推論：圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角．
1、將一副三角板Rt△ABD與Rt△ACB(其中∠ABD＝90°，∠D＝60°，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°)如圖擺放，Rt△ABD中∠D所對直角邊與Rt△ACB斜邊恰好重合．以AB為直徑的圓經(jīng)過點C，且與AD相交于點E，分別連結(jié)EB，EC.
(1)求證：EC平分∠AEB；
(2)求eq \f(S△ACE,S△BEC)的值．
解：(1)證明：∵ ∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴ △ACB是等腰直角三角形，∴ AC＝BC，
∴ ∠AEC＝∠BEC，∴ EC平分∠AEB；
答圖
(2)如答圖，作CM⊥AE，CN⊥BE，垂足分別為點M，點N，
∵ ∠ACB＝90°，∴ AB是直徑，
∴ ∠AEB＝90°，即EB⊥AD，
在Rt△ADB中，∠ABD＝90°，∠D＝60°，
∴ ∠DAB＝30°，
在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠DAB＝30°，
∴EB＝eq \f(\r(3),3)AE，
∵ EC平分∠AEB，CM⊥EA，CN⊥EB，∴ CM＝CN，
∴eq \f(S△ACE,S△BEC)＝eq \f(\f(1,2)AE·MC,\f(1,2)BE·CN)＝eq \f(AE,BE)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3).
2、如圖，已知四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，AB＝BD，BM⊥AC于M，求證：AM＝DC＋CM.
【思路生成】首先在MA上截取ME＝MC，連結(jié)BE，由BM⊥AC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可得到BE＝BC，得到∠BEC＝∠BCE；再由AB＝BD，得到∠ADB＝∠BAD，而∠ADB＝∠BCE，則∠BEC＝∠BAD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠BCD＋∠BAD＝180°，易得∠BEA＝∠BCD，從而可證出△ABE≌△DBC，得到AE＝CD，即有AM＝DC＋CM.
答圖
證明：如答圖，在MA上截取ME＝MC，連結(jié)BE，
∵BM⊥AC，∴BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE，
∵AB＝BD，∴eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，
∴∠ADB＝∠BAD，而∠ADB＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BAD，又∵∠BCD＋∠BAD＝180°，∠BEA＋∠BEC＝180°，
∴∠BEA＝∠BCD，∵∠BAE＝∠BDC，
∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC，
∴AM＝AE＋EM＝DC＋CM.
3、在半徑為5的圓形紙片上裁出一個邊長最大的正方形紙片,則這個正方形紙片的邊長應(yīng)為 .
答案52
解析如圖所示,連接OB、OC,過O作OE⊥BC,設(shè)此正方形的邊長為a.
∵OE⊥BC,
∴OE=BE=a2.
即a=52.
4、如圖，⊙O的內(nèi)接四邊形ABMC中，AB>AC，M是eq \(BC,\s\up8(︵))的中點，MH⊥AB于H，求證：BH＝eq \f(1,2)(AB－AC)．
證明：如答圖，作MD⊥AC，交AC的延長線于D，
∵M(jìn)是eq \(BC,\s\up8(︵))的中點，∴BM＝CM，∠BAM＝∠CAM，
∵M(jìn)H⊥AB，MD⊥AC，∴HM＝DM，AH＝AD，
∵四邊形ABMC內(nèi)接于⊙O，∴∠B＋∠ACM＝180°，
∵∠MCD＋∠ACM＝180°，∴∠B＝∠MCD，
在△BHM和△CDM中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠B＝∠MCD，,∠MHB＝∠MDC，,MH＝MD，))
∴△BHM≌△CDM(AAS)，∴CD＝BH，
∴AB－AC＝2BH，∴BH＝eq \f(1,2)(AB－AC)．
5、如圖，已知⊙O為四邊形ABCD的外接圓，O為圓心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，則⊙O的半徑長為( D )
A.eq \f(3\r(2),2) B.eq \f(\r(6),2) C.eq \f(3,2) D.eq \f(2\r(3),3)
【解析】 如答圖，連結(jié)BD，OD，作OE⊥AD于點E，
∵⊙O為四邊形ABCD的外接圓，∠BCD＝120°，
答圖
∴∠BAD＝60°，
∵AD＝AB＝2，∴△ABD是等邊三角形．∵OE⊥AD，
∴DE＝eq \f(1,2)AD＝1，∠ODE＝eq \f(1,2)∠ADB＝30°，
∴OD＝eq \f(2\r(3),3).
6、如圖，四邊形OABC中，OA＝OB＝OC，∠2是∠1的4倍，那么∠4是∠3的__4__倍．
【解析】 如答圖，∵四邊形OABC中，OA＝OB＝OC，
∴A，B，C在以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑的圓上，
∵∠2＝4∠1，∠4＝eq \f(1,2)∠2，∠3＝eq \f(1,2)∠1，∴∠4＝4∠3.
7、如圖，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，對角線AC，BD交于點E，延長DA，CB交于點F，且∠CAD＝60°，DC＝DE.
求證：
(1)AB＝AF；
(2)A為△BEF的外心(即△BEF外接圓的圓心)．
證明：(1)∠ABF＝∠ADC＝120°－∠ACD＝120°－∠DEC＝120°－(60°＋∠ADE)＝60°－∠ADE，
∵∠F＝60°－∠ACF，∠ACF＝∠ADE，
∴∠ABF＝∠F，∴AB＝AF；
(2)∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，
∴∠ABD＝∠ACD，
又∵DE＝DC，∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，
∴∠ABD＝∠AEB，
∴AB＝AE.
∵AB＝AF，
∴AB＝AF＝AE，即A是三角形BEF的外心．
8、如圖，在邊長為1的正方形ABCD的邊AB上任取一點E(A，B兩點除外)，過E，B，C三點的圓與BD相交于點H，與正方形ABCD的外角平分線相交于點F，與CD相交于點G.
(1)求證：四邊形EFCH是正方形；
(2)設(shè)BE＝x，△CGH的面積是y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值．
解：(1)證明：∵E，B，C，H，F(xiàn)在同一圓上，且∠EBC＝90°，
∴∠EHC＝90°，∠EFC＝90°.
又∵∠FBC＝∠HBC＝45°，∴ CF＝CH.
∵∠HBF＋∠HCF＝180°，
∴∠HCF＝90°.
∴ 四邊形EFCH是正方形；
(2)∵∠GHB＋∠GCB＝180°，
∴∠GHB＝90°，由(1)知∠CHE＝90°，
∴∠CHG＋∠CHB＝∠EHB＋∠CHB.
∴∠CHG＝∠EHB.
∴CG＝BE＝x，∴DG＝DC－CG＝1－x.
∴△CGH中，CG邊上的高為eq \f(1,2)DG＝eq \f(1,2)(1－x)．
∴y＝eq \f(1,2)x·eq \f(1,2)(1－x)＝－eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(1,16).
當(dāng)x＝eq \f(1,2)時，y有最大值eq \f(1,16).

相關(guān)試卷

專題16 圓中的弧長綜合問題-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊難點突破（人教版）：

這是一份專題16 圓中的弧長綜合問題-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊難點突破（人教版），文件包含專題16圓中的弧長綜合問題解析版docx、專題16圓中的弧長綜合問題原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共30頁， 歡迎下載使用。

專題07 圓內(nèi)接三角形在圓中的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊難點突破（人教版）：

這是一份專題07 圓內(nèi)接三角形在圓中的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊難點突破（人教版），文件包含專題07圓內(nèi)接三角形在圓中的應(yīng)用解析版docx、專題07圓內(nèi)接三角形在圓中的應(yīng)用原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共12頁， 歡迎下載使用。

專題05 弧長的計算和扇形的面積中圓的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊難點突破（人教版）：

這是一份專題05 弧長的計算和扇形的面積中圓的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊難點突破（人教版），文件包含專題05弧長的計算和扇形的面積中圓的應(yīng)用解析版docx、專題05弧長的計算和扇形的面積中圓的應(yīng)用原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共12頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題04 求不規(guī)則圖形的面積中圓的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊難點突破（人教版）

專題04 求不規(guī)則圖形的面積中圓的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊難點突破（人教版）
專題03 求弓形的面積問題中圓的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊難點突破（人教版）

專題03 求弓形的面積問題中圓的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊難點突破（人教版）
專題02 垂徑定理在圓中的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊難點突破（人教版）

專題02 垂徑定理在圓中的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊難點突破（人教版）
專題01 圓周角定理在圓中的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊難點突破（人教版）

專題01 圓周角定理在圓中的應(yīng)用-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊難點突破（人教版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部