圖，已知⊙O的兩條直徑AB，CD互相垂直，過(guò)BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)P作PE切⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，連接AE．
（1）求證：∠PEA＝∠AEF；
（2）若AP＝AE，PE＝6．求PB的長(zhǎng)；
（3）連接PD交⊙O于點(diǎn)G，連接OG，F(xiàn)D，若∠AOG＝∠FDO，OD＝2．求四邊形AGDB的面積．

（1）證明：連接OE．
∵PE切⊙O于點(diǎn)E，
∴∠PEO＝90°．
∴∠PEA+∠OEA＝90°．
∵EF⊥AB，
∴∠AGF+∠GAO＝90°．
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠PEA＝∠AEF．

（2）解：∵AP＝AE，
∴∠EPA＝∠PEA．
∴∠EPA＝∠PEA＝∠AEF．
∴∠EPA+∠PEF＝90°．
∴3∠EPA＝90°．[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]
∴∠EPA＝30°．
∴tan∠EPO＝＝＝，
∴OE＝2
∴OP＝＝4，
∴PB＝PO+OB＝PO+OE＝6
∴PB的長(zhǎng)為6．

（3）解：過(guò)點(diǎn)G作GH⊥OA于點(diǎn)H．
∵∠EFO＝∠PEO＝90°，∠EOF＝∠POE，
∴△OFE∽△OEP．
∴＝，
∵OE＝OD，
∴＝，
∵∠FOD＝∠DOP，設(shè)∠FOD＝∠DOP＝α，
∴△FOD∽△DOP．
∴∠FDO＝∠DPO．
∵∠POG＝∠FDO，
∴∠POG＝∠DPO＝α．
∴∠OGD＝2α，
∵OG＝OD，
∴∠ODG＝∠OED＝2α．
∵∠POD＝90°，
∴α+2α＝90°．
∴α＝30°．
∴∠PDO＝60°．
∵GH⊥AO，
∴GH＝OG＝OD＝1．
在Rt△POD中，
tan∠PDO＝＝＝，
∴OP＝2
∴AP＝OP﹣OA＝OP﹣OD＝2﹣2．
∴S四邊形AGDB＝S△DBP﹣S△GAP
＝BP?OD﹣AP?GH
＝×（2+2）×2﹣×（2﹣2）×1
＝3+
∴四邊形AEDB的面積為3+．

14、已知：AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C，使AB＝AC，連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為 E．
（1）求證：DC＝BD；
（2）求證：DE為⊙O的切線；
（3）若AB＝12，AD＝6，連接OD，求扇形BOD的面積．

證明：（1）連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴DC＝BD；
（2）連接半徑OD，
∵OA＝OB，CD＝BD，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED，
又∵DE⊥AC，
∴∠CED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線；
（3）∵AB＝12，AD＝6，
∴sinB＝＝＝，
∴∠B＝60°，
∴∠BOD＝60°，
∴S扇形BOD＝＝6π．



相關(guān)試卷

專題24 二次函數(shù)中的圓的綜合問(wèn)題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）：

這是一份專題24 二次函數(shù)中的圓的綜合問(wèn)題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版），文件包含專題24二次函數(shù)中的圓的綜合問(wèn)題解析版docx、專題24二次函數(shù)中的圓的綜合問(wèn)題原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共26頁(yè)， 歡迎下載使用。

專題23 構(gòu)造圓與隱形圓在二次函數(shù)中的綜合問(wèn)題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）：

這是一份專題23 構(gòu)造圓與隱形圓在二次函數(shù)中的綜合問(wèn)題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版），文件包含專題23構(gòu)造圓與隱形圓在二次函數(shù)中的綜合問(wèn)題解析版docx、專題23構(gòu)造圓與隱形圓在二次函數(shù)中的綜合問(wèn)題原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共34頁(yè)， 歡迎下載使用。

專題20 圓中的翻折綜合問(wèn)題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）：

這是一份專題20 圓中的翻折綜合問(wèn)題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版），文件包含專題20圓中的翻折綜合問(wèn)題解析版docx、專題20圓中的翻折綜合問(wèn)題原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共22頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題16 圓中的弧長(zhǎng)綜合問(wèn)題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）

專題16 圓中的弧長(zhǎng)綜合問(wèn)題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）
專題15 圓中的動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）

專題15 圓中的動(dòng)點(diǎn)綜合問(wèn)題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）
專題14 圓中的存在性綜合問(wèn)題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）

專題14 圓中的存在性綜合問(wèn)題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）
專題03 求弓形的面積問(wèn)題中圓的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）

專題03 求弓形的面積問(wèn)題中圓的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部