?專題03一元二次方程

高中必備知識(shí)點(diǎn)1：根的判別式

我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以將其變形為
．①
因?yàn)閍≠0，所以，4a2＞0．于是
（1）當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
x1，2＝；
（2）當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根
x1＝x2＝－；
（3）當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左邊一定大于或等于零，因此，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情況可以由b2－4ac來(lái)判定，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判別式，通常用符號(hào)“Δ”來(lái)表示．
綜上所述，對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
(1)當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
x1，2＝；
（2）當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
x1＝x2＝－；
（3）當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

典型考題

【典型例題】
關(guān)于的一元二次方程，其根的判別式為，求的值．
【答案】．
【解析】
由題意得，
，
整理得，，
解得：．

【變式訓(xùn)練】
已知關(guān)于的一元二次方程
若方程的一個(gè)根為，求的值及另一個(gè)根；
若該方程根的判別式的值等于，求的值．
【答案】(1)；即原方程的另一根是．
【解析】
（1）設(shè)方程的另一根是x2．
∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一個(gè)根為3，
∴x=3是原方程的解，
∴9m﹣（m+2）×3+2=0，
解得m=；
又由韋達(dá)定理，得3×x2=，
∴x2=1，即原方程的另一根是1；
（2）∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1
∴m=1，m=3．
【能力提升】
方程（x﹣5）（2x﹣1）=3的根的判別式b2﹣4ac= ．
【答案】105
【解析】
先把方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化為一元二次方程的一般形式，再求出根的判別式即可．
方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化為一元二次方程的一般形式為：2x2﹣11x+2=0，
故△=b2﹣4ac=（﹣11）2﹣4×2×2=105．


高中必備知識(shí)點(diǎn)2：根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
，，
則有
；
．
所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理．
特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其兩根，由韋達(dá)定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，
即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，
所以，方程x2＋px＋q＝0可化為x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

典型考題

【典型例題】
如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”．
（1）請(qǐng)問(wèn)一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程嗎？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一個(gè)根為2，求b、c的值．
【答案】（1）該方程是倍根方程，理由見(jiàn)解析；
（2）當(dāng)方程根為1，2時(shí)， b＝﹣3，c＝2；當(dāng)方程根為2，4時(shí)b＝﹣6，c＝8．
【解析】
（1）該方程是倍根方程，理由如下：
x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∴x2＝2x1，
∴一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程；
（2）∵方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一個(gè)根為2，
∴方程的另一個(gè)根是1或4，
當(dāng)方程根為1，2時(shí)，﹣b＝1+2，解得b＝﹣3，c＝1×2＝2；
當(dāng)方程根為2，4時(shí)﹣b＝2+4，解得b＝﹣6，c＝2×4＝8．

【變式訓(xùn)練】
求方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2（x1＞x2），并求x12+2x2的值．
【答案】6
【解析】
方程x2﹣2x﹣2＝0的根x1，x2，
，
∴

【能力提升】
已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝0有兩根α，β
(1)求m的取值范圍；
(2)若α+β+αβ＝0．求m的值．
【答案】(1)m≥﹣；(2)m的值為3．
【解析】
(1)由題意知，(2m+3)2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≥﹣；
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得：α+β＝﹣(2m+3)，αβ＝m2，
∵α+β+αβ＝0，
∴﹣(2m+3)+m2＝0，
解得：m1＝﹣1，m1＝3，
由(1)知m≥﹣，
所以m1＝﹣1應(yīng)舍去，
m的值為3．
專題驗(yàn)收測(cè)試題

1．已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的兩個(gè)根，下面結(jié)論一定正確的是（　?。?br /> A．x1+x2＞0 B．x1≠x2 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
【答案】B
【解析】
解：∵△＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣3）＝m2+4＞0，
∴方程x2﹣mx﹣3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴x1≠x2．
故選：B．
2．已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一個(gè)根是﹣1，則另一個(gè)根是（　?。?br /> A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】C
【解析】
設(shè)方程的另一根為x1，
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：﹣1?x1＝﹣，
解得x1＝．
故選：C．
3．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可變形為（　　）
A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1
【答案】A
【解析】
解：x2+4x﹣5＝0，
x2+4x＝5，
x2+4x+22＝5+22，
（x+2）2＝9，
故選：A．
4．有x支球隊(duì)參加籃球比賽，共比賽了90場(chǎng)，每?jī)申?duì)之間都比賽2場(chǎng)，則下列方程中符合題意的是（　　）
A．x（x﹣1）＝90 B．x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90 D．x（x+1）＝90
【答案】C
【解析】
解：由題意可得，
x（x﹣1）＝90，
故選：C．
5．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2 x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　?。?br /> A．m≤3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3
【答案】C
【解析】
解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＞0，
解得m＜3．
故選：C．
6．關(guān)于x的方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍（　　）
A．m≤且m≠2 B．m＞ C．m≤ D．m≤3且m≠2
【答案】C
【解析】
當(dāng)m﹣2＝0，即m＝2時(shí)，關(guān)于x的方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)m﹣2≠0時(shí)，
∵關(guān)于x的方程（m﹣2）x2﹣x+＝0有實(shí)數(shù)根，
∴△＝3﹣m﹣4（m﹣2）?≥0，
解得：m≤，
∴m的取值范圍是m≤，
故選：C．
7．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0根的情況是（　?。?br /> A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定
【答案】A
【解析】
由關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0，
得到a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m，
△＝（m+2）2﹣4m＝m2+4m+4﹣4m＝m2+4＞0，
則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選A．
8．下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（　?。?br /> A．2x2+3＝0 B．x2＝2x C．x2+4x﹣1＝0 D．x2﹣8x+16＝0
【答案】A
【解析】
A、△＝0﹣24＝﹣24＜0，即方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，符合題意；
B、△＝4﹣0＝4＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；
C、△＝16+4＝20＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；
D、△＝64﹣64＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意，
故選：A．
9．歐幾里得的《原本》記載，形如x2+ax＝b2的方程的圖解法是：畫(huà)Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜邊AB上截取BD＝．則該方程的一個(gè)正根是（　?。?br />
A．AC的長(zhǎng) B．AD的長(zhǎng) C．BC的長(zhǎng) D．CD的長(zhǎng)
【答案】B
【解析】
歐幾里得的《原本》記載，形如x2+ax＝b2的方程的圖解法是：畫(huà)Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜邊AB上截取BD＝，
設(shè)AD＝x，根據(jù)勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，
整理得：x2+ax＝b2，
則該方程的一個(gè)正根是AD的長(zhǎng)，
故選：B．
10．若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的兩根中有且僅有一根在0和1之間（不含0和1），則a的取值范圍是（ ）
A．a(chǎn)＜3 B．a(chǎn)＞3 C．a(chǎn)＜﹣3 D．a(chǎn)＞﹣3
【答案】B
【解析】
試題分析：當(dāng)x=0時(shí)，y=－5；當(dāng)x=1時(shí)，y=a－3，函數(shù)與x軸在0和1之間有一個(gè)交點(diǎn)，則a－3＞0，解得：a＞3．
考點(diǎn)：一元二次方程與函數(shù)
11．一元二次方程x（x+5）＝x+5的解為_(kāi)____．
【答案】x1＝﹣5，x2＝1
【解析】
解：方程整理得：x（x+5）﹣（x+5）＝0，
分解因式得：（x+5）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝1，
故答案為：x1＝﹣5，x2＝1
12．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的兩根為x1，x2，則x12+3x2+x1x2﹣2的值為_(kāi)____．
【答案】7
【解析】
解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的兩根為x1，x2，
∴x12＝3x1+2，x1x2＝﹣2，x1+x2＝3，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1+2＝3（x1+x2）+x1x2＝7，
故答案為：7．
13．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+2+m＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】
解：根據(jù)題意得△＝（﹣3）2﹣4（2+m）＜0，
解得m＞．
故答案為m＞．
14．已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么直線y＝（）x﹣（x12+x22）不經(jīng)過(guò)第_____象限．
【答案】二
【解析】
∵x1、x2是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝﹣3，x1?x2＝﹣6，
∴，
x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣6）＝21，
∴y═，
∴該函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，不經(jīng)過(guò)第二象限，
故答案為：二．
15．已知x=-1是關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+ 1)x-m2=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根,則m=_____.
【答案】0或－1
【解析】
由題意可知：將代入方程可得 整理可得：
，即
故答案為：
16．已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的兩實(shí)根，則代數(shù)式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____．
【答案】1
【解析】
∵α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的兩實(shí)根，
∴α2﹣2019α＝﹣1，β2﹣2019β＝﹣1，αβ＝1，
∴（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+＝1．
故答案為：1．
17．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0．
（1）求證：無(wú)論k取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩根之和等于3，求k的值以及方程的兩個(gè)根．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）x1＝，x2＝．
【解析】
（1）證明：因?yàn)椤鳎絢2﹣4（﹣k﹣2）＝k2+4k+8＝（k+2）2+4＞0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）由題意，得﹣k＝3，所以k＝﹣3．
當(dāng)k＝﹣3時(shí)，方程為x2﹣3x+1＝0．
所以x1＝，x2＝．
根的判別式，解題的關(guān)鍵：（1）正確掌握判別式公式，（2）正確掌握根與系數(shù)的關(guān)系公式．
18．四川雅安地震牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，揚(yáng)州市教育局開(kāi)展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng)，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同，求捐款增長(zhǎng)率；
(2)按照(1)中收到捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到多少捐款？
【答案】(1)捐款增長(zhǎng)率為10%；(2)第四天該單位能收到13310元捐款．
【解析】
(1)設(shè)第二天、第三天的增長(zhǎng)率為x，由題意，得
10000(1+x)2＝12100，
解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1(舍去)．
則x＝0.1＝10%．
答：捐款增長(zhǎng)率為10%；
(2)第四天收到的捐款為12100×(1+10%)＝13310(元)．
答：第四天該單位能收到13310元捐款．
19．解方程或不等式：
（1）解方程：；
（2）解不等式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）解：


（2）解：由①得，
由②得，
故
20．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根x1，x2滿足|x1|+|x2|＝x1?x2，求k的值．
【答案】(1)k＜﹣；(2)-2．
【解析】
解：(1)根據(jù)題意得△＝(2k﹣1)2﹣4(k2+1)＞0，
解得k＜﹣；
(2)x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，
∵k＜﹣，
∴x1+x2＝2k﹣1＜0，
而x1x2＝k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∵|x1|+|x2|＝x1?x2，
∴﹣(x1+x2)＝x1?x2，即﹣(2k﹣1)＝k2+1，
整理得k2+2k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣2，
而k＜﹣，
∴k＝﹣2．
21．關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1，x2．
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若方程兩實(shí)根x1，x2滿足x1+x2=－x1x2，求k的值．
【答案】（1）k>；（2）2.
【解析】
（1）∵原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=（2k+1）2-4（k2+1）＞0，
解得：k＞，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是k＞；
（2）∵根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=-（2k+1），x1?x2=k2+1，
又∵方程兩實(shí)根x1、x2滿足x1+x2=-x1?x2，
∴-（2k+1）=-（k2+1），
解得：k1=0，k2=2，
∵k＞，
∴k只能是2．
22．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
求k的取值范圍；
若k為負(fù)整數(shù)，求此時(shí)方程的根．
【答案】（；（時(shí)，．
【解析】
(1)由題意得Δ＞0，
即9－4(1－k)＞0，
解得k＞.
(2)若k為負(fù)整數(shù)，則k＝－1，
原方程為x2－3x＋2＝0，
解得x1＝1，x2＝2.

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