專(zhuān)題04 幾何證明之三角形中的旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)難點(diǎn)突破（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

專(zhuān)題04 幾何證明之三角形中的旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題1、如圖，點(diǎn)P是∠MON內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OM于點(diǎn)A，PB⊥ON于點(diǎn)B，且OA＝OB．（1）求證：PA＝PB；（2）如圖②，點(diǎn)C是射線AM上一點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OB上一點(diǎn)，且∠CPD+∠MON＝180°，若OC＝8，OD＝5．求線段OA的長(zhǎng)．（3）如圖③，若∠MON＝60°，將PB繞點(diǎn)P以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，12秒后，PA開(kāi)始繞點(diǎn)P以每秒10°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，PA旋轉(zhuǎn)270°后停止，此時(shí)PB也隨之停止旋轉(zhuǎn)．旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，PA所在直線與OM所在直線的交點(diǎn)記為G，PB所在直線與ON所在直線的交點(diǎn)記為H．問(wèn)PB旋轉(zhuǎn)幾秒時(shí)，PG＝PH？ 2、（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°，連接AC，BD交于點(diǎn)M．填空：①的值為　　；②∠AMB的度數(shù)為　　．（2）類(lèi)比探究：如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，CD＝2OD，AB＝2OB，連接AC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．請(qǐng)求出的值及∠AMB的度數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：在（2）的條件下，將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC、BD所在直線交于點(diǎn)M，若OD＝1，OB＝，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長(zhǎng)．3、已知在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（b，0）、C（0，c），其中a、b、c滿足＝0．（1）求△ABC的面積；（2）將線段BC向右平移至AD（點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)D）．①當(dāng)點(diǎn)M為x軸上任意點(diǎn)（不與原點(diǎn)重合），ME、CF分別平分∠CMO與∠DCM，若∠AME＝α，∠DCF＝β，試用含α的代數(shù)式表示β；②點(diǎn)P為線段CD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D重合），P的橫坐標(biāo)為t，連接BP、AC，BP交y軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)Q，若△CQE與△PQA的面積分別為S1，S2，試用含t的代數(shù)式表示S2﹣S1．4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．（Ⅰ）如圖①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖②，AD＝2，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△ACE，點(diǎn)B，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C，E．連接DE，BD的延長(zhǎng)線與CE相交于點(diǎn)F．①求DE的長(zhǎng)；②證明：BF⊥CE．（Ⅲ）如圖③，將（Ⅱ）中的△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D1，E1，點(diǎn)N，P分別為D1E1，D1C的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△OPN面積S的變化范圍． 5、問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，H為CD的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)，BH與AE的位置關(guān)系為　　，BH與AE的數(shù)量關(guān)系為　　；問(wèn)題證明：在Rt△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)就圖（2）的情形給出證明若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展應(yīng)用：在Rt△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)DE∥BC時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BH2的長(zhǎng)．6、已知△ABC是等邊三角形，D是BC上一點(diǎn)，△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△ACE的位置．（1）如圖，旋轉(zhuǎn)中心是　　，∠DAE＝　　°；（2）如圖，如果M是AB的中點(diǎn)，那么經(jīng)過(guò)上述旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)了　　度；（3）如果點(diǎn)D為BC邊上的三等分點(diǎn)，且△ABD的面積為3，那么四邊形ADCE的面積為　　． 7、如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是　　，位置關(guān)系是　　；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)直接寫(xiě)出△PMN面積的最大值．8、如圖，兩個(gè)等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）觀察猜想如圖1，點(diǎn)E在BC上，線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系是　　，位置關(guān)系是　　．（2）探究證明把△CDE繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由；（3）拓展延伸：把△CDE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AC＝BC＝13，DE＝10，當(dāng)A、E、D三點(diǎn)在直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AD的長(zhǎng)．9、如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，連接DE，將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α，BD、CE所在直線相交所成的銳角為β．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)當(dāng)α＝0°時(shí)，＝　　；β＝　　°．（2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，和β的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．（3）在△ADE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)DE∥AC時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)△CBE的面積．10、如圖乙，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)．（1）如圖甲，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)C、D、E在同一條直線上時(shí)，連接BD、BE，則下列給出的四個(gè)結(jié)論中，其中正確的是哪幾個(gè)　　．（回答直接寫(xiě)序號(hào)）①BD＝CE； ②BD⊥CE； ③∠ACE+∠DBC＝45°； ④BE2＝2（AD2+AB2）（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)：①當(dāng)∠CAE＝90°時(shí)，求PB的長(zhǎng)；②直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段PB長(zhǎng)的最大值和最小值．11、如圖1，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在邊AB上取一點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，B重合），在邊AC上取一點(diǎn)E，使AE＝AD，連接DE．把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），如圖2．（1）請(qǐng)你在圖2中，連接CE和BD，判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你在圖3中，畫(huà)出當(dāng)α＝45°時(shí)的圖形，連接CE和BE，求出此時(shí)△CBE的面積；（3）若AD＝1，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，在△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中，線段AM的最小值是　　． 12、綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，△ABC和△DEC是兩個(gè)全等的直角三角形紙片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．解決問(wèn)題（1）如圖①，智慧小組將△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，DE∥AC，請(qǐng)你幫他們證明這個(gè)結(jié)論；（2）縝密小組在智慧小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究，連接AE、AD、BD，當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時(shí)，他們提出S△BDC＝S△AEC，請(qǐng)你幫他們驗(yàn)證這一結(jié)論是否正確，并說(shuō)明理由；探索發(fā)現(xiàn)（3）如圖③，勤奮小組在前兩個(gè)小組的啟發(fā)下，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△DEC，當(dāng)B、A、E三點(diǎn)共線時(shí)，求BD的長(zhǎng)；（4）在圖①的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出一個(gè)邊長(zhǎng)比為1：：2的三角形（可添加字母）

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