專題05  一元二次方程與三角形的綜合【專題說明】一元二次方程是初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容之一，常常與其他知識結(jié)合，其中一元二次方程與三角形的綜合應(yīng)用就是非常重要的一種，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判別式的應(yīng)用、一元二次方程的解法及與等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)等知識的綜合運(yùn)用．一、一元二次方程與三角形三邊關(guān)系的綜合1．三角形的兩邊長分別為4和6，第三邊長是方程x2－7x＋12＝0的解，則第三邊的長為(　　)A．3　　　B．4　　　C．3或4　　　D．無法確定 2．根據(jù)一元二次方程根的定義，解答下列問題．一個(gè)三角形兩邊長分別為3 cm和7 cm，第三邊長為a cm，且整數(shù)a滿足a2－10a＋21＝0，求三角形的周長．解：由已知可得4<a<10，則a可取5，6，7，8，9.(第一步)當(dāng)a＝5時(shí)，代入a2－10a＋21，得52－10×5＋21≠0，故a＝5不是方程的根．同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．(第二步)∴三角形的周長是3＋7＋7＝17(cm)．上述過程中，第一步是根據(jù)_______________________________________________________________________________________________________________________________________________，第二步應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想是______________，確定a值的大小是根據(jù)______________． 二、 一元二次方程與直角三角形的綜合3．已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長恰好是方程x2－17x＋60＝0的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長為________． 4．已知a，b，c分別是△ABC的三邊長，當(dāng)m>0時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．     三、一元二次方程與等腰三角形的綜合5．已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5.當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求k的值．      四、 一元二次方程與動(dòng)態(tài)幾何的綜合6．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2 cm/s的速度移動(dòng)．(1)如果點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積為4 cm2?(2)如果點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度為5 cm?(3)在(1)中，△PBQ的面積能否為7 cm2？并說明理由．【京師導(dǎo)學(xué)號：93602018】(第6題)      

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