專題6.7  多邊形的內(nèi)角和與外角和（知識講解） 【學習目標】1.理解多邊形的概念； 2.掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式；3.靈活運用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決有關問題，體驗并掌握探索、歸納圖形性質(zhì)的推理方法，進一步培養(yǎng)說理和進行簡單推理的能力.【要點梳理】知識點一、多邊形的概念1．定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．2．相關概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個n邊形有n個內(nèi)角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．3. 多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形，如果整個多邊形不在直線的同一側，這個多邊形叫凹多邊形．如圖：                                   要點詮釋： (1)正多邊形必須同時滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個條件，二者缺一不可；(2)過n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數(shù)為；(3)過n邊形的一個頂點的對角線可以把n邊形分成(n-2)個三角形．知識點二、多邊形內(nèi)角和    n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點詮釋： (1)內(nèi)角和公式的應用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內(nèi)角都相等，都等于；知識點三、多邊形的外角和    多邊形的外角和為360°．要點詮釋：(1)在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關； (2)正n邊形的每個內(nèi)角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于； (3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．【典型例題】類型一、多邊形的概念       1．如圖，在六邊形ABCDEF中，從頂點A出發(fā)，可以畫幾條對角線？它們將六邊形ABCDEF分成哪幾個三角形? 【答案與解析】解：如圖，P從頂點A出發(fā)，可以畫三條對角線，它們將六邊形ABCDEF分成的三角形分別是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF.【總結升華】從一個多邊形一個頂點出發(fā)，可以連的對角線的條數(shù)(n-3)條，分成的三角形數(shù)是個數(shù)（n-2）個．舉一反三：【變式】過正十二邊形的一個頂點有      條對角線，一個正十二邊形共有      條對角線【答案】9，54。類型二、多邊形內(nèi)角和定理2.證明： n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．【思路點撥】先寫出已知、求證，再畫圖，然后證明．【答案與解析】已知： n邊形A1A2……An，
求證： ∠A1+∠A2+……+∠An=（n-2）·180°，證法一：如圖(1)所示，在n邊形內(nèi)任取一點O，連O與各頂點的線段把n邊形分成了n個三角形，n個三角形內(nèi)角和為n·180°，減去以O為公共頂點的n個角的和2×180°(即一個周角)得n邊形內(nèi)角和為n·180°-2×180°-(n-2)·180°．證法二：如圖(2)所示，過頂點A1作對角線，把n邊形分成了(n-2)個三角形，這(n-2)個三角形的內(nèi)角和恰是多邊形的內(nèi)角和，即(n-2)·180°．方法三：如圖(3)所示，在多邊形邊上任取一點P，連這點與各頂點的線段把n邊形分成了(n-1)個三角形，n邊形內(nèi)角和為這(n-1)個三角形內(nèi)角和減去在點P處的一個平角，即(n-1)·180°-180°＝(n-2)·180°．【總結升華】證明多邊形內(nèi)角和定理，關鍵是構造三角形，利用三角形的內(nèi)角和定理進行證明．舉一反三： 【變式】練習：求下列圖中的x的值.【答案】        3. 如圖，一個多邊形紙片按圖示的剪法剪去一個內(nèi)角后，得到一個內(nèi)角和為2520°的新多邊形，求原多邊形的邊數(shù)．【思路點撥】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可列方程求的新多邊形的邊數(shù)，減去1即可得  到原多邊形的邊數(shù)．【答案與解析】解：設新多邊形是n邊形，則180（n﹣2）=2520解得：n=16．則原多邊形的邊數(shù)是：16﹣1=15．答：原多邊形的邊數(shù)是15．【總結升華】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式求多邊形的邊數(shù)，解答時要會根據(jù)公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理． 舉一反三：【變式】一個多邊形的內(nèi)角和是540o，那么這個多邊形的對角線的條數(shù)是      .【答案】5類型三、多邊形的外角和4. 如圖所示，小華從A點出發(fā)，沿直線前進10米后左轉24，再沿直線前進10米，又向左轉24°，…，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走的路程是（　?。?/span>A．140米 B．150米 C．160米 D．240米【思路點撥】多邊形的外角和為360°每一個外角都為24°，依此可求邊數(shù)，再求多邊形的周長．【答案】B.【解析】解：∵多邊形的外角和為360°，而每一個外角為24°，∴多邊形的邊數(shù)為360°÷24°=15，∴小明一共走了：15×10=150(米)．故選B．【總結升華】本題考查了多邊形的外角和．關鍵是根據(jù)多邊形的外角和及每一個外角都為24°求邊數(shù)．舉一反三：【變式1】如圖，一輛小汽車從P市出發(fā)，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，這輛小汽車共轉了多少度角？【答案】：如圖，    當小汽車從P出發(fā)行駛到B市，由B市向C市行駛時轉的角是，由C市向A市行駛時轉的角是，由A市向P市行駛時轉的角是. 因此，小汽車從P市出發(fā)，經(jīng)B市、C 市、A市，又回到P市，共轉. 【變式2】已知一個多邊形的內(nèi)角和與外角和共2160o，則這個多邊形的邊數(shù)是       .【答案】12【變式3】 一個多邊形的每個內(nèi)角都等于120°，則這個多邊形的邊數(shù)為（　?。?/span>　 A.4 B. 5   C.6   D.7【答案】C.解：∵多邊形的每一個內(nèi)角都等于120°，∴多邊形的每一個外角都等于180°﹣120°=60°，∴邊數(shù)n=360°÷60°=6．故選：C．

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