專題08 二次函數中的相似三角形綜合問題-2021-2022學年九年級數學上冊難點突破（人教版）-試卷下載-教習網

?專題08 二次函數中的相似三角形綜合問題
1、如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點分別為A（﹣6，0）和點B（4，0），與y軸的交點為C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是線段OA上一動點（不與點A重合），過P作平行于y軸的直線與AC交于點Q，點D、M在線段AB上，點N在線段AC上．
①是否同時存在點D和點P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求點D的坐標，若不存在，請說明理由；
②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分線，求點M的坐標．

【答案】（1）y=﹣18x2﹣14x+3；（2）①點D坐標為（﹣32，0）；②點M（32，0）.
【分析】（1）應用待定系數法問題可解；
（2）①通過分類討論研究△APQ和△CDO全等
②由已知求點D坐標，證明DN∥BC，從而得到DN為中線，問題可解
【解析】（1）將點（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得
36a-6b+c＝016a+4b+c＝0c＝0，
解得：a＝-18b＝-14c＝3 ，
∴拋物線解析式為：y=-18x2-14x+3；
（2）①存在點D，使得△APQ和△CDO全等，
當D在線段OA上，∠QAP=∠DCO，AP=OC=3時，△APQ和△CDO全等，
∴tan∠QAP=tan∠DCO，
OCOA＝ODOC，
∴36＝OD3，
∴OD=32，
∴點D坐標為（-32，0）.
由對稱性，當點D坐標為（32，0）時，
由點B坐標為（4，0），
此時點D（32，0）在線段OB上滿足條件．
②∵OC=3，OB=4，
∴BC=5，
∵∠DCB=∠CDB，
∴BD=BC=5，
∴OD=BD-OB=1，
則點D坐標為（-1，0）且AD=BD=5，
連DN，CM，

則DN=DM，∠NDC=∠MDC，
∴∠NDC=∠DCB，
∴DN∥BC，
∴ANNC＝ADDB＝1，
則點N為AC中點．
∴DN時△ABC的中位線，
∵DN=DM=12BC=52，
∴OM=DM-OD=32
∴點M（32，0）
【點評】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數待定系數法、三角形全等的判定、銳角三角形函數的相關知識．解答時，注意數形結合
2、如圖，已知二次函數的圖象與軸交于點、，與軸交于點，直線交二次函數圖象的對稱軸于點，若點C為的中點.

（1）求的值；
（2）若二次函數圖象上有一點，使得，求點的坐標；
（3）對于（2）中的點，在二次函數圖象上是否存在點，使得∽？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）或；（3）不存在，理由見解析.
【思路引導】
（1）設對稱軸與軸交于點，如圖1，易求出拋物線的對稱軸，可得OE的長，然后根據平行線分線段成比例定理可得OA的長，進而可得點A的坐標，再把點A的坐標代入拋物線解析式即可求出m的值；
（2）設點Q的橫坐標為n，當點在軸上方時，過點Q作QH⊥x軸于點H，利用可得關于n的方程，解方程即可求出n的值，進而可得點Q坐標；當點在軸下方時，注意到，所以點與點關于直線對稱，由此可得點Q坐標；
（3）當點為x軸上方的點時，若存在點P，可先求出直線BQ的解析式，由BP⊥BQ可求得直線BP的解析式，然后聯立直線BP和拋物線的解析式即可求出點P的坐標，再計算此時兩個三角形的兩組對應邊是否成比例即可判斷點P是否滿足條件；當點Q取另外一種情況的坐標時，再按照同樣的方法計算判斷即可.
【解析】
解：（1）設拋物線的對稱軸與軸交于點，如圖1，∴軸，∴，
∵拋物線的對稱軸是直線，∴OE=1，∴，∴
∴將點代入函數表達式得：，∴；

（2）設，
①點在軸上方時，，如圖2，過點Q作QH⊥x軸于點H，∵，∴，解得：或（舍），∴；

②點在軸下方時，∵OA=1，OC=3，∴，∵，∴點與點關于直線對稱，∴；
（3）①當點為時，若存在點P，使∽，則∠PBQ=∠COA=90°，
由B（3，0）、Q可得，直線BQ的解析式為：，所以直線PB的解析式為：，
聯立方程組：，解得：，，∴，
∵，，
∴，∴不存在；

②當點為時，如圖4，由B（3，0）、Q可得，直線BQ的解析式為：，所以直線PB的解析式為：，
聯立方程組：，解得：，，∴，
∵，，
∴，∴不存在.

綜上所述，不存在滿足條件的點，使∽.
【方法總結】
本題考查了平行線分線段成比例定理、二次函數圖象上點的坐標特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性質、銳角三角函數和兩個函數的交點等知識，綜合性強、具有相當的難度，熟練掌握上述知識、靈活應用分類和數形結合的數學思想是解題的關鍵.
3、在平面直角坐標系中，已知拋物線L：經過點A（-3，0）和點B（0，-6），L關于原點O對稱的拋物線為.
（1）求拋物線L的表達式；
（2）點P在拋物線上，且位于第一象限，過點P作PD⊥y軸，垂足為D.若△POD與△AOB相似，求符合條件的點P的坐標.

【答案】(1) y=－x2－5x－6；(2)符合條件的點P的坐標為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。
【思路引導】
(1)利用待定系數法進行求解即可得；
(2)由關于原點對稱的點的坐標特征可知點A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的對應點分別為A′(3，0)、B′(0，6)，利用待定系數法求得拋物線L′的表達式為y＝x2－5x＋6，設P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，根據PD⊥y軸，可得點D的坐標為(0，m2－5m＋6)，可得PD＝m，OD＝m2－5m＋6，再由Rt△POD與Rt△AOB相似，分Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB兩種情況，根據相似三角形的性質分別進行求解即可得.
【解析】
(1)由題意，得，
解得：，
∴L：y=－x2－5x－6；
(2)∵拋物線L關于原點O對稱的拋物線為，
∴點A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的對應點分別為A′(3，0)、B′(0，6)，
∴設拋物線L′的表達式y＝x2＋bx＋6，
將A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，
∴拋物線L′的表達式為y＝x2－5x＋6，
∵A(－3，0)，B(0，－6)，
∴AO＝3，OB＝6，
設P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，
∵PD⊥y軸，
∴點D的坐標為(0，m2－5m＋6)，
∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，
∵Rt△PDO與Rt△AOB相似，
∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB兩種情況，
①當Rt△PDO∽Rt△AOB時，則，即，
解得m1＝1，m2＝6，
∴P1(1，2)，P2(6，12)；
②當Rt△ODP∽Rt△AOB時，則，即，
解得m3＝，m4＝4，
∴P3(，)，P4(4，2)，
∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，
∴符合條件的點P的坐標為(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).

【方法總結】
本題考查的是二次函數綜合題，涉及了待定系數法、關于原點對稱的拋物線的特點、相似三角形的判定與性質等，綜合性較強，難度較大，正確把握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.
4、如圖，拋物線（a≠0）交x軸于A、B兩點，A點坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以OC、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標為m，請用含m的代數式表示PM的長；
（3）在（2）的條件下，連結PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）PM=（0＜m＜3）；（3）存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形．
【解析】
解：（1）∵拋物線（a≠0）經過點A（3，0），點C（0，4），
∴，解得．
∴拋物線的解析式為．
（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（3，0），點C（0，4），
∴，解得．
∴直線AC的解析式為．
∵點M的橫坐標為m，點M在AC上，
∴M點的坐標為（m，）．
∵點P的橫坐標為m，點P在拋物線上，
∴點P的坐標為（m，）．
∴PM=PE－ME=（）－（）=．
∴PM=（0＜m＜3）．
（3）在（2）的條件下，連接PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似．理由如下：
由題意，可得AE=3﹣m，EM=，CF=m，PF==，
若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似，分兩種情況：
①若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，即（）：（3－m）=m：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．
在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°．
∴△PCM為直角三角形．
②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，即m：（3－m）=（）：（），
∵m≠0且m≠3，∴m=1．
∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME．
∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM．
∴△PCM為等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為或1，△PCM為直角三角形或等腰三角形．
5、如圖，已知拋物線經過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y=x﹣2交于B，C兩點．
⑴求拋物線的解析式及點C的坐標；
⑵求證：△ABC是直角三角形；
⑶若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)y=﹣x2+2x；C(-1，-3)；(2)證明過程略；(3)（53，0）或（73，0）或（﹣1，0）或（5，0）.
【解析】解：（1）∵頂點坐標為（1，1），
∴設拋物線解析式為y=a（x-1）2+1，
又拋物線過原點，
∴0=a（0-1）2+1，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x-1）2+1，
即y=-x2+2x，
聯立拋物線和直線解析式可得y=-x2+2xy=x-2 ,
解得x=2y=0或x=-1y=-3 ,
∴B（2，0），C（-1，-3）；
（2）如圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，

則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）假設存在滿足條件的點N，設N（x，0），則M（x，-x2+2x），
∴ON=|x|，MN=|-x2+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB=2 ，BC=32，
∵MN⊥x軸于點N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴當△ABC和△MNO相似時有MNAB=ONBC或MNBC=ONAB，
當MNAB=ONBC時，則有-x2+2x2=x32 ，即|x||-x+2|=13|x|，
∵當x=0時M、O、N不能構成三角形，
∴x≠0，
∴|-x+2|=13，即-x+2=±13 ，解得x=53 或x=73 ，
此時N點坐標為（53，0）或（73，0）；
②當MNBC=ONAB時，則有-x2+2x32=x2，即|x||-x+2|=3|x|，
∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，
此時N點坐標為（-1，0）或（5，0），
綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（53 ，0）或（73 ，0）或（-1，0）或（5，0）．
6、如圖，已知：在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P是對角線BD上的一個動點，作PF⊥BD于P，交邊BC于點F（點F與點B、C都不重合），E是射線FC上一動點，連接PE、ED，并一直保持∠EPF=∠FBP，設B、P兩點的距離為x，△DEP的面積為y
（1）求出tan∠PBF；
（2）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍
（3）當△DEP與△BCD相似時，求△DEP的面積

【答案】（1）；（2）；（3）當∠DEP=90°時，面積為；當∠PDE=90°時，面積為
【解析】
(1)∵四邊形ABCD是矩形,

又

即
又

,即

如圖,作垂足為H,則
又

設則,
,
又
由勾股定理得：

=

又

當△DEP與△BCD相似時,
只有兩種情況:∠DEP=∠C=90°或∠EDP=∠C=90°

①當∠DEP=90°,
∵∠DPE+∠PDE=90°即
∠PDE=∠CBD
∴BE=DE
設CE=a,則BE=DE=4-a
在Rt△DEC中,勾股定理得

解之
則,
又∵△BCD的面積=4

②當∠EDP=90°,如圖2,

7、如圖，已知拋物線＝與軸交于、兩點，與軸交于點，且＝．

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若點是線段上的一個動點（不與、重合），分別以、為一邊，在直線的同側作等邊三角形和，求的最大面積，并寫出此時點的坐標；
（3）如圖，若拋物線的對稱軸與軸交于點，是拋物線上位于對稱軸右側的一個動點，直線與軸交于點．是否存在點，使與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2），(1，0)；（3）存在，、、或
【解析】
解：（1）令＝得，＝，
∴，
∴＝＝，
∴，
代入拋物線表達式得：
＝，解得，
∴拋物線的函數表達式為，
（2）如圖，過點作軸于，過點作軸于，

由拋物線得：，
設，的面積為，
則，，，，
∴＝，
S，
∵，
∴當＝時，有最大值是，
∴的最大面積是，此時點的坐標是，
（3）存在點，使得與相似．有兩種可能情況：①；②，
由拋物線得：，對稱軸為直線＝，
∴＝，＝，＝，
①若，則，
∴，
解得＝，
∴點的坐標是或，
若點的坐標是，
則直線為：＝，
解方程組，
得：，（不合題意，舍去），
此時滿足條件的點的坐標為，
若點的坐標是，
同理可求得滿足條件的點的坐標為，
②若，
同理也可求得滿足條件的點的坐標為，
滿足條件的點的坐標為，
綜上所述，存在滿足條件的點，點的坐標為：
、、或．

8、已知拋物線y＝ax2＋bx＋c，其中2a＝b>0>c，且a＋b＋c＝0.
(1)直接寫出關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的一個根；
(2)證明：拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點A在第三象限；
(3)直線y＝ x＋m與x，y軸分別相交于B，C兩點，與拋物線y＝ax2＋bx＋c相交于A，D兩點．設拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸與x軸相交于E，如果在對稱軸左側的拋物線上存在點F，使得△ADF與△BOC相似，并且S△ADF＝S△ADE，求此時拋物線的表達式．
【解析】 (1)利用拋物線的對稱軸、對稱性及二次函數與方程的關系數形結合得出二次方程的根；
(2)確定拋物線的頂點位置一可借助數形結合，二可借助頂點坐標的正負性；
(3)借助一次函數與二次函數的關系確定與求解相關點的坐標，將坐標轉化為相應的線段長，進而借助題意中的相似及面積關系等構建方程求解未知系數的值．
解：(1)ax2＋bx＋c ＝0的一個根為1(或者－3)；
(2)證明：∵b ＝2a，∴對稱軸x為＝－＝－1，將b＝2a代入a＋b＋c＝0，得c＝－3a.
∵a＝b>0>c，∴b2－4ac>0，∴45°，這時△BOC與△ADF相似，頂點A只可能對應△BOC中的直角頂點O，即△ADF是以A為直角頂點的等腰直角三角形，且對稱軸是x＝－1，設對稱軸x＝－1與OF交于點G，
∵直線y＝x＋m過頂點A，∴m＝1－4a，
∴直線表達式為y＝x＋1－4a，解方程組解得
這里的(－1，4a)即為頂點A，點即為點D的坐標，
D點到對稱軸x＝－1的距離為－1－(－1)＝，AE＝|－4a|＝4a，
S△ADE＝××4a＝2，即它的面積為定值．
這時等腰直角三角形ADF的面積為1，∴底邊DF ＝2，而x＝－1是它的對稱軸，這時D，C重合且在y軸上，由－1＝0，∴a＝1，此時拋物線的表達式y＝x2＋2x－3
8、如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2＋bx＋c與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點B的坐標為(3，0)，直線y＝－x＋3恰好經過B，C兩點．
(1)寫出點C的坐標；
(2)求出拋物線y＝x2＋bx＋c的表達式，并寫出拋物線的對稱軸和點A的坐標；
(3)點P在拋物線的對稱軸上，拋物線頂點為D且∠APD＝∠ACB，求點P的坐標．

【解析】 (1)由直線y＝－x＋3可求出點C坐標；
(2)由B，C兩點坐標便可求出拋物線方程，從而求出拋物線的對稱軸和A點坐標；
(3)作輔助線AE，由三角形的兩個角相等，證明△AEC∽△AFP，根據兩邊成比例，便可求出PF的長度，從而求出P點坐標．
解：(1)y＝－x＋3與y軸交于點C，故C(0，3)；
(2)∵拋物線y＝x2＋bx＋c過點B，C，
∴解得
∴拋物線的表達式為y＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，
∴對稱軸為直線x＝2，點A(1，0)；
第2題答圖
(3)由y＝x2－4x＋3，
可得D(2，－1)，A(1，0)；
∴OB＝3，OC＝3，OA＝1，AB＝2，
可得△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，CB＝3.
如答圖，設拋物線對稱軸與x軸交于點F，
∴AF＝AB＝1.
過點A作AE⊥BC于點E.
∴∠AEB＝90°.
可得BE＝AE＝，CE＝2.
在△AEC與△AFP中，∠AEC＝∠AFP＝90°，
∵∠ACE＝∠APF，
∴△AEC∽△AFP.
∴＝，＝，
解得PF＝2.
∵點P在拋物線的對稱軸上，
∴點P的坐標為(2，2)或(2，－2)．
9、如圖所示，若關于x的二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＞0，a，b，c是常數)與x軸交于兩個不同的點A(x1，0)，B(x2，0)(0＜x1＜x2)，與y軸交于點P，其圖象頂點為M，點O為坐標原點．
(1)當x1＝c＝2，a＝時，求x2與b的值；
(2)當x1＝2c時，試問△ABM能否等邊三角形？判斷并證明你的結論；
(3)當x1＝mc(m＞0)時，記△MAB，△PAB的面積分別為S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1＝S2，求m的值．

解：(1)設ax2＋bx＋c＝0的兩根為x1，x2，
把a＝，c＝2代入，得x2＋bx＋2＝0，
∵x1＝2是它的一個根，
∴×22＋2b＋2＝0，解得b＝－，
∴方程為x2－x＋2＝0，
∴另一個根為x2＝3；
(2)當x1＝2c時，x2＝＝，
此時b＝－a(x1＋x2)＝－，4ac＝－2b－1，
∵M，
當△ABM為等邊三角形時＝AB，
即＝，
∴b2＋2b＋1＝(1＋2b＋1)，
解得b1＝－1，b2＝2－1(舍去)，
此時4ac＝－2b－1，即2c＝，A，B重合，
∴△ABM不可能為等邊三角形；
(3)∵△BPO∽△PAO，
∴＝，即x1x2＝c2＝，
∴ac＝1，a＝，
由S1＝S2得c＝＝－c，
∴b2＝4a·2c＝8ac＝8，
∴b1＝－2，b2＝2(舍去)，
方程可變形為x2－2x＋c＝0，
∴x1＝＝＝(－1)c，
x2＝＝(＋1)c，
∵x1＜x2，x1＝mc，
∴mc＝(－1)c，∴m＝－1.
10、如圖所示，拋物線y＝ax2＋bx＋c經過?ABCD的頂點A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)，拋物線與x軸的另一交點為E.經過點E的直線l將?ABCD分割為面積相等的兩部分，與拋物線交于另一點F.點P為直線l上方拋物線上一動點，設點P的橫坐標為t.
(1)求拋物線的表達式；
(2)當t為何值時，△PFE的面積最大？并求最大值的立方根；
(3)是否存在點P使△PAE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

原圖　　　　　備用圖

【解析】 (1)利用待定系數法列方程組求解拋物線的表達式；
(2)由平行四邊形的對稱性可知直線l必過其對稱中心，同時利用拋物線的對稱性確定E點坐標，進而可求直線l的表達式，結合二次函數表達式確定點F的坐標．作PH⊥x軸，交l于點M，作FN⊥PH，列出PM關于t的表達式，最后利用三角形的面積得S△PFE關于t的表達式，利用二次函數的最值求得t值，從而使問題得以解決；
(3)分兩種情形討論：①若∠P1AE＝90°，作P1G⊥y軸，易得P1G＝AG，由此構建一元二次方程求t的值；②若∠AP2E＝90°，作P2K⊥x軸，AQ⊥P2K，則△P2KE∽△AQP2，由此利用對應邊成比例構建一元二次方程求t的值．
解：(1)將點A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)代入y＝ax2＋bx＋c，結得得
則拋物線表達式為y＝－x2＋2x＋3；
(2)∵直線l將?ABCD分割為面積相等的兩部分，∴必過其對稱中心.
由點A，D知，拋物線對稱軸為x＝1，∴E(3，0)，
設直線l的表達式為y＝kx＋m，代入點和(3，0)，得
解得
∴直線l的表達式為y＝－x＋.
由解得xF＝－.
如答圖①，作PH⊥x軸，交l于點M，作FN⊥PH.
點P的縱坐標為yP＝－t2＋2t＋3，
點M的縱坐標為yM＝－t＋.

∴PM＝yP－yM＝－t2＋2t＋3＋t－
＝－t2＋t＋.
第4題答圖①
則S△PFE＝S△PFM＋ S△PEM＝PM·FN＋PM·EH
＝PM ·(FN＋ EH)
＝＝－＋×
∴當t＝時，△PFE的面積最大，最大值的立方根為＝.
(3)由圖可知∠PEA≠90°.
①若∠P1AE＝90°，如答圖②，作P1G⊥y軸，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，
∴∠P1AG ＝∠AP1G＝45°，∴P1G＝AG.∴t＝－t2＋2t＋3－3，即－t2＋t＝0，
解得t＝1或0(舍去)．
第4題答圖②
②若∠AP2E＝90°，作P2K⊥x軸，AQ⊥P2K，
則△P2KE∽△AQP2，
∴＝，
∴＝，即t2－t－1＝0，
解得t＝或＜－(舍去)．
綜上可知t＝1或符合題意．
11、如圖所示，在平面直角坐標系中，直線y＝x＋2與x軸交于點A，與y軸交于點C.拋物線y＝－x2＋bx＋c經過A，C兩點，與x軸的另一交點為點B.
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)點D為直線AC上方拋物線上一動點．
①連結BC，CD.設直線BD交線段AC于點E，△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2，求的最大值；
②過點D作DF⊥AC，垂足為點F，連結CD.是否存在點D，使得△CDF中的某個角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．

原圖　　　　　備用圖
【解析】 (1)先求出直線y＝x＋2與x軸交點A的坐標，與y軸交點B的坐標，再將點A，B的坐標代入拋物線的函數表達式即可求解；
(2)①過點C作CH⊥BD交BD于點H，則CH是△CDE與△BCE的高線，所以＝，分別過點D，B作DM∥y軸、BN⊥x軸，DM交AC于點M，BN交AC于點N，則＝.由拋物線的函數表達式求出點B的坐標，進而可求出點N的坐標，得到BN的長；設D，表示出點M的坐標為，可得DM＝－t2－2t，于是轉化為關于t的二次函數，從而求得最大值；
②分三種情形求解：(Ⅰ)∠DFC＝2∠BAC；(Ⅱ)∠CDF＝2∠BAC；(Ⅲ)∠FCD＝2∠BAC.情形(Ⅰ)通過判斷∠BAC的度數確定是否存在；情形(Ⅱ)可通過作∠BAC關于軸的對稱圖形構成出2∠BAC，再過點C作平行線求解；情形(Ⅲ)在x軸負半軸取點P，使CP＝AP，構成出2∠BAC再求解．
解：(1)在y＝x＋2中，當x＝0時，y＝2；當y＝0時，x＝－4.
∴C(0，2)，A(－4，0)．
代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得b＝－，c＝2.
∴拋物線的函數表達式為y＝－x2－x＋2.
(2)如答圖①，過點C作CH⊥BD于點H，
則S1＝DE·CH，S2＝BE·CH.
第5題答圖①
∴＝.
過點D作DM∥y軸，交AC于點M，過點B作BN⊥x軸交AC于點N，則DM∥BN.
∴＝.
在y＝－x2－x＋2中，當y＝0時，－x2－x＋2＝0，解得x＝－4或1.
∴B(1，0)．當x＝1時，y＝x＋2＝.
∴N，BN＝.
設D，則M.
∴DM＝－t2－t＋2－＝－t2－2t.
∴＝＝－(t＋2)2＋.
∴當t＝－2時，取最大值.
②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)，
∴OA＝4，OB＝1，OC＝2.
＝＝，＝.
又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB.
∴∠ACO＝∠ABC.
(Ⅰ)∵tan∠BAC＝＝≠1，
∴∠BAC≠45°.∴∠DFC≠2∠CAB.
第5題答圖②
(Ⅱ)當∠DCF＝2∠CAB時，如答圖②，作點C關于x軸的對稱點G，連結AG，則∠CAB＝∠GAB，G(0，－2)．
∴∠CAG＝2∠CAB.
設直線AG的函數表達式為y＝kx＋d(k≠0)．
把A(－4，0)，G(0，－2)代入，得
解得k＝－，d＝－2.
∴直線AG的函數表達式為y＝－x－2.過點C作CD∥AG交第二象限內的拋物線于點D，則∠DCF＝∠CAG＝2∠CAB，且直線CD的函數表達式為y＝－x＋2.
由－x＋2＝－x2－x＋2，解得x1＝0(舍去)，x2＝－2.
∴點D的橫坐標為－2.
第5題答圖③
(Ⅲ)當∠CDF＝2∠CAB時，如答圖③，在x軸負半軸上取點P，使CP＝AP.
∴∠CAB＝∠ACP，∴∠CPO＝∠CAB＋∠ACP＝2∠CAB.設OP＝m，則CP＝AP＝4－m.
在Rt△OCP中，由勾股定理，得OP2＋OC2＝CP2.
∴m2＋22＝(4－m)2.解得m＝，即OP＝.
∴tan∠CDF＝tan∠CPO＝＝.
∴＝.
過點F作QK∥x軸交y軸于點K，過點D作DQ∥y軸交QK于Q，則∠Q＝∠FKC＝90°，∠CFK＋∠FCK＝90°，＝.
∴＝，即FK＝2KC.∵DF⊥AC，∴∠CFK＋∠DFQ＝90°.
∴∠FCK＝∠DFQ.又∵∠Q＝∠FKC，
∴△FKC∽△DQF.
∴＝＝＝.
設QF＝3n，則KC＝4n，FK＝8n，DQ＝6n，OK＝2－4n.∴D(－11n，2＋2n)，代入y＝－x2－x＋2，得
2＋2n＝－×(－11n)2－x(－11n)＋2.解得n1＝0(不合題意，舍去)，n2＝.
∴－11n＝－，即點D的橫坐標為－.
綜上訴述，點D的橫坐標為－2或－.
12、如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2＋bx－8與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線l經過坐標原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標分別為(－2，0)，(6，－8)．
(1)求拋物線的解析式，并分別求出點B和點E的坐標；
(2)試探究拋物線上是否存在點F，使△FOE≌△FCE.若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】(1) y＝x2－3x－8；（2）點F的坐標為(3＋，－4)或(3－，－4)．
【思路引導】（1）根據待定系數法求出拋物線解析式即可求出點B坐標，求出直線OD解析式即可解決點E坐標．
（2）拋物線上存在點F使得△FOE≌△FCE，此時點F縱坐標為-4，令y=-4即可解決問題．【解析】（1）∵拋物線y=ax2+bx-8經過點A（-2，0），D（6，-8），
∴
解得
∴拋物線的函數表達式為y＝x2?3x?8；
∵y＝x2?3x?8＝ (x?3)2? ，
∴拋物線的對稱軸為直線x=3．
又拋物線與x軸交于A，B兩點，點A的坐標為（-2，0）．
∴點B的坐標為（8，0），
設直線L的函數表達式為y=kx．
∵點D（6，-8）在直線L上，
∴6k=-8，解得k=- ，
∴直線L的函數表達式為y=-x，
∵點E為直線L和拋物線對稱軸的交點，
∴點E的橫坐標為3，縱坐標為-×3=-4，
∴點E的坐標為（3，-4）；
（2）拋物線上存在點F，使△FOE≌△FCE．
∵OE=CE=5，
∴FO=FC，
∴點F在OC的垂直平分線上，此時點F的縱坐標為-4，
∴x2-3x-8=-4，解得x=3± ，
∴點F的坐標為（3-，-4）或（3+，-4）．
【方法總結】
本題考查二次函數綜合題、一次函數的性質、待定系數法，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會分類討論，不能漏解，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題

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