?專題22 圓位置關(guān)系在二次函數(shù)中的綜合問(wèn)題
1、如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BD交拋物線于點(diǎn)D，并且，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限，順次連接點(diǎn)B、M、C，求面積的最大值；
（3）在（2）中面積最大的條件下，過(guò)點(diǎn)M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）4；（3）存在，Q的坐標(biāo)為或
【解析】
解：將、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，
則拋物線的解析式為：；
過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)K，

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：，解得：，
則直線BC的表達(dá)式為：，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，
，
，有最大值，
當(dāng)時(shí)，
最大值為4，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
如圖所示，存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓，切點(diǎn)為N，
過(guò)點(diǎn)M作直線平行于y軸，交直線AC于點(diǎn)H，

點(diǎn)M坐標(biāo)為，設(shè)：點(diǎn)Q坐標(biāo)為，
點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為、，，
軸，
，
，則，
將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：，
則直線AC的表達(dá)式為：，
則點(diǎn)，
在中，，，
，
解得：或，
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．
2、如圖1，對(duì)于平面內(nèi)的點(diǎn)P和兩條曲線L1、L2給出如下定義：若從點(diǎn)P任意引出一條射線分別與L1、L2交于Q1、Q2，總有PQ1PQ2是定值，我們稱曲線L1與L2“曲似”，定值PQ1PQ2為“曲似比”，點(diǎn)P為“曲心”．
例如：如圖2，以點(diǎn)O'為圓心，半徑分別為r1、r2(都是常數(shù))的兩個(gè)同心圓C1、C2，從點(diǎn)O'任意引出一條射線分別與兩圓交于點(diǎn)M、N，因?yàn)榭傆蠴'MO'N=r1r是定值，所以同心圓C1與C2曲似，曲似比為r1r2，“曲心”為O'．
(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx與拋物線y=x2、y=12x2分別交于點(diǎn)A、B，如圖3所示，試判斷兩拋物線是否曲似，并說(shuō)明理由；
(2)在(1)的條件下，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為C，是否存在k值，使⊙O與直線BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由；
(3)在(1)、(2)的條件下，若將“y=12x2”改為“y=1mx2”，其他條件不變，當(dāng)存在⊙O與直線BC相切時(shí)，直接寫出m的取值范圍及k與m之間的關(guān)系式．

【答案】（1）兩拋物線曲似，理由詳見(jiàn)解析；（2）存在k值，使⊙O與直線BC相切，k=±3；（3）m>1，k2=m2-1．
【解析】
(1)是，
過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為D、C，

依題意可得A(k,k2)、B(2k,2k2)，
因此D(k,0)、C(2k,0)，
∵AD⊥x軸、BC⊥x軸，
∴AD//BC，
∴OAOB=ODOC=k2k=12，
∴兩拋物線曲似，曲似比為12；
(2)假設(shè)存在k值，使⊙O與直線BC相切，
則OA=OC=2k，
又∵OD=k、AD=k2，并且OD2+AD2=OA2，
∴k2+(k2)2=(2k)2，
解得：k=3(負(fù)值舍去)，
由對(duì)稱性可取k=-3，
綜上，k=±3；
(3)根據(jù)題意得A(k,k2)、B(mk,mk2)，
因此D(k,0)、C(mk,0)，
∵⊙O與直線BC相切，
∴OA=OC=mk，
由OA>OD可得mk>k，
則m>1，
由OD=k、AD=k2，并且OD2+AD2=OA2，
∴k2+(k2)2=(mk)2，[來(lái)源:Z#xx#k.Com]
整理，得：k2=m2-1．
3、已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸．一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），且點(diǎn)坐標(biāo)為．平行于軸的直線過(guò)點(diǎn)．

（1）求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式；
（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線的位置關(guān)系，并給出證明；
（3）把二次函數(shù)的圖象向右平移 2 個(gè)單位，再向下平移 t 個(gè)單位（t＞0），二次函數(shù)的圖象與x 軸交于 M，N 兩點(diǎn)，一次函數(shù)圖象交y 軸于 F 點(diǎn)．當(dāng) t 為何值時(shí)，過(guò) F，M，N 三點(diǎn)的圓的面積最?。孔钚∶娣e是多少？
【答案】（1）一次函數(shù)的解析式為；二次函數(shù)解析式為．
（2）相切，證明見(jiàn)解析
（3）當(dāng)時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的圓面積最小，最小面積為．
【解析】
把代入得
一次函數(shù)的解析式為
二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為軸，
二次函數(shù)的解析式為,將代入解析式得
二次函數(shù)的解析式為
由解得或，，取的中點(diǎn)，
過(guò)作直線的垂線,垂足為,則
，而直徑

，即圓心到直線的距離等于半徑，
以為直徑的圓與直線相切.

平移后二次函數(shù)的解析式為,
令得
過(guò)三點(diǎn)的國(guó)的圓心一定在平移后拋物線的對(duì)稱軸.上,要使圓面積最小,圓半徑應(yīng)等于點(diǎn)到直線2的距離,點(diǎn)坐標(biāo)為.
此時(shí),半徑為,面積為
設(shè)圓心為的中點(diǎn)為,連接,則，
在三角形中，
，而
當(dāng)時(shí)，過(guò)三點(diǎn)的圓面積最小,最小面積為.
4、如圖1，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）若以AD為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
①求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
②如圖2，點(diǎn)E是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接BE，將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到△PMN（點(diǎn)P、M、N分別和點(diǎn)O、B、E對(duì)應(yīng)），并且點(diǎn)M、N都在拋物線上，作MF⊥x軸于點(diǎn)F，若線段MF：BF＝1：2，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；
③點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，以Q為圓心的圓過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且和直線CD相切，如圖3，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【答案】（1）（1，﹣4a）；（2）①y=﹣x2+2x+3；②M（，）、N（，）；③點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．
【思路引導(dǎo)】
（1）將二次函數(shù)的解析式進(jìn)行配方即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）①以AD為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，即點(diǎn)C在以AD為直徑的圓的圓周上，依據(jù)圓周角定理不難得出△ACD是個(gè)直角三角形，且∠ACD＝90°，A點(diǎn)坐標(biāo)可得，而C、D的坐標(biāo)可由a表達(dá)出來(lái)，在得出AC、CD、AD的長(zhǎng)度表達(dá)式后，依據(jù)勾股定理列等式即可求出a的值．
②將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△PMN，說(shuō)明了PM正好和x軸平行，且PM＝OB＝1，所以求M、N的坐標(biāo)關(guān)鍵是求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；首先根據(jù)①的函數(shù)解析式設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)題干條件：BF＝2MF作為等量關(guān)系進(jìn)行解答即可．
③設(shè)⊙Q與直線CD的切點(diǎn)為G，連接QG，由C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)不難判斷出∠CDQ＝45°，那么△QGD為等腰直角三角形，即QD 2＝2QG 2＝2QB 2，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后用Q點(diǎn)縱坐標(biāo)表達(dá)出QD、QB的長(zhǎng)，根據(jù)上面的等式列方程即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【解析】
（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，
∴D（1，﹣4a）．
（2）①∵以AD為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴△ACD為直角三角形，且∠ACD=90°；
由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），則：
AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4
由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，
化簡(jiǎn)，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1，
②∵a=﹣1，
∴拋物線的解析式：y=﹣x2+2x+3，D（1，4）．
∵將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△PMN，
∴PM∥x軸，且PM=OB=1；
設(shè)M（x，﹣x2+2x+3），則OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；
∵BF=2MF，
∴x+1=2（﹣x2+2x+3），化簡(jiǎn)，得：2x2﹣3x﹣5=0
解得：x1=﹣1（舍去）、x2=.
∴M（，）、N（，）．
③設(shè)⊙Q與直線CD的切點(diǎn)為G，連接QG，過(guò)C作CH⊥QD于H，如下圖：

∵C（0，3）、D（1，4），[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
∴CH=DH=1，即△CHD是等腰直角三角形，
∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2；
設(shè)Q（1，b），則QD=4﹣b，QG2=QB2=b2+4；
得：（4﹣b）2=2（b2+4），
化簡(jiǎn)，得：b2+8b﹣8=0，解得：b=﹣4±2；
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，）或（1，）．
【方法總結(jié)】
此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、圓周角定理以及直線和圓的位置關(guān)系等重要知識(shí)點(diǎn)；后兩個(gè)小題較難，最后一題中，通過(guò)構(gòu)建等腰直角三角形找出QD和⊙Q半徑間的數(shù)量關(guān)系是解題題目的關(guān)鍵．
5、拋物線y＝﹣x2+x﹣1與x軸交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D．將拋物線位于直線l：y＝t(t＜)上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個(gè)“M”形的新圖象．
(1)點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)分別為　 　，　 　，　 　；
(2)如圖①，拋物線翻折后，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處．當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)(含邊界)時(shí)，求t的取值范圍；
(3)如圖②，當(dāng)t＝0時(shí)，若Q是“M”形新圖象上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）A（，0）；B（3，0）；D（，）；（2）≤t≤；（3）存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．
【解析】
解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x﹣1=0，
解得x1=,x2=3,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0），
∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x-）2+,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；
（2）∵點(diǎn)E、點(diǎn)D關(guān)于直線y=t對(duì)稱，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，2t﹣）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣1）．
設(shè)線段BC所在直線的解析式為y=kx+b，
將B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，
，解得：，
∴線段BC所在直線的解析式為y=x﹣1．
∵點(diǎn)E在△ABC內(nèi)（含邊界），
∴，
解得：≤t≤．
（3）當(dāng)x＜或x＞3時(shí)，y=﹣x2+x﹣1；

當(dāng)≤x≤3時(shí)，y=﹣x2+x﹣1．
假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m．
①當(dāng)m＜或m＞3時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，﹣x2+x﹣1）（如圖1），
∵以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P，
∴CP⊥PQ，

∴CQ2=CP2+PQ2，
即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，
整理，得：m1=，m2=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）；
②當(dāng)≤m≤3時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m,x2-x +1）（如圖2），
∵以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P，
∴CP⊥PQ，
∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，
整理，得：11m2﹣28m+12=0，
解得：m3=，m4=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（1，0）．
綜上所述：存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．
6、如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)（0，5），且過(guò)點(diǎn)（﹣3，），先求拋物線的解析式，再解決下列問(wèn)題：

（應(yīng)用）問(wèn)題1，如圖2，線段AB＝d（定值），將其彎折成互相垂直的兩段AC、CB后，設(shè)A、B兩點(diǎn)的距離為x，由A、B、C三點(diǎn)組成圖形面積為S，且S與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（拋物線y＝ax2+bx+c上MN之間的部分，M在x軸上）：
（1）填空：線段AB的長(zhǎng)度d＝　 ?。粡澱酆驛、B兩點(diǎn)的距離x的取值范圍是　 　；若S＝3，則是否存在點(diǎn)C，將AB分成兩段（填“能”或“不能”）　 　；若面積S＝1.5時(shí)，點(diǎn)C將線段AB分成兩段的長(zhǎng)分別是　 ??；
（2）填空：在如圖1中，以原點(diǎn)O為圓心，A、B兩點(diǎn)的距離x為半徑的⊙O；畫出點(diǎn)C分AB所得兩段AC與CB的函數(shù)圖象（線段）；設(shè)圓心O到該函數(shù)圖象的距離為h，則h＝　 　，該函數(shù)圖象與⊙O的位置關(guān)系是　 　．
（提升）問(wèn)題2，一個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)為c（定值），設(shè)其面積為S，周長(zhǎng)為x，證明S是x的二次函數(shù)，求該函數(shù)關(guān)系式，并求x的取值范圍和相應(yīng)S的取值范圍．
【答案】拋物線的解析式為：y＝﹣x2+5；（1）20＜x＜2，不能，+和﹣；（2），相離或相切或相交；（3）相應(yīng)S的取值范圍為S＞c2．
【解析】
解：∵拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)（0，5），
∴y＝ax2+5，
將點(diǎn)（﹣3，）代入，
得＝a×（﹣3）2+5，
∴a＝ ，
∴拋物線的解析式為：y＝ ；
（1）∵S與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（拋物線y＝ax2+bx+c上MN之間的部分，M在x軸上），
在y＝，當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝2，x2＝﹣2，
∴M（2，0），
即當(dāng)x＝2時(shí)，S＝0，
∴d的值為2；
∴彎折后A、B兩點(diǎn)的距離x的取值范圍是0＜x＜2；
當(dāng)S＝3 時(shí)，設(shè)AC＝a，則BC＝2﹣a，[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]
∴a（2﹣a）＝3，
整理，得a2﹣2a+6＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝﹣4＜0，
∴方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)S＝1.5時(shí)，設(shè)AC＝a，則BC＝2﹣a，
∴a（2﹣a）＝1.5，
整理，得a2﹣2a+3＝0，
解得，
∴當(dāng)a＝時(shí)，2﹣a＝，
當(dāng)a＝時(shí)，2﹣a＝，
∴若面積S＝1.5時(shí)，點(diǎn)C將線段AB分成兩段的長(zhǎng)分別是和；
故答案為：2，0＜x＜2，不能，和；
（2）設(shè)AC＝y(tǒng)，CB＝x，
則y＝﹣x+2，如圖1所示的線段PM，
則P（0，2），M（2，0），
∴△OPM為等腰直角三角形，
∴PM＝OP＝2，
過(guò)點(diǎn)O作OH⊥PM于點(diǎn)H，
則OH＝PM＝，
∴當(dāng)0＜x＜時(shí)，AC與CB的函數(shù)圖象（線段PM）與⊙O相離；
當(dāng)x＝時(shí)，AC與CB的函數(shù)圖象（線段PM）與⊙O相切；
當(dāng)＜x＜2時(shí)，AC與CB的函數(shù)圖象（線段PM）與⊙O相交；
故答案為：，相離或相切或相交；
（3）設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，
則 ，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴（x﹣c）2＝c2+2ab，
∴，
即S＝，
∴x的取值范圍為：x＞c，
則相應(yīng)S的取值范圍為S＞．

7、如圖，在平面角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y=ax2+bx﹣1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，1）和點(diǎn)B（﹣1，﹣1），拋物線C2：y=2x2+x+1，動(dòng)直線x=t與拋物線C1交于點(diǎn)N，與拋物線C2交于點(diǎn)M．
（1）求拋物線C1的表達(dá)式；
（2）直接用含t的代數(shù)式表示線段MN的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)△AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，求t的值；
（4）在（3）的條件下，設(shè)拋物線C1與y軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)M在y軸右側(cè)的拋物線C2上，連接AM交y軸于點(diǎn)k，連接KN，在平面內(nèi)有一點(diǎn)Q，連接KQ和QN，當(dāng)KQ=1且∠KNQ=∠BNP時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【答案】（1）拋物線C1：解析式為y=x2+x﹣1；（2）MN=t2+2；（3）t的值為1或0；（4）滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）
【解析】（1）∵拋物線C1：y=ax2+bx﹣1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，1）和點(diǎn)B（﹣1，﹣1），
∴1=4a-2b-1-1=a-b-1，解得：a=1b=1，
∴拋物線C1：解析式為y=x2+x﹣1；
（2）∵動(dòng)直線x=t與拋物線C1交于點(diǎn)N，與拋物線C2交于點(diǎn)M，
∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為t2+t﹣1，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2t2+t+1，
∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2；
（3）共分兩種情況
①當(dāng)∠ANM=90°，AN=MN時(shí)，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1），
∴AN=t﹣（﹣2）=t+2，
∵M(jìn)N=t2+2，
∴t2+2=t+2，
∴t1=0（舍去），t2=1，
∴t=1；
②當(dāng)∠AMN=90°，AN=MN時(shí)，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1），
∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，
∵M(jìn)N=t2+2，
∴t2+2=t+2，
∴t1=0，t2=1（舍去），
∴t=0，
故t的值為1或0；
（4）由（3）可知t=1時(shí)M位于y軸右側(cè)，根據(jù)題意畫出示意圖如圖：

易得K（0，3），B、O、N三點(diǎn)共線，
∵A（﹣2，1），N（1，1），P（0，﹣1），
∴點(diǎn)K、P關(guān)于直線AN對(duì)稱，
設(shè)⊙K與y軸下方交點(diǎn)為Q2，則其坐標(biāo)為（0，2），
∴Q2與點(diǎn)O關(guān)于直線AN對(duì)稱，
∴Q2是滿足條件∠KNQ=∠BNP，
則NQ2延長(zhǎng)線與⊙K交點(diǎn)Q1，Q1、Q2關(guān)于KN的對(duì)稱點(diǎn)Q3、Q4也滿足∠KNQ=∠BNP，
由圖形易得Q1（﹣1，3），
設(shè)點(diǎn)Q3坐標(biāo)為（a，b），由對(duì)稱性可知Q3N=NQ1=BN=22，
由∵⊙K半徑為1，
∴a-12+b-12=222a2+b-32=12，解得：a1=35b1=195，a2=-1b2=3，[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]
同理，設(shè)點(diǎn)Q4坐標(biāo)為（a，b），由對(duì)稱性可知Q4N=NQ2=NO=2，
∴a-12+b-12=22a2+b-32=12，解得：a3=45b3=125，a4=0b4=2，
∴滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2）、（﹣1，3）、（35，195）、（45，125）.
8、如圖，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)．

（1）當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，求的面積；
（3）作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
【答案】（1）；（2）3；（3）
【解析】
(1) ，， 菱形


(2)①與拋物線交于兩點(diǎn)，
∴聯(lián)立，，
解得，
∵點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)
，

∴直線的解析式為，直線的解析式為
，兩直線之間距離


(3) ，
，
由點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)可知以為半徑的圓的半徑為
取的中點(diǎn)，連接，
則，
，，
，
，

由三角形三邊關(guān)系，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，
∵直線的解析式為，
∴直線與對(duì)稱軸夾角為45°，
∵點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
，
由勾股定理得，最小值
故答案為：.
9、如圖，已知以E(3，0)為圓心，5為半徑的☉E與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為F.
(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；
(3)已知M為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)(不與C點(diǎn)重合)，試探究：①若以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形面積與△ABC的面積相等，求所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②若探究①中的M點(diǎn)位于第四象限，連接M點(diǎn)與拋物線頂點(diǎn)F，試判斷直線MF與☉E的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】（1）A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4)；（2）拋物線的解析式為y=14x2-32x-4，F(xiàn)3，-254；(3)①所點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6，-4)，(41+3，4)，(-41+3，4)；②若M點(diǎn)位于第四象限，則M點(diǎn)即為M1點(diǎn)，此時(shí)直線MF和☉E相切，理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)由題圖可得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3-5=-2，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3+5=8，
連接CE，則CE=5，又OE=3，
∴OC=CE2-OE2=4，
∴A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4).
(2)把(-2，0)，(8，0)，(0，-4)代入y=ax2+bx+c，得.
4a-2b+c=0，64a+8b+c=0，c=-4，解得a=14，b=-32，c=-4.
∴拋物線的解析式為y=14x2-32x-4.
∵EF∥y軸，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3.
把x=3代入y=14x2-32x-4，得y=- 254，
∴F3，-254.
(3)①如圖所示，連接AC，BM1，BC，
易知S△ABM1=S△ABC，△ABM1與△ABC同底等高，
點(diǎn)C與點(diǎn)M1關(guān)于直線x=3對(duì)稱，
M1(6，-4).
把y=4代入y=14x2-32x-4，得14x2-32x-4=4，
解得x1=41+3，x2=-41+3，
∴M2(41+3，4)，M3(-41+3，4).
∴所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6，-4)，(41+3，4)，(-41+3，4).
②若M點(diǎn)位于第四象限，則M點(diǎn)即為M1點(diǎn)，此時(shí)直線MF和☉E相切.
理由如下：M1(6，-4)，圓心E(3，0)，點(diǎn)F3，-254，
連接M1E.
利用勾股定理得M1E=5，M1F=154，又EF=254，
∴M1E2+M1F2=EF2，即∠FM1E=90°，
∴M1E⊥M1F.
∵M(jìn)1E是☉E的半徑，
∴直線M1F和☉E相切，
即當(dāng)M點(diǎn)位于第四象限時(shí)，直線MF與☉E相切.
10、若拋物線L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，abc≠0）與直線l都經(jīng)過(guò)y軸上的同一點(diǎn)，且拋物線L的頂點(diǎn)在直線l上，則稱次拋物線L與直線l具有“一帶一路”關(guān)系，并且將直線l叫做拋物線L的“路線”，拋物線L叫做直線l的“帶線”．
（1）若“路線”l的表達(dá)式為y=2x﹣4，它的“帶線”L的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，求“帶線”L的表達(dá)式；
（2）如果拋物線y=mx2﹣2mx+m﹣1與直線y=nx+1具有“一帶一路”關(guān)系，求m，n的值；
（3）設(shè)（2）中的“帶線”L與它的“路線”l在y軸上的交點(diǎn)為A．已知點(diǎn)P為“帶線”L上的點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)P為圓心的圓與“路線”l相切于點(diǎn)A時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）“帶線”L的表達(dá)式為y=2x2+4x﹣4；（2）m=2，n=﹣2；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．
【解析】
（（1）∵“帶線”L的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是﹣1，且它的“路線”l的表達(dá)式為y=2x﹣4
∴y=2×（﹣1）﹣4=﹣6，
∴“帶線”L的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）．
設(shè)L的表達(dá)式為y=a（x+1）2﹣6，
∵“路線”y=2x﹣4與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣4）
∴“帶線”L也經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣4），將（0，﹣4）代入L的表達(dá)式，解得a=2
∴“帶線”L的表達(dá)式為 y=2（x+1）2﹣6=2x2+4x﹣4；
（2）∵直線y=nx+1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
∴拋物線y=mx2﹣2mx+m﹣1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)也為（0，1），解得m=2，
∴拋物線表達(dá)式為y=2x2﹣4x+1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1）
∴直線y=nx+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣1），解得n=﹣2；
（3）如圖，設(shè)“帶線L”的頂點(diǎn)為B，則點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，﹣1），過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸于點(diǎn)C，
∴∠BCA=90°，
又∵點(diǎn)A 坐標(biāo)為（0，1），
∴AO=1，BC=1，AC=2．
∵“路線”l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B的直線
且⊙P與“路線”l相切于點(diǎn)A，連接PA交 x軸于點(diǎn)D，
∴PA⊥AB，
∴∠DAB=∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
又∵∠DAO+∠BAC=90°，
∴∠ADO=∠BAC，
∴Rt△AOD≌Rt△BCA，
∴OD=AC=2，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、A的直線表達(dá)式為y=x+1，
∵點(diǎn)P為直線y=x+1與拋物線L：y=2x2﹣4x+1的交點(diǎn)，
解方程組： 得 ：（即點(diǎn)A舍去）， ，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．

11、如圖①已知拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y的正半軸交于點(diǎn)C，連結(jié)BC，二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E．
（1）拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)E坐標(biāo)為_(kāi)____，點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)____；
（2）若以E為圓心的圓與y軸和直線BC都相切，試求出拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，如圖②Q（m，0）是x的正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作y軸的平行線，與直線BC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N，連結(jié)CN，將△CMN沿CN翻折，M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′．在圖②中探究：是否存在點(diǎn)Q，使得M′恰好落在y軸上？若存在，請(qǐng)求出Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）(1.5，0) (-1，0)（2）；（3）存在，.
【解析】
解：（1）∵對(duì)稱軸x=，[來(lái)源:Zxxk.Com]
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（，0），
令y=0，則有ax2﹣3ax﹣4a=0，
∴x=﹣1或4，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（﹣1，0）．
故答案分別為（，0），（﹣1，0）．
（2）如圖①中，設(shè)⊙E與直線BC相切于點(diǎn)D，連接DE，則DE⊥BC，

∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a，
∴DB=，
∵tan∠OBC=，
∴，解得a=，
∴拋物線解析式為y=．
（3）如圖②中，由題意∠M′CN=∠NCB，

∵M(jìn)N∥OM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴MN=CM，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∴ 直線BC解析式為y=﹣x+3，BC=5，
∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，
∵sin∠BCO=，
∴，
∴CM=m，
①當(dāng)N在直線BC上方時(shí)，﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=m，
解得：m=或0（舍棄），
∴Q1（，0）．
②當(dāng)N在直線BC下方時(shí)，（﹣m+3）﹣（﹣m2+m+3）=m，
解得m=或0（舍棄），
∴Q2（，0），
綜上所述：點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，0）或（，0）．


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