專題02 垂徑定理在圓中的應(yīng)用圓的定義：1．在同一平面內(nèi)，線段OP繞著它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一端點P所經(jīng)過的封閉曲線叫做圓．2．圓是到定點距離等于定長的點的集合．圓的基本性質(zhì)：1．圓是軸對稱圖形：任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸．2．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。?/span>推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/span>3．同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一組量相等，它們所對應(yīng)的其余各組量也分別相等．確定圓的條件：確定一個圓必須明確兩個要素：①圓心(決定圓的位置)；②半徑(決定圓的大小)．點和圓的位置關(guān)系：點P在圓內(nèi)?d＜r；點P在圓上?d＝r；點P在圓外?d＞r.垂徑定理1．與弦有關(guān)的題目，要求解邊與角時，連結(jié)半徑構(gòu)造等腰三角形是常用的輔助線．2．求圓中的弦長時，通常作輔助線，由半徑、弦的一半以及弦心距構(gòu)成直角三角形運用勾股定理進行求解．圓的基本性質(zhì)中常見的基本圖形圓心角定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．1°弧的概念1°圓心角所對的弧叫做1°?。?/span> 一、圓的概念1、如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，∠AOB與∠C互補，∠COD與∠A相等，則∠AOB的度數(shù)是__108°__．【解析】 ∵∠AOB與∠C互補，∴∠C＝∠D＝180°－∠AOB，∴∠COD＝180°－2∠C＝2∠AOB－180°，∵∠A＝∠B＝(180°－∠AOB)，∠COD＝∠A，∴2∠AOB－180°＝(180°－∠AOB)，解得∠AOB＝108°.2、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝1，BC＝3.若此梯形的頂點A，B恰好在圓O的直徑MN上，C，D在圓O上，則圓O的直徑等于__2__．【思路生成】首先連結(jié)OC，OD，然后設(shè)OC＝OD＝x，OB＝y，由在Rt△OAD中，OA2＋AD2＝OD2，在Rt△OBC中，OB2＋BC2＝OC2，可得方程組即可求得圓O的直徑．答圖[來源:學(xué)科網(wǎng)]【解析】 如答圖，連結(jié)OC，OD，∵梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠OAD＝90°，∠OBC＝90°，設(shè)OC＝OD＝x，OB＝y，在Rt△OAD中，OA2＋AD2＝OD2，在Rt△OBC中，OB2＋BC2＝OC2，∵AD＝2，AB＝1，BC＝3，∴解得∴圓O的直徑等于2.二、垂徑定理1、如圖，正方形ABCD的頂點A，D和正方形JKLM的頂點K，L在一個以5為半徑的圓O上，點J，M在線段BC上，若正方形ABCD的邊長為6，求正方形JKLM的邊長．【思路生成】作ON⊥AD于N，OH⊥KL于H，連結(jié)OD，OL，根據(jù)勾股定理和垂徑定理求出ON，列出方程，解方程即可．答圖解：如答圖，過點O作直線OP⊥BC，分別交BC，KL，AD于點P，H，N，則ON⊥AD，OH⊥KL，連結(jié)DO，LO，在Rt△NOD中，ON＝＝＝4，OP＝PN－ON＝2.設(shè)HL＝x，則PH＝KL＝2x，OH＝OP＋PH＝2＋2x.在Rt△HOL中，x2＋(2x＋2)2＝52，解得x1＝－3(舍去)，x2＝，∴正方形JKLM的邊長為.2、如圖，三個全等的正方形內(nèi)接于圓，正方形的邊長為16，則圓的半徑為(　D　)[來源:Z§xx§k.Com]A．3  B．16C．16  D．5【解析】 如答圖，設(shè)圓心為O，連結(jié)OC，OD，延長BO與正方形的邊交于點A，答圖設(shè)圓心與上面正方形的距離為x，則BO＝16－x，AD＝8，AO＝16＋x，在Rt△OBC與Rt△OAD中，∵OC＝OD，∴BC2＋OB2＝AO2＋AD2，[來源:學(xué)&科&網(wǎng)]即162＋(16－x)2＝(16＋x)2＋82，解得x＝3，∴OB＝16－3＝13，∴OC＝＝＝5.3、(1)如圖1，多邊形ABDEC是由邊長為2的等邊三角形ABC和正方形BDEC組成，⊙O過點A，D，E三點，求⊙O的半徑；(2)如圖2，若多邊形ABDEC是由一個等腰三角形和一個矩形組成，AB＝AC＝BD＝2，⊙O過A，D，E三點，則⊙O的半徑是否改變？答圖解：(1)如答圖，過A作BC的垂線交DE于F點，∵△ABC為等邊三角形，∴AF平分BC，∵四邊形BDEC為正方形，∴AF也垂直平分DE，∴過點A，D，E三點的圓的圓心O在AF上，連結(jié)AD，OD，則OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵BC＝BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA，而AF∥BD，∴∠OAD＝∠BDA，∴∠ODA＝∠BAD，∴AB∥OD，∴四邊形ABDO為菱形，∴AO＝AB＝2，即⊙O的半徑為2；(2)⊙O的半徑不改變．因為AB＝AC＝BD＝2，此題的求法和(1)一樣，⊙O的半徑為2.三、垂徑定理的應(yīng)用1、如圖，半徑為2的圓O中，弦AB與弦CD垂直相交于P，連結(jié)OP，若OP＝1，求AB2＋CD2的值．【思路生成】解互相垂直的兩條弦問題，常需多次運用垂徑定理．解：如答圖，過O點作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連結(jié)OD，OA，則AE＝BE，CF＝DF.答圖∵OE2＝AO2－AE2＝4－AB2，OF2＝OD2－FD2＝4－CD2，∴OE2＋OF2＝＋＝PF2＋OF2＝OP2＝12，即4－AB2＋4－CD2＝1，故AB2＋CD2＝28.2、如圖，圓O中，弦AC⊥BD，且OE⊥CD于E，若AB的長是10，則OE的長是__5__．             答圖【解析】 如答圖，作直徑DF，連結(jié)CF，則∠DCF＝90°，∠1＋∠2＝90°，∵AC⊥BD，∴∠3＋∠4＝90°，∵∠2＝∠4，∴∠1＝∠3，∴＝，∴AB＝CF＝10.∴OE⊥CD于點E，∴CE＝DE.∵OD＝OF，∴OE＝CF＝5.3、如圖，圓O中兩條互相垂直的弦AB和CD的弦心距是3和2，它們將圓O分成四部分：S1，S2，S3，S4，求(S1＋S3)－(S2＋S4)．解：如答圖，以O為對稱中心，在⊙O內(nèi)分別作與AB，CD對稱的弦A′B′，C′D′.觀察此圖，由題設(shè)條件，及圓的對稱性可知(S1＋S3)－(S2＋S4)＝陰影長方形的面積＝4×6＝24.答圖[來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]四、圓心角定理1、如圖，已知⊙O的半徑為R，C，D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點，的度數(shù)為96°，的度數(shù)為36°，動點P在AB上，則CP＋PD的最小值為__R__．【解析】 如答圖，作點D關(guān)于AB的對稱點D′，連結(jié)CD′，由軸對稱確定最短路線問題，CD′與AB的交點即為所求的點P，CD′的長度為PC＋PD的最小長度，答圖[來源:Z.xx.k.Com]∵度數(shù)為96°，∴的度數(shù)為180°－96°＝84°，連結(jié)OD′，∵＝36°，∴＝36°，∴＝84°＋36°＝120°，即∠COD′＝120°，過點O作OE⊥CD′，則∠COE＝∠COD′＝60°，OE垂直平分CD′，∴CD′＝2CE＝2×R＝R，即CP＋PD的最小值為R.1、如圖，在三個等圓上各自有一條劣弧AB，CD，EF，如果＋＝，那么AB＋CD與EF的大小關(guān)系是(　C　)A．AB＋CD＝EF  B．AB＋CD<EFC．AB＋CD>EF  D．大小關(guān)系不確定【解析】 如答圖，在上取一點M使＝，則＝，∴AB＝FM，CD＝EM，在△MEF中，FM＋EM>EF，∴AB＋CD>EF.答圖 

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