專題13 寬高模型解決二次函數(shù)中的面積問(wèn)題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專題13 寬高模型解決二次函數(shù)中的面積問(wèn)題【模型展示】面積中的寬高模型如圖，試探究△ABC面積【解法】一：如圖1，過(guò)點(diǎn)C（定點(diǎn)）作CD⊥x軸交AB于點(diǎn)D，則S△ABC=S△ACD+S△BCD圖1                    圖2如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，則S△ABC=S△ACD+S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·（AE+BF）=CD·OG說(shuō)明：其中OG表示A、B兩點(diǎn)之間在水平方向上的距離，可稱為△ABC的水平寬，CD可稱為△ABC的鉛垂高，即S△ABC=×水平寬×鉛垂高，可稱為“寬高公式”【解法】二：如圖3，過(guò)點(diǎn) A作AD⊥x軸交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則S△ABC=S△ABD-S△ACD圖3                   圖4如圖4，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD交于點(diǎn)H，則S△ABC=S△ABD-S△ACD=AD·BH-AD·CG=AD·（BH-CG）=AD·OC說(shuō)明：OC是△ABC的水平寬，AD是△ABC的鉛垂高.【解法】三：如圖5，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥y軸交AC于點(diǎn)D，則S△ABC=S△ABD+S△BCD圖5                      圖6如圖6，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·AE+BD·CH=BD·（AE+CH）=BD·AG說(shuō)明：BD是△ABC的水平寬，AG是△ABC的鉛垂高.【解法】四：如圖7，過(guò)點(diǎn) A作AE⊥y軸于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AE交BC反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則S△ABC=S△ACD-S△ABD圖7                               圖8如圖8，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD交于點(diǎn)F，則S△ABC=S△ACD-S△ABD=AD·CF-AD·BE=AD·（CF-BE）=AD·OB說(shuō)明：AD是△ABC的水平寬，OB是△ABC的鉛垂高.【模型總結(jié)】無(wú)論點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的相對(duì)位置如何，“寬高模型”對(duì)圖形面積求解總是適用，其證明方法、證明過(guò)程、最終結(jié)論都基本一致，利用大面積-小面積或割補(bǔ)法求解，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中“變中不變”的和諧統(tǒng)一之美。 1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為拋物線上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，若△PAC面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
解：（1）y=-x2-2x+3；（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ//y軸，交AC于點(diǎn)Q，∵A（-3,0），B（0,3）∴直線AC：y=x+3設(shè)P（x,-x2-2x+3），Q（x，x+3）∴PQ=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x∴S△PAC=PQ·OA∴（-x2-3x）·3=3解得：x1=-1,x2=-2∴P（-1,4）或（-2,3）2、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意三點(diǎn)A，B，C的“矩面積”，給出如下定義：
“水平底”a：任意兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的最大值，“鉛垂高”h：任意兩點(diǎn)縱坐標(biāo)差的最大值，則“矩面積”S=ah．
例如：三點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），則“水平底”a=5，“鉛垂高”h=4，“矩面積”S=ah=20．
（1）已知點(diǎn)A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．
①若A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②直接寫(xiě)出A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值．
（2）已知點(diǎn)E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．
①若E，F，M三點(diǎn)的“矩面積”為8，求m的取值范圍；
②直接寫(xiě)出E，F，N三點(diǎn)的“矩面積”的最小值及對(duì)應(yīng)n的取值范圍．解：（1）①由題意：a=4．
當(dāng)t＞2時(shí)，h=t-1，
則4（t-1）=12，可得t=4，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）；
當(dāng)t＜1時(shí)，h=2-t，
則4（2-t）=12，可得t=-1，故點(diǎn)P 的坐標(biāo)為（0，-1）；
②∵根據(jù)題意得：h的最小值為：1，
∴A，B，P三點(diǎn)的“矩面積”的最小值為4；
故答案為：4；
（2）∵E，F(xiàn)，M三點(diǎn)的“矩面積”為8，
∴a=4，h=2，∴0≤m≤．
∵m＞0，
∴0＜m≤．3、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+6（a≠0）交x軸于A（-4，0），B（2，0），在y軸上有一點(diǎn)E（0，-2），連接AE．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)D是第二象限內(nèi)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
①求△ADE面積最大值并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②若tan∠AED=，求此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)；
（3）連接AC，點(diǎn)P是線段CA上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP，把線段PO繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至PQ，點(diǎn)Q是點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，則動(dòng)點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)等于          （直接寫(xiě)出答案）解：（1）將A（-4，0），B（2，0）代入y=ax2+bx+6（a≠0），可得：a=，b=∴y=x2x+6（2）①如圖所示，由“寬高模型”易證得S△ADE=DF·OE由A（-4,0）E（0，-2）可得：直線AE解析式為：y=x-2設(shè)D（x，x2x+6）則F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為x2x+6∵點(diǎn)F在直線AE上，∴F的橫坐標(biāo)為x2x-16∴DF=x2x+16又OE=2∴S△ADE=DF·OE=x2x+16=（x+）2+∵<0，∴拋物線開(kāi)口向下∴當(dāng)x=-時(shí)，S△ADE取最大值，此時(shí)點(diǎn)D（-，）②如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DE交DE于點(diǎn)H，∵tan∠AED=，∴∵OA=4，OE=2∴AE=∴AH=，HE=3易證△AHG∽△EOG∴=設(shè)OG=m，則HG=m∴GE=HE-HG=3-m∴在Rt△OGE中，由勾股定理可得：m=2∴OG=2∴G（-2,0）∴直線GE解析式為：y=-x-2∴聯(lián)立拋物線和直線GE函數(shù)解析式，可得：D（）（3）如圖所示，∵Q點(diǎn)隨P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)在線段AC上運(yùn)動(dòng)，
∴Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，
當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，Q（-4，-4），
當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)時(shí)，Q（-6，6），
∴Q點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為2.4、如圖，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);（2）過(guò)點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積;（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似．若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】解：（1）令，得   解得令，得∴ A   B   C （2）∵OA=OB=OC=    ∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB，        ∴PAB=      過(guò)點(diǎn)P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE= ∴P∵點(diǎn)P在拋物線上 ∴   解得，（不合題意，舍去）
      ∴PE=∴四邊形ACBP的面積=AB?OC+AB?PE=(3)．假設(shè)存在∵PAB=BAC =   ∴PAAC∵M(jìn)G軸于點(diǎn)G，   ∴MGA=PAC =在Rt△AOC中，OA=OC=   ∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=   ∴AP= 設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則M ①點(diǎn)M在軸左側(cè)時(shí)，則(ⅰ) 當(dāng)AMG PCA時(shí)，有=∵AG=，MG=即解得（舍去）（舍去）(ⅱ) 當(dāng)MAG PCA時(shí)有=即解得：（舍去） ∴M ② 點(diǎn)M在軸右側(cè)時(shí)，則 (ⅰ) 當(dāng)AMG PCA時(shí)有=∵AG=，MG=   ∴ 解得（舍去）        ∴M (ⅱ) 當(dāng)MAGPCA時(shí)有= 即解得：（舍去） ∴M   ∴存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，5、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求b,c的值；（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A、B除外)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：①求以點(diǎn)Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ為頂點(diǎn)的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形? 若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由. 【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0）   B（4，5）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）B(4,5)∴解得：b=-2   c=-3（2）如２６題圖：∵直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）   B(4,5)∴直線AB的解析式為：y=x+1∵二次函數(shù) ∴設(shè)點(diǎn)E(t， t+1),則F（t，）∴EF= =∴當(dāng)時(shí)，EF的最大值=∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）（3）①如２６題圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形ＥＢＦＤ．可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（，）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4） S　=　S　+　S = = 　②如２６題備用圖：ⅰ)過(guò)點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P(m,)則有：      解得:, ∴,　ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于，設(shè)（n，）則有：　　解得：，（與點(diǎn)F重合，舍去）∴綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：，（. 能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形．

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