專題04 求不規(guī)則圖形的面積中圓的應(yīng)用求不規(guī)則圖形的面積求不規(guī)則圖形的面積常利用對稱、全等及平行線進行等面積的圖形轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)化為容易解決的規(guī)則圖形，然后求出各圖形的面積，通過面積的和差求出結(jié)果．1、如圖，四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，則圖中陰影部分的面積是(　B　)A.－   B.－C．π－  D．π－【解析】 如答圖，連結(jié)BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，答圖∴∠ADC＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△DAB是等邊三角形，∵AB＝2，∴△ABD的高為，∵扇形BEF的半徑為2，圓心角為60°，∴∠4＋∠5＝60°，∵∠3＋∠5＝60°，∴∠3＝∠4，△ABG≌△DBH(ASA)，∴四邊形GBHD的面積等于△ABD的面積，∴圖中陰影部分的面積是S扇形EBF－S△ABD＝－×2×＝－.3、如圖，AB為⊙O的直徑，且AB＝4，點C在半圓上，OC⊥AB，垂足為點O，P為半圓上任意一點，過P點作PE⊥OC于點E，設(shè)△OPE的內(nèi)心為M，連結(jié)OM，PM.(1)求∠OMP的度數(shù)；(2)當(dāng)點P在半圓上從點B運動到點A時，求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長．[來源:學(xué)#科#網(wǎng)Z#X#X#K][來源:Zxxk.Com]解：(1)∵△OPE的內(nèi)心為M，∴∠MOP＝∠EOP，∠MPO＝∠EPO，∵PE⊥OC，∴∠PEO＝90°，∠EOP＋∠EPO＝90°，∴∠MOP＋∠MPO＝(∠EOP＋∠EPO)＝×90°＝45°，∴∠OMP＝180°－45°＝135°；(2)如答圖，連結(jié)CM，答圖∵OM＝OM，∠COM＝∠POM，CO＝PO，∴△COM≌△POM，∴∠CMO＝∠PMO＝135°，點M的運動軌跡是兩個，設(shè)的圓心為O1，∵∠CMO＝135°，∴弦CO所對的劣弧的圓周角為45°，∴∠CO1O＝90°，在Rt△CO1O中，CO1＝sin  45°×OC＝×2＝，當(dāng)點P在半圓上從點B運動到點C時，內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑為⊙O1的劣弧OC，∴l＝＝π，同理，當(dāng)點P在半圓上從點C運動到點A時，內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑為⊙O2對應(yīng)的劣弧OC與⊙O1的劣弧OC長度相等，∴當(dāng)點P在半圓上從點B運動到點A時，內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長為π＋  π＝π.4、如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC.(1)求∠A＋∠C的度數(shù)；(2)連結(jié)BD，探究AD，BD，CD三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若AB＝1，點E在四邊形ABCD內(nèi)部運動，且滿足AE2＝BE2＋CE2，求點E運動路徑的長度．解：(1)∵在四邊形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，∴∠A＋∠C＝360°－∠B－∠D＝270°；答圖①[來源:Zxxk.Com](2)AD2＋CD2＝BD2.理由：如答圖①，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得△BAD′，連結(jié)DD′.∵BD＝BD′，CD＝AD′，∠DBD′＝60°，∠BAD′＝∠C，∴△BDD′是等邊三角形，∴DD′＝BD，又∵∠BAD＋∠C＝270°，∴∠BAD′＋∠BAD＝270°，∴∠DAD′＝90°，∴AD2＋AD′2＝DD′2，即AD2＋CD2＝BD2；(3)如答圖②，將△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△BE′A，連結(jié)EE′.答圖②∵BE＝BE′＝EE′，CE＝AE′，∠EBE′＝60°，∠BEC＝∠BE′A，∴△BEE′是等邊三角形，∴∠BE′E＝60°，∵AE2＝BE2＋CE2，BE＝EE′，CE＝AE′，∴AE2＝EE′2＋AE′2，∴∠AE′E＝90°，∴∠BE′A＝150°，∴∠BEC＝150°，∴點E在以BC為弦，優(yōu)弧BC所對的圓心角為300°的圓上，以BC為邊在下方作等邊三角形BCO，則O為圓心，半徑BO＝1，∴點E的運動路徑為，l＝＝.  5、如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在BC上，四邊形EFGB也是正方形，以B為圓心，BA長為半徑畫，連結(jié)AF，CF，則圖中陰影部分面積為__4π__．6、如圖，左圖是由若干個相同的圖形(右圖)組成的美麗圖案的一部分．右圖中，圖形的相關(guān)數(shù)據(jù)：半徑OA＝2 cm，∠AOB＝120°.則右圖的周長為____ cm(結(jié)果保留π)．【解析】 ∵半徑OA＝2 cm，∠AOB＝120°∴l＝＝，l＋l＝，∴右圖的周長＝＋＝.7、如圖，AB，CD是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點O1，O2，O3，O4分別是OA，OB，OC，OD的中點，若⊙O的半徑是2，則陰影部分的面積為(　A　)A．8  B．4    C．4π＋4   D．4π－4【思路生成】連結(jié)相鄰小圓的交點，構(gòu)造正方形，求出正方形中空白部分的面積，進而得出陰影面積．答圖【解析】 如答圖所示，可得正方形EFMN，邊長為2，正方形中陰影部分的面積為S1＝2(22－π×12)＝8－2π，∵⊙O的半徑為2，∴O1，O2，O3，O4的半徑為1，∴小圓的面積為π×12＝π，∴S陰影＝2S小圓＋S1＝2π＋(8－2π)＝8.[來源:學(xué),科,網(wǎng)Z,X,X,K]8、如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°后得到△AB′C′，則線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分(陰影部分)的面積是__π__．[來源:Z+xx+k.Com] 【解析】 S陰影＝S扇形ABB′＋S△AC′B′－S扇形ACC′－S△ABC＝S扇形ABB′－S扇形ACC′＝×π×(2)2－×π×22＝π.9、如圖，△OAC的頂點O在坐標原點，OA邊在x軸上，OA＝2，AC＝1，把△OAC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△O′AC′，使得點O′的坐標是(1，)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中線段OC掃過部分(陰影部分)的面積為____．【解析】 如答圖，過點O′作O′H⊥x軸于點H，∵點O′的坐標是(1，)，∴OH＝1，O′H＝，又∵AO＝AO′＝2，∴∠HAO′＝60°，即旋轉(zhuǎn)∠OAO′＝∠CAC′＝60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，△OAC≌△O′AC′，∴△OAC的面積與△O′AC′的面積相等，答圖∴S陰影＝S扇形OAO′＋S△O′C′A－S△OCA－S扇形CAC′＝S扇形OAO′－S扇形CAC′＝－＝.10、如圖，扇形AOB的圓心角∠AOB＝90°.半徑為5，正方形CDEF內(nèi)接于該扇形，則正方形CDEF的邊長為____． 【解析】 如答圖，過點O作OH⊥EF交EF于點H，交DC于點K，連結(jié)OF.∵OH過圓心，∴EH＝FH.答圖∵四邊形CDEF是正方形，∴OH⊥DC，DK＝CK，∴△OCK是等腰直角三角形，OK＝KC.設(shè)CF＝x，則KH＝x，HF＝OK＝CK＝，在Rt△OHF中，OH2＋HF2＝OF2，即＋＝52，解得x＝，即CF的長為.11、如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2.以點A為圓心，以AC長為半徑畫弧交AB的延長線于點E.交AD的延長線于點F.則圖中陰影部分的面積是(　A　)A．4π－4  B．4π－8C．8π－4  D．8π－8【解析】 根據(jù)對稱，陰影部分的面積可以轉(zhuǎn)化為答圖，答圖則S陰影＝S扇形－S△ABD＝－×4×2＝4π－4.12、如圖，分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到的封閉圖形是萊洛三角形，AB＝2，則萊洛三角形(即陰影部分面積)為(　D　)A．π＋  B．π－C．2π－  D．2π－2【解析】 萊洛三角形的面積實際上是由三塊相同的扇形疊加而成，其面積等于三塊扇形的面積相加減去兩個等邊三角形的面積，即S陰影＝3×S扇形－2S△ABC.答圖由題意得S扇形＝π×22×＝π，S△ABC＝×22＝，∴S陰影＝3S扇形－2S△ABC＝3×π－2×＝2π－2.13、如圖，扇形OAB中，∠AOB＝120°，OA＝12，C是OA的中點，CD⊥OA交于點D，以OC為半徑的交OB于點E，則圖中陰影部分的面積是(　A　)A．12π＋18  B．12π＋36C．6π＋18  D．6π＋36【解析】 如答圖，連結(jié)OD，AD，答圖∵點C為OA的中點，∴OC＝OA＝OD，∵CD⊥OA，∴∠CDO＝30°，∠DOC＝60°，∴△ADO為等邊三角形，OD＝OA＝12，OC＝CA＝6，∴CD＝＝6，∴S扇形AOD＝＝24π，∴S陰影＝S扇形AOB－S扇形COE－(S扇形AOD－S△COD)＝－－(24π－×6×6)＝12π＋18.14、如圖，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點E，連結(jié)BD，則陰影部分的面積為__π__．(結(jié)果保留π)【解析】 連結(jié)OE，易證四邊形ABEO為正方形，則扇形OED的圓心角為90°，半徑為2，因此可求扇形OED的面積，陰影面積看成正方形ABEO＋扇形OED－三角形ABD，正方形ABEO和三角形ABD面積均可求，即可求得陰影部分．15、如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，將△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，其中點B的運動路徑為弧BB′，則圖中陰影部分的面積為__π－__．【解析】 如答圖，連結(jié)B′D，BD，B′B，答圖∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，將△ABC繞AC的中點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′，∴C′D＝CD＝1，B′C′＝BC＝2，∠CDC′＝∠C′＝∠B′DB＝90°，∴B′D＝BD＝＝，∴CD∥B′C′，B′C＝A′C＝A′B＝，∴S陰影＝S扇形BDB′－S△BDB′＋S△B′BC＝－××＋××＝π－.16、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A(1，4)，B(1，1)，C(3，1)．(1)畫△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；(2)畫△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2；(3)在(2)的條件下，求線段BC掃過的面積(結(jié)果保留π)．解：(1)畫出△A1B1C1如答圖所示；答圖(2)畫出△A2B2C2如答圖所示；(3)∵OC＝＝，OB＝＝，∴S＝S扇形OCC2－S扇形OBB2＝π(OC2－OB2)＝2π.17、如圖，是某公園的一角，∠AOB＝90°，的半徑OA長是6 m，點C是OA的中點，點D在上，CD∥OB，則圖中草坪區(qū)(陰影部分)的面積是(　A　)A.m2B.m2C.m2D.m218、如圖，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中點，將△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點E落在CB的延長線上點F處，點C落在點A處．再將線段AF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連結(jié)EF，CG.(1)求證：EF∥CG；(2)求點C，點A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的，與線段CG所圍成的陰影部分的面積．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°.∵△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△BFA，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝EC，∴∠AFB＋∠FAB＝90°.∵線段AF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG，∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB，∴EC∥FG.∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴EF∥CG；(2)∵△ABF≌△CBE，∴FB＝BE＝AB＝1，∴AF＝＝.在△FEC和△CGF中，∵EC＝FG，∠ECF＝∠GFC，FC＝CF，∴△FEC≌△CGF，∴S△FEC＝S△CGF，∴S陰影＝S扇形ABC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形AFG＝＋×2×1＋×(1＋2)×1－＝－. 

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