專題4.6大題易丟分必做解答30題（提升版）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試高分直通車【北師大版】-試卷下載-教習網(wǎng)

?2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期中考試高分直通車（北師大版）
專題4.6大題易丟分必做解答30題（提升版）
一．解答題（共30小題）
1．（2021秋?嵊州市期中）解不等式（組）并把解表示在數(shù)軸上
（1）3x+2＞14；
（2）1+x2-2x+13≤1．
【分析】（1）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得．
（2）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得．
【解析】（1）3x+2＞14，
3x＞14﹣2，
3x＞12，
x＞4，
表示在數(shù)軸上為：

（2）兩邊同時乘6得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤6，
去括號得：3+3x﹣4x﹣2≤6，
移項，合并同類項得﹣x≤5，
解得x≥﹣5，
表示在數(shù)軸上為：
．
2．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期中）（1）解不等式：x≤1+2x3+1；
（2）解不等式組-3(x+1)-(x-3)＜84x+3≥3x，并把解集表示在數(shù)軸上
【分析】（1）先去分母，再移項、合并同類項，求出不等式的解集；
（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可．
【解析】（1）x≤1+2x3+1，
去分母，得3x≤1+2x+3，
移項，得3x﹣2x≤1+3，
合并同類項得x≤4；

（2）-3(x+1)-(x-3)＜8①4x+3≥3x②，
由①得：x＞﹣2；
由②得x≥﹣3；
∴不等式組的解集為x＞﹣2，
在數(shù)軸上表示為：
．
3．（2021春?簡陽市期中）在今年年初，新型冠狀病毒在武漢等地區(qū)肆虐，為了緩解湖北地區(qū)的疫情，全國各地的醫(yī)療隊員都紛紛報名支援湖北，某方艙醫(yī)院需要8組醫(yī)護人員支援，要求每組分配的人數(shù)相同，若按每組人數(shù)比預(yù)定人數(shù)多分配1人，則總數(shù)會超過100人，若每組人數(shù)比預(yù)定人數(shù)少分配一人，則總數(shù)不夠90人，那么預(yù)定每組分配的人數(shù)是多少人？
【分析】設(shè)預(yù)定每組分配的人數(shù)是x人，根據(jù)“若按每組人數(shù)比預(yù)定人數(shù)多分配1人，則總數(shù)會超過100人，若每組人數(shù)比預(yù)定人數(shù)少分配一人，則總數(shù)不夠90人”，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再結(jié)合x為正整數(shù)即可得出結(jié)論．
【解析】設(shè)預(yù)定每組分配的人數(shù)是x人，
依題意，得：8(x+1)＞1008(x-1)＜90，
解得：232＜x＜494，
又∵x為正整數(shù)，
∴x＝12．
答：預(yù)定每組分配的人數(shù)是12人．
4．（2021春?太原期中）“一方有難，八方支援”．某學(xué)校計劃購買84消毒液和75%酒精消毒水共4000瓶，用于支援武漢抗擊“新冠肺炎疫情”，已知84消毒液的單價為3元/瓶，75%酒精消毒水的單價為13元/瓶，若購買這批物資的總費用不超過28000元，求至少可以購買84消毒液多少瓶？
【分析】設(shè)該校購進x瓶84消毒液，則購進（4000﹣x）瓶75%酒精消毒水，根據(jù)總價＝單價×數(shù)量結(jié)合購買這批物資的總費用不超過28000元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
【解析】設(shè)該校購進x瓶84消毒液，則購進（4000﹣x）瓶75%酒精消毒水，
依題意，得：3x+13（4000﹣x）≤28000，
解得：x≥2400．
答：至少可以購買84消毒液2400瓶．
5．（2021春?海淀區(qū)校級期中）有A、B兩個商場以同樣價格出售同樣商品，且各自推出了不同的優(yōu)惠方案：
在A商場累計購物超過400元后，超出部分按80%收費；
在B商場累計購物超過200元后，超出的部分按90%收費．
顧客選擇到哪家購物花費少？
【分析】設(shè)顧客購買物品的原價為x元，分x≤200、200＜x≤400及x＞400三種情況考慮，顯然，當x≤200時，在兩商場購物花費一樣多；當200＜x≤400時，在B商場購物花費少；當x＞400時，分到B商場購物花費少、到兩商場購物花費相同及到A商場購物花費少三種情況，找出關(guān)于x的一元一次不等式（或一元一次方程），解之即可得出結(jié)論．
【解析】設(shè)顧客購買物品的原價為x元．
當x≤200時，在兩商場購物花費一樣多；
當200＜x≤400時，在B商場購物花費少；
當x＞400時，若200+90%（x﹣200）＜400+80%（x﹣400），
解得：x＜600；
若200+90%（x﹣200）＝400+80%（x﹣400），
解得：x＝600；
若200+90%（x﹣200）＞400+80%（x﹣400），
解得：x＞600．
答：當x≤200或x＝600時，到兩商場購物花費相同；當400＜x＜600時，到B商場購物花費少；當x＞600時，到A商場購物花費少．
6．（2021春?南崗區(qū)校級期中）x為何整數(shù)時，代數(shù)式5x+2大于3（x+1）與代數(shù)式x﹣2不大于14﹣3x都成立？
【分析】先根據(jù)題意列出不等式組5x+2＞3(x+1)①x-2≤14-3x②，再求出解集，然后得到整數(shù)解．
【解析】由題意，可得5x+2＞3(x+1)①x-2≤14-3x②，
解不等式①，得x＞12，
解不等式②，得x≤4，
所以12＜x≤4，
∵x為整數(shù)，
∴x＝1，2，3，4．
故當x為1或2或3或4時，代數(shù)式5x+2大于3（x+1）與代數(shù)式x﹣2不大于14﹣3x都成立．
7．（2021秋?宣城期中）如圖，直線y＝kx+2與直線y=13x相交于點A（3，1），與x軸交于點B．
（1）求B點坐標；
（2）根據(jù)圖象寫出不等式組0＜kx+2＜13x的解集．

【分析】（1）根據(jù)直線y＝kx+2與直線y=13x相交于點A（3，1），與x軸交于點B可以求得k的值和點B的坐標；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象可以直接寫出不等式組0＜kx+2＜13x的解集．
【解析】（1）∵直線y＝kx+2與直線y=13x相交于點A（3，1），與x軸交于點B，
∴3k+2＝1，
解得k=-13，
∴y=-13x+2，
當y＝0時，-13x+2=0，得x＝6，
∴點B的坐標為（6，0）；
（2）由圖象可知，0＜kx+2＜13x的解集是3＜x＜6．
8．（2019春?葉縣期中）某乒乓球館有兩種計費方案，如下表所示：
包場計費：每場每小時50元，每人另付人場費5元
人數(shù)計費：每人打球2小時20元繼續(xù)打球每人每小時6元
李強和同學(xué)們打算周末去此乒乓球館連續(xù)打球4小時，經(jīng)服務(wù)生測算后，告知他們包場計費方案會比人數(shù)計費方案便宜，則他們參與包場的人數(shù)至少為多少人？
【分析】設(shè)他們參與包場的人數(shù)為x人，根據(jù)包場計費方案比按人數(shù)計費方案便宜，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，再取其中的最小整數(shù)值即可得出結(jié)論．
【解析】設(shè)他們參與包場的人數(shù)為x人，
依題意，得：50×4+5x＜20x+（4﹣2）×6x，
解得：x＞71127．
又∵x為正整數(shù)，
∴x的最小整數(shù)解為8．
答：他們參與包場的人數(shù)至少為8人．
9．（2021秋?韓城市期中）如圖，在平面直角坐標系中，A（1，1），△ABC的頂點均在格點上．
（1）點C繞O點逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后所對應(yīng)點C'的坐標為　（﹣1，5）??；
（2）若△ABC和△A1B1C1關(guān)于原點O成中心對稱圖形，畫出△A1B1C1．

【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出C點的對應(yīng)點C′，從而得到C′點的坐標；
（2）利用關(guān)于原點對稱的點的坐標特征寫出A1、B1、C1的坐標，然后描點即可．
【解析】（1）如圖，C′點的坐標為（﹣1，5）；
故答案為（﹣1，5）；
（2）如圖，△A1B1C1為所作；

10．（2021秋?廣漢市期中）在如圖所示的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，△ABO的三個頂點都在格點上．
（1）以O(shè)為原點建立直角坐標系，點B的坐標為（﹣3，1），則點A的坐標為?。ī?，﹣3）?。?br /> （2）畫出△ABO繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后的△OA1B1．

【分析】（1）利用B點坐標作出直角坐標系，從而得到A點坐標；
（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B的對應(yīng)點A1、B1即可．
【解析】（1）建立如圖所示的直角坐標系，點A的坐標為（﹣2，3）；
故答案為（﹣2，3）；
（2）如圖，△OA1B1為所作．

11．（2021春?延慶區(qū)期中）請在平面直角坐標系中，完成下面的問題
（1）描出點A（﹣2，3）和它關(guān)于y軸的對稱點B；
（2）描出點C（2，1）和它關(guān)于原點的對稱點D；
（3）求線段AD的長．
【分析】（1）利用關(guān)于y軸對稱的點的坐標寫出B點坐標，然后描點即可；
（2）利用關(guān)于原點對稱的點的坐標寫出D點坐標，然后描點即可；
（3）利用AD平行y軸，利用兩點的縱坐標之差得到AD的長．
【解析】（1）如圖，點B為所作；
（2）如圖，點D為所作；

（3）因為A（﹣2，3），D（﹣2，﹣1），
線段AD的長＝3﹣（﹣1）＝4．
12．（2021春?和平區(qū)期中）已知如圖，在△ABC中，三個頂點的坐標分別為A（2，3），B（5，﹣1），C（1，1），將△ABC沿x軸負方向平移4個單位長度，再沿y軸負方向平移2個單位長度，得到△DEF，其中點A的對應(yīng)點為點D，點B的對應(yīng)點為點E，點C的對應(yīng)點為點F．
（1）直接寫出平移后的△DEF的頂點坐標：D　（﹣2，1）　、E?。?，﹣3）　、F?。ī?，﹣1）　；
（2）在坐標系中畫出平移后的△DEF；
（3）求出△DEF的面積．

【分析】（1）利用點平移的坐標變換規(guī)律寫出A、B、C的對應(yīng)點D、E、F的坐標；
（2）利用點D、E、F的坐標描點即可；
（3）用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算△DEF的面積．
【解析】（1）D（﹣2，1）；E（1，﹣3）；F（﹣3，﹣1）；
（2）如圖，△DEF為所作；

（3）△DEF的面積＝4×4-12×2×1-12×4×2-12×4×3＝5．
13．（2021秋?郟縣期中）如圖，在每個小正方形邊長為1的方格紙中，△ABC的頂點都在方格紙格點上．
（1）將△ABC經(jīng)過平移后得到△DEF，圖中標出了點A的對應(yīng)點D，補全△DEF；
（2）在圖中畫出△ABC的中線BG和高CH；
（3）在（1）條件下，AD與CF的關(guān)系是　平行且相等?。?br />
【分析】（1）利用點A、D的位置確定平移的方向與距離，然后利用此平移規(guī)律畫出B、C的對應(yīng)點E、F即可；
（2）利用網(wǎng)格特點和三角形中線和高的定義畫圖；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)進行判斷．
【解析】（1）如圖，△DEF為所作；
（2）如圖，BG、CH為所作；

（3）∵△ABC經(jīng)過平移后得到△DEF，
∴AC∥DF，AC＝DF．
故答案為平行且相等．
14．（2021秋?唐山期中）如圖，△ABC中，∠B＝16°，∠ACB＝24°，AB＝6cm，△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合，且點C恰好成為AD的中點．
（1）指出旋轉(zhuǎn)中心，并求出旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；
（2）求出∠BAE的度數(shù)和AE的長．

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求解；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠EAD＝140°，由周角的性質(zhì)和中點的性質(zhì)可求解．
【解答】解、（1）∵△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與△ADE重合，A為頂點，
∴旋轉(zhuǎn)中心是點A，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠CAE＝∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝140°，
∴旋轉(zhuǎn)角度是140°；
（2）由旋轉(zhuǎn)可知：△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠EAD＝140°，
∴∠BAE＝360°﹣140°×2＝80°，
∵C為AD中點，
∴AC＝AE=12AB=12×6＝3（cm）．
15．（2018春?鄄城縣期中）如圖所示，點D是等邊△ABC內(nèi)一點，DA＝13，DB＝19，DC＝21，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ACE的位置，求△DEC的周長．

【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD＝AE，CE＝BD＝19，∠DAE＝∠BAC＝60°，則可判斷△ADE為等邊三角形，從而得到DE＝AD＝13，然后計算△DEC的周長．
【解析】∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ACE的位置，
∴AD＝AE，CE＝BD＝19，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE為等邊三角形，
∴DE＝AD＝13，
∴△DEC的周長＝DE+DC+CE＝13+21+19＝53．
16．（2021春?賀州期末）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB．求：
（1）PP′的長度；
（2）∠APB的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠PAP′＝60°，P′A＝PA，然后判斷出△APP′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得PP′＝PA；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠APP′＝60°，利用勾股定理逆定理求出∠BPP′＝90°，然后求解即可．
【解析】（1）∵△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，
∴∠PAP′＝60°，P′A＝PA＝6，
∴△APP′是等邊三角形，
∴PP′＝PA＝6；

（2）∵△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，
∴P′B＝PC＝10，
∵△APP′是等邊三角形，
∴∠APP′＝60°，
∵PB2+PP′2＝82+62＝100，
P′B2＝102＝100，
∴PB2+PP′2＝P′B2，
∴△P′PB是直角三角形，∠BPP′＝90°，
∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝60°+90°＝150°．
17．（2021秋?崆峒區(qū)期末）如圖：已知OA和OB兩條公路，以及C、D兩個村莊，建立一個車站P，使車站到兩個村莊距離相等即PC＝PD，且P到OA，OB兩條公路的距離相等．

【分析】作∠AOB的角平分線和線段CD的垂直平分線，它們的交點為P點．
【解析】如圖，點P為所作．

18．（2021秋?利通區(qū)期末）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB交AB于點E，DF⊥AC交AC于點F．若S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，求AC的長．

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知DF＝DE＝2，再依據(jù)S△ABC＝S△ABD+S△ACD，可求AC值．
【解析】∵AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC于點F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝5，
∴9=12×4×2+12×AC×2，
∴AC＝4．
19．（2021秋?溧陽市期中）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，BG平分∠ABC，交AD于點E，交AC于點G

（1）求證：AE＝AG；
（2）如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F，若∠C＝30°，求證：AG＝GF＝FC．
【分析】（1）先由直角三角形的性質(zhì)得∠AGB+∠ABG＝90°，∠BED+∠DBE＝90°，再由角平分線定義得∠ABG＝∠DBE，然后證出∠AGB＝∠AEG，即可得出結(jié)論；
（2）先證BG＝CG，AE＝BE，再證△AEG是等邊三角形，得AG＝GE＝AE＝BE，然后由平行線的性質(zhì)得∠GEF＝∠CBG＝30°，∠GFE＝∠C＝30°，則∠GEF＝∠GFE，得GE＝GF，進而得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠AGB+∠ABG＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠BED+∠DBE＝90°，
又∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠DBE，
∴∠AGB＝∠BED，
∵∠BED＝∠AEG，
∴∠AGB＝∠AEG，
∴AE＝AG；
（2）∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝30°，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG＝30°，
∴∠CBG＝∠C，∠BAD＝∠ABG，∠AGB＝90°﹣30°＝60°，
∴BG＝CG，AE＝BE，
由（1）得：AE＝AG，
∴△AEG是等邊三角形，
∴AG＝GE＝AE＝BE，
又∵EF∥BC，
∴∠GEF＝∠CBG＝30°，∠GFE＝∠C＝30°，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF，
∴GE＝BE＝FC＝GF，
∴AG＝GF＝FC．
20．（2021秋?利通區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形內(nèi)一點，連接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．
（1）求證：∠BAD＝∠CAD；
（2）求∠ADB的度數(shù)．

【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，利用等角對等邊得出DB＝DC．再根據(jù)SSS證明△ABD≌△ACD，那么∠BAD＝∠CAD；
（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得出∠ADB＝∠ADC，再利用周角的定義即可求出∠ADB的度數(shù)．
【解答】（1）證明：∵∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，
∴∠DBC＝∠BCD，
∴DB＝DC．
在△ABD與△ACD中，
AB=ACDB=DCAD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD；

（2）解：∵△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC+∠BDC＝360°，∠BDC＝90°，
∴∠ADB=12（360°﹣90°）＝135°．
21．（2021秋?金鄉(xiāng)縣期中）如圖，點P是∠MON中一點，PA⊥OM于點A，PB⊥ON于點B，連接AB，∠PAB＝∠PBA．求證：OP平分∠MON．

【分析】先根據(jù)等腰三角形的判定得到PA＝PB，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理得到距離．
【解答】證明：∵∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB，
∵PA⊥OM于點A，PB⊥ON于點B，
∴OP平分∠MON．
22．（2019秋?永定區(qū)期末）已知，△ABC是等邊三角形，過點C作CD∥AB，且CD＝AB，連接BD交AC于點O．
（1）如圖1，求證：AC垂直平分BD；
（2）如圖2，點M在BC的延長線上，點N在線段CO上，且ND＝NM，連接BN．求證：NB＝NM．

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明即可；
（2）可得NB＝ND，由ND＝NM，則NB＝NM．
【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，
∵CD∥AB，且CD＝AB，
∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°，
∴BO＝DO，CO⊥BD，
∴AC垂直平分BD；
（2）由（1）知AC垂直平分BD，
∴NB＝ND，
∵ND＝NM，
∴NB＝NM．
23．（2021秋?長沙期中）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC交BC于點D．
（1）求證：點D在AB的垂直平分線上；
（2）若CD＝2，求BC的長．

【分析】（1）計算出∠BAD＝∠CAD＝30°得到∠B＝∠BAD，則DA＝DB，然后根據(jù)線段垂直平分線的判定得到結(jié)論；
（2）利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AD＝2CD＝4，則BD＝AD＝4，然后計算BD+CD即可．
【解答】（1）證明：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴點D在AB的垂直平分線上；
（2）在Rt△ADC中，AD＝2CD＝4，
∴BD＝AD＝4，
∴BC＝BD+CD＝4+2＝6．
24．（2021?瑞安市一模）如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E．
（1）若BC＝5，求△ADE的周長．
（2）若∠BAD+∠CAE＝60°，求∠BAC的度數(shù)．

【分析】（1）直接利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出答案；
（2）利用∠BAD+∠CAE＝60°，得出∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC＝60°，進而得出答案．
【解析】（1）∵邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴△ADE的周長＝AD+DE+AE＝DB+DE+EC＝BC＝5；

（2）∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC＝60°，
∴∠BAC＝120°．
25．（2021秋?南京期中）（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，M為邊BC的中點，連接AM，將線段AM順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段AD，連接BD；點N在BC的延長線上，且CN＝MC，連接AN．
求證：BD＝AN．
（2）若將問題（1）中的條件“M為邊BC的中點”改為“M為邊BC上的任意一點”，其他條件不變，結(jié)論還成立嗎？如果成立，請畫出圖形并給出證明；如果不成立，請舉出反例．

【分析】（1）證明△DBA≌△ANM（SAS），可得BD＝AN．
（2）分兩種情形：①如圖②﹣1中，當BM＞12BC時，分別過點A、點D作AG⊥BM、DH⊥BA垂足分別為G、H．證明△DAH≌△AMG（AAS），推出DH＝AG，AH＝GM，再證明△DBH≌△ANG（SAS），可得BD＝AN．②當BM＜12BC時，同法可得BD＝AN．
【解析】（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，
∵又M是BC的中點，
∴∠AMB＝∠AMN＝90°，BC＝2BM＝2MC，∠BAM＝∠BAC＝30°，
∵AM順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AB，
∴∠MAD＝120°，AD＝AM，
∴∠BAD＝∠MAD﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，
∴∠BAD＝∠AMN＝90°，
∵MC＝CN，
∴MN＝2MC＝BC＝AB，
在△DBA和△ANM中，
AB=MN∠BAD=∠AMBAD=AM，
∴△DBA≌△ANM（SAS），
∴BD＝AN．
（2）結(jié)論成立，理由如下：
①如圖②﹣1中，當BM＞12BC時，分別過點A、點D作AG⊥BM、DH⊥BA垂足分別為G、H．

∴∠DHA＝∠AGM＝90°，
∵∠AMG+∠BAM+∠ABC＝180°，∠ABC＝160°，
∴∠AMG＝180°﹣∠ABC﹣∠BAM＝120°﹣∠BAM，
∵AM順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段AB，
∴∠MAD＝120°，AD＝AM，
∴∠DAB＝120°﹣∠BAM，
∴∠DAB＝∠AMB，
在△DAH和△AMG中，
∠DHA=∠AGM∠DAH=∠AMGAD=AM，
∴△DAH≌△AMG（AAS），
∴DH＝AG，AH＝GM，
又∵△ABC是等邊三角形，AG⊥BM，
∴BG＝GC，
∴GN＝GC+CN＝GC+CM＝BG+GC﹣GM＝BC﹣GM，
又∵BH＝AB﹣HA，AH＝GM，AB＝BC，
∴BH＝GN．
∵DH＝AG，∠DHA＝∠AGM＝90°，BH＝GN，
在△DBH和△ANG中，
DH=AG∠DHA=∠AGMBH=GN
∴△DBH≌△ANG（SAS），
∴BD＝AN．
②當BM＜12BC時，同法可得BD＝AN．
26．（2021秋?南崗區(qū)期中）已知，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至E，使CE＝CD．
（1）如圖1，求證：DB＝DE；
（2）如圖2，過點D作DE的垂線交BC于點F，請直接寫出圖中所有與線段AC相等的線段（不包括AC本身）．

【分析】（1）由BD是中線得出∠DBC＝30°，進而判斷出AE＝DB；
（2）利用等邊三角形的性質(zhì)判斷即可．
【解析】（1）∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∵BD是中線，
∴∠DBC=12∠A∠C＝30°，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∴∠E＝30°，
∴∠E＝∠DBE，
∴BD＝BE．

（2）與線段AC相等的線段有：AB，BC，EF．
理由：如圖2中，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵FD⊥DE，
∴∠FDE＝90°，
∵∠E＝30°，
∴∠DFC＝∠DCF＝60°，
∴△DCF是等邊三角形，
∴DC＝CF＝EC，
∴EF＝2CD＝AC，
∴與線段AC相等的線段有：AB，BC，EF．
27．（2021秋?斗門區(qū)校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D、E分別在AB，AC上，且AD＝AE．若△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0＜a≤180°），記直線BD1與CE1的交點為P．
（1）求證：BD1＝CE1；
（2）當∠CPD1＝2∠CAD1時，求旋轉(zhuǎn)角為a的度數(shù)．

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)得到△ABD1≌△ACE1的條件即可；
（2）由（1）的結(jié)論，得出∠ABD1＝∠ACE1，即可得出結(jié)論．
【解析】（1）在△ABD1和△ACE1中，
AC=AB∠CAE1=∠BAD1AE1=AD1，
∴△ABD1≌△ACE1 （SAS），
∴BD1＝CE1；
（2）設(shè)AC與BP交于點G，

由（1）知△ABD1≌△ACE1，
∴∠ABD1＝∠ACE1，
∵∠AGB＝∠CGP，
∴∠CPG＝∠BAG＝90°，
∴∠CPD1＝90°，
∵∠CPD1＝2∠CAD1，
∴∠CAD1=12∠CPD1＝45°，
∴旋轉(zhuǎn)角α＝90°+∠CAD1＝135°．
28．（2021秋?惠安縣期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，分別過點A、B兩點作過點C的直線m的垂線，垂足分別為點D、E．
（1）如圖1，當AC＝CB，點A、B在直線m的同側(cè)時，猜想線段DE，AD和BE三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論：　DE＝AD+BE?。?br /> （2）如圖2，當AC＝CB，點A、B在直線m的異側(cè)時，請問（1）中有關(guān)于線段DE、AD和BE三條線段的數(shù)量關(guān)系的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你給出證明；若不成立，請給出正確的結(jié)論，并說明理由．
（3）當AC＝16cm，CB＝30cm，點A、B在直線m的同側(cè)時，一動點M以每秒2cm的速度從A點出發(fā)沿A→C→B路徑向終點B運動，同時另一動點N以每秒3cm的速度從B點出發(fā)沿B→C→A路徑向終點A運動，兩點都要到達相應(yīng)的終點時才能停止運動．在運動過程中，分別過點M和點N作MP⊥m于P，NQ⊥m于Q．設(shè)運動時間為t秒，當t為何值時，△MPC與△NQC全等？

【分析】（1）由∠ACB＝90°，得∠ACD+∠BCE＝90°，證得∠ADC＝∠CEB＝90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠ACD＝∠CBE，易得Rt△ADC≌Rt△CEB，所以AD＝CE，DC＝BE，即可得到DE＝DC+CE＝BE+AD．
（2）證明△ACD≌△CBE（AAS），得出AD＝CE，CD＝BE，則可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)點P和點Q不同的位置分四種情況畫出圖形，由全等三角形的性質(zhì)則可得出答案．
【解析】（1）猜想：DE＝AD+BE．
證明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥m于D，BE⊥m于E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，DC＝BE，
∴DE＝DC+CE＝BE+AD；
故答案為：DE＝AD+BE．
（2）結(jié)論：DE＝AD﹣BE；
理由：∵AD⊥m，BE⊥m，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
∠ADC=∠CEB∠CAD=∠BCEAC=CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）①當0≤t＜8時，點M在AC上，點N在BC上，如圖，

∵MC＝NC，
∴16﹣2t＝30﹣3t，
解得：t＝14，不合題意；
②當8≤t＜10時，點M在BC上，點N也在BC上，如圖，

∵MC＝NC，
∴點M與點N重合，
∴2t﹣16＝30﹣3t，
解得：t＝9.2；
③當10≤t＜463時，點M在BC上，點N在AC上，如圖，

∵MC＝NC，
∴2t﹣16＝3t﹣30，
解得：t＝14；
④當463≤t≤23時，點N停在點A處，點M在BC上，如圖，

∵MC＝NC，
∴2t﹣16＝16，
解得：t＝16；
綜上所述：當t＝9.2或14或16秒時，△MPC與△NQC全等．
29．（2021秋?連江縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，過C作直線CE，B關(guān)于直線CE的對稱點為D，連接AD，BD，CD，CE與BD的交點為E，設(shè)∠BCE＝α（0°＜α＜90°）．
（1）若α＝15°，則請直接寫出下列兩個角的度數(shù)：∠ADC＝　45°　，∠ADB＝　30°?。?br /> （2）隨著α的變化，∠ADB的度數(shù)是否也發(fā)生變化，請說明理由；
（3）當△ABD成為等腰三角形時，求α的值．

【分析】（1）分別求出∠CDB，∠CDA即可解決問題．
（2）分別用α表示∠CDB，∠CDA，利用角的和差定義求出∠ADB即可．
（4）分四種情形：如圖3﹣1中，當DA＝DB時，如圖3﹣2中，當BA＝BD時，如圖3﹣3中，當DA＝DB時，如圖3﹣4中，當DA＝DB時，分別求出∠DCB，即可解決問題．
【解析】（1）如圖1中，

∵B，D關(guān)于CE對稱，
∴∠BCE＝∠DCE＝15°，
∴∠BCD＝30°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD=12（180°﹣30°）＝75°，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝CB＝CD，
∴∠ACD＝60°+30°＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠ADB＝∠CDB﹣∠ADC＝75°﹣45°＝30°，
故答案為：45°，30°．

（2）如圖2中，結(jié)論：∠ADB的度數(shù)不變，∠ADB＝30°．

理由：∵CA＝CD，∠ACD＝60°+2α，
∴∠CDA＝∠CAD=12（180°﹣60°﹣2α）＝60°﹣α，
∵CB＝CD，∠BCD＝2α，
∴∠CDB＝∠CBD=12（180°﹣2α）＝90°﹣α，
∴∠ADB＝∠CDB﹣∠CDA＝90°﹣α﹣（60°﹣α）＝30°．

（3）如圖3﹣1中，當DA＝DB時，

∵CA＝CB，DA＝DB，
∴AC，BC關(guān)于CD對稱，
∴∠BCD＝∠ACD＝30°，
∴α=12∠BCD＝15°．
如圖3﹣2中，當BA＝BD時，△BCD是等邊三角形，

∴∠DCB＝60°，
∴α=12∠BCD＝30°．
如圖3﹣3中，當DA＝DB時，∠DCB＝∠DCA＝150°，

∴α=12∠BCD＝75°．
如圖3﹣4中，當DA＝DB時，∠DCB＝120°，

∴α=12∠BCD＝60°，
綜上所述，滿足條件的α的值為15°或30°或75°或60°．
30．（2021秋?增城區(qū)期中）等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，點O是AB的中點

（1）如圖1，求證：CO＝BO；
（2）如圖2，點M在邊AC上，點N在邊BC延長線上，MN﹣AM＝CN，求∠MON的度數(shù)；
（3）如圖3，AD∥BC，OD∥AC，AD與OD交于點D，Q是OB的中點，連接CQ、DQ，試判斷線段CQ與DQ的關(guān)系，并給出證明．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一證明；
（2）在線段BC上取點H，使CH＝AM，連接OH，分別證明△AOM≌△COH和△MON≌△HON，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)計算即可；
（3）作DG⊥AO于G，證明△COQ≌△QGD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，垂直的定義證明結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，點O是AB的中點，
∴CO=12AB＝BO；
（2）解：如圖2，在線段BC上取點H，使CH＝AM，連接OH，
∵∠ACB＝90°，AO＝BO，
∴∠A＝∠B＝45°，∠ACO＝∠BCO＝45°，
∴∠A＝∠BCO，
在△AOM和△COH中，
OA=OC∠A=∠OCHAM=CH，
∴△AOM≌△COH（SAS），
∴OM＝OH，∠COH＝∠AOM，
∵∠AOM+∠MOC＝90°，
∴∠COH+∠MOC＝90°，即∠MOH＝90°，
∵MN﹣AM＝CN，NH﹣CH＝CN，
∴NM＝NH，
在△MON和△HON中，
NM=NHOM=OHON=ON，
∴△MON≌△HON（SSS），
∴∠MON＝∠HON，
∴∠MON=12∠MOH＝45°；
（3）解：CQ＝DQ，CQ⊥DQ，
證明如下：如圖3，作DG⊥AO于G，
∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠B＝45°，
∵OD∥AC，
∴∠AOD＝∠OAC＝45°，
∴DA＝DO，
∵DG⊥AO，
∴DG＝AG＝AO=12OA，
∵Q是OB的中點，
∴OQ＝BQ=12OB，
∴DG＝OQ，GQ＝OC，
在△COQ和△QGD中，
OQ=GD∠QOC=∠DGQCO=QG，
∴△COQ≌△QGD（SAS），
∴QC＝QD，∠GQD＝∠OCQ，
∵∠OCQ+∠CQO＝90°，
∴∠GQD+∠CQO＝90°，即∠CQD＝90°，
∴QC⊥QD，
∴QC＝QD，QC⊥QD．

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