專題19.13  一次函數(shù)的運(yùn)用（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 能從實(shí)際問題的圖象中獲取所需信息；2. 能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的問題并準(zhǔn)確的列出一次函數(shù)的解析式；3. 能利用一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)解決簡單的實(shí)際問題；4. 提高解決實(shí)際問題的能力．認(rèn)識數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的意義，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力．【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、數(shù)學(xué)建模的一般思路    數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，從而得到解決問題的最佳方案、最佳策略.在建模的過程中，為了既合乎實(shí)際問題又能求解，這就要求在諸多因素中抓住主要因素進(jìn)行抽象化簡，而這一過程恰是我們的分析、抽象、綜合、表達(dá)能力的體現(xiàn).函數(shù)建模最困難的環(huán)節(jié)是將實(shí)際情景通過數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為什么樣的函數(shù)模型.要點(diǎn)二、正確認(rèn)識實(shí)際問題的應(yīng)用在實(shí)際生活問題中，如何應(yīng)用函數(shù)知識解題，關(guān)鍵是建立函數(shù)模型，即列出符合題意的函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)綜合方程（組）、不等式（組）及圖象求解.要點(diǎn)詮釋：要注意結(jié)合實(shí)際，確定自變量的取值范圍，這是應(yīng)用中的難點(diǎn)，也是中考的熱門考點(diǎn).要點(diǎn)三、選擇最簡方案問題    分析問題的實(shí)際背景中包含的變量及對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合一次函數(shù)的解析式及圖象，通過比較函數(shù)值的大小等，尋求解決問題的最佳方案，體會函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型在分析解決實(shí)際問題中的重要作用.【典型例題】類型一、分配方案問題 1、（2020·深圳市福田區(qū)梅山中學(xué)八年級期中）某通訊公司推出①②兩種收費(fèi)方式供用戶選擇，其中一種有月租費(fèi)，另一種沒有月租費(fèi)，且兩種收費(fèi)方式的通話時間（分鐘）與收費(fèi)（元）的關(guān)系如圖所示：（1）分別求出①②兩種方案的收費(fèi)（元）與通話時間（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）當(dāng)值為多少時兩種方案收費(fèi)相等．（3）當(dāng)值為多少時，第②種方案比第一種方案每個月多元？【答案】（1）①y1＝0.1x+30；②y2＝0.2x；（2）當(dāng)通話時間300分鐘時，兩種方案收費(fèi)相等．（3）當(dāng)值為600時，第②種方案比第①種方案每個月多．【分析】（1）根據(jù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）利用兩種收費(fèi)方式費(fèi)用相同構(gòu)造方程，求出x的值即可．（3）利用第②種方案比第①種方案每個月多元，構(gòu)造方程求出即可 解：（1）設(shè)y1＝k1x+30，y2＝k2x，由題意得：將（500，80），（500，100）分別代入：500k1+30＝80，∴k1＝0.1，500k2＝100，∴k2＝0.2，故所求的解析式為：①y1＝0.1x+30；②y2＝0.2x；（2）當(dāng)通訊時間相同時y1＝y2，得0.2x＝0.1x+30，解得x＝300，當(dāng)x＝300時，y＝60．當(dāng)通話時間300分鐘時，兩種方案收費(fèi)相等；（3）第②種方案比第①種方案每個月多元， 0.1x+30=0.2x-30，  ∴ x=600，當(dāng)值為600時，第②種方案比第①種方案每個月多元【點(diǎn)撥】本題考查的是用一次函數(shù)解決實(shí)際問題，掌握待定系數(shù)方法求一次函數(shù)解析式，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三： 【變式】 （2021·全國九年級專題練習(xí)）某工廠每天生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共600件供應(yīng)市場，每種產(chǎn)品每件的成本和售價如表所示，設(shè)每天售出A種產(chǎn)品件，每天共獲利元． AB成本（元）5035售價（元）7050（1）請求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果該工廠每天至少投入成本25005元，且售出的B種產(chǎn)品的件數(shù)不少于全天銷售總量的55%，那么共有哪幾種銷售方案？（3）在（2）的條件下，求出每天至少獲利多少元？【答案】（1）；（2）該工廠共有4種生產(chǎn)方案：①生產(chǎn)A種產(chǎn)品267件，B種產(chǎn)品333件；②生產(chǎn)A種產(chǎn)品268件，B種產(chǎn)品332件；③生產(chǎn)A種產(chǎn)品269件，B種產(chǎn)品331件；④生產(chǎn)A種產(chǎn)品270件，B種產(chǎn)品330件；（3）每天至少獲利10335元【分析】（1）每天生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，由于每天生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共600件，故每天生產(chǎn)B產(chǎn)品（600?x）件，根據(jù)（售價?成本）乘以件數(shù)，把A，B產(chǎn)品的利潤相加即得總利潤；
（2）先根據(jù)題意列式，求出x的取值范圍，然后討論方案即可；（3）將x代入一次函數(shù)解析式，求解即可． 解：（1）由題意，每天生產(chǎn)A種產(chǎn)品件，則每天生產(chǎn)B種產(chǎn)品件，，∴關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是；（2）根據(jù)題意得：，解得：267≤≤270，∵為整數(shù)，∴可取267，268，269，270                                        該工廠共有4種生產(chǎn)方案：①生產(chǎn)A種產(chǎn)品267件，B種產(chǎn)品333件；②生產(chǎn)A種產(chǎn)品268件，B種產(chǎn)品332件；③生產(chǎn)A種產(chǎn)品269件，B種產(chǎn)品331件；④生產(chǎn)A種產(chǎn)品270件，B種產(chǎn)品330件；（3）∵每天獲利（267≤≤270 ），是關(guān)于的一次函數(shù)，且隨的增大而增大.                ∴當(dāng)=267時，有最小值，=5×267+9000=10335元， 答：每天至少獲利10335元．【點(diǎn)撥】本題綜合考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出解析式是解題關(guān)鍵．類型二、最大利潤問題2、（2021·廣東佛山市·八年級期末）如圖，反映了某公司產(chǎn)品的收入與銷售量的關(guān)系，反映了該公司產(chǎn)品的成本與銷售量的關(guān)系，根據(jù)圖象解決下列問題：（1）當(dāng)銷售量為時，收入=______元，成本_______元，盈利為_______元；當(dāng)銷售量=______時，收入=成本；（2）求出盈利與銷售量的函數(shù)表達(dá)式．【答案】（1）4000，6000，-2000，4；（2）=（x≥0）【分析】（1）根據(jù)圖象，找出當(dāng)x=2時，對應(yīng)兩個圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可求出收入和成本，然后根據(jù)利潤=收入－成本，即可求出盈利，最后找出兩個圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求出銷售量；（2）分別求出兩個函數(shù)圖象的解析式，然后根據(jù)利潤=收入－成本即可求出結(jié)論． 解：（1）根據(jù)圖象，當(dāng)x=2時，對應(yīng)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4000，即收入=4000元，當(dāng)x=2時，對應(yīng)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6000，即成本=6000元∴盈利為4000－6000=-2000元，由圖象可知：兩個圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，8000）∴當(dāng)銷售量=4時，收入=成本，故答案為：4000，6000，-2000，4；（2）由圖象可知：過（0，0）和（4，8000），過（0，4000）和（4，8000）設(shè)的解析式為將（4，8000）代入，得解得：∴的解析式為；設(shè)的解析式為將（0，4000）和（4，8000）分別代入，得解得：∴的解析式為∴盈利=即=（x≥0） ．【點(diǎn)撥】此題考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和根據(jù)圖象解決實(shí)際問題是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2021·全國八年級）在近期“抗疫”期間，某藥店銷售A、B兩種型號的口罩，已知銷售80只A型和45只B型的利潤為21元，銷售40只A型和60只B型的利潤為18元．（1）求每只A型口罩和B型口罩的銷售利潤；（2）該藥店計(jì)劃一次購進(jìn)兩種型號的口罩共2000只，其中B型口罩的進(jìn)貨量不少于A型口罩的進(jìn)貨量且不超過它的3倍，設(shè)購進(jìn)A型口罩x只，這2000只口罩的銷售總利潤為y元．①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；②該藥店購進(jìn)A型、B型口罩各多少只，才能使銷售總利潤最大？【答案】（1）每只A型口罩銷售利潤為0.15元，每只B型口罩銷售利潤為0.2元；（2）①y＝﹣0.05x+400（500≤x≤1000）；②藥店購進(jìn)A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使銷售總利潤最大．【分析】（1）根據(jù)題意列二元一次方程組，再運(yùn)用加減消元法解方程組即可；（2）①根據(jù)（1）中每只A型口罩銷售利潤為0.15元，每只B型口罩銷售利潤為0.2元，設(shè)購進(jìn)A型口罩x只，則購進(jìn)乙（2000﹣x）只，根據(jù)利潤=單利銷售量，列出x與y的一次函數(shù)關(guān)系式；②根據(jù)一次函數(shù)的增減性解題．【詳解】（1）設(shè)每只A型口罩銷售利潤為a元，每只B型口罩銷售利潤為b元，根據(jù)題意得：，①-②得把代入①中，得到，，答：每只A型口罩銷售利潤為0.15元，每只B型口罩銷售利潤為0.2元；（2）①根據(jù)題意得，y＝0.15x+0.2（2000﹣x），即y＝﹣0.05x+400；根據(jù)題意得，，解得500≤x≤1000，∴y＝﹣0.05x+400（500≤x≤1000）；②∵y＝﹣0.05x+400，k＝﹣0.05＜0；∴y隨x的增大而減小，∵x為正整數(shù)，∴當(dāng)x＝500時，y取最大值，則2000﹣x＝1500，即藥店購進(jìn)A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使銷售總利潤最大．【點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用、一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用、一次函數(shù)的增減性等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．類型三、行程問題3．（2020·上海松江區(qū)·八年級期末）小明同學(xué)騎自行車從家里出發(fā)依次去甲、乙兩個景點(diǎn)游玩，他離家的距離與所用的時間之間的函數(shù)圖像如圖所示：（1）甲景點(diǎn)與乙景點(diǎn)相距___________千米，乙景點(diǎn)與小明家距離是___________千米；（2）當(dāng)時，y與x的函數(shù)關(guān)系式是___________；（3）小明在游玩途中，停留所用時間為___________小時，在6小時內(nèi)共騎行___________千米．【答案】（1）6，12；（2）y=6x；（3）3，24【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像，直接得到答案即可；（2）根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)圖像，直接得到答案即可．解：（1）由圖像可知：當(dāng)3≤x≤4時，小明從甲景點(diǎn)到乙景點(diǎn)，所以甲景點(diǎn)與乙景點(diǎn)相距6千米，當(dāng)5≤x≤6時，小明從乙景點(diǎn)到家，所以乙景點(diǎn)與小明家距離是12千米，故答案是：6，12；（2）當(dāng)時，y是x的正比例函數(shù)，設(shè)y=kx，把A（1，6）代入y=kx，得6=k，所以y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=6x，故答案是：y=6x；（3）由圖像得，當(dāng)1≤x≤3時，小明在甲景點(diǎn)玩，當(dāng)4≤x≤5時，小明在乙景點(diǎn)玩，所以小明在游玩途中，停留所用時間為3小時；小明從家到甲景點(diǎn)6千米，小明從甲景點(diǎn)到乙景點(diǎn)6千米，乙景點(diǎn)與小明家距離是12千米，所以在6小時內(nèi)共騎行24千米，故答案是：3，24【點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)圖像，理解函數(shù)圖象上點(diǎn)得坐標(biāo)的實(shí)際意義，是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2020·廣東深圳市·龍嶺初級中學(xué)八年級月考）學(xué)校與圖書館在同一條筆直道路上，甲從學(xué)校去圖書館，乙從圖書館回學(xué)校，甲、乙兩人都勻速步行且同時出發(fā)，乙先到達(dá)目的地．兩人之間的距離y(米)與時間t(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）根據(jù)圖象信息，當(dāng)t＝_________分鐘時甲乙兩人相遇，甲的速度為__________米/分鐘；（2）求出線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的范圍．【答案】（1）24，40；（2）y＝40t（40≤t≤60）【分析】（1）根據(jù)圖象信息，當(dāng)t=24分鐘時,兩人之間的距離為0，甲乙兩人相遇；經(jīng)過60分鐘時，兩人再次相距2400米，因?yàn)橐蚁鹊竭_(dá)目的地，故甲60分鐘行駛2400米，根據(jù)速度=路程÷時間，可得甲的速度；（2）由t=24分鐘時甲乙兩人相遇，可得甲、乙兩人的速度和為2400÷24=100米/分鐘，減去甲的速度得出乙的速度，再求出乙從圖書館回學(xué)校的時間即A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用A點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘以甲的速度得出A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求出線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式．解：（1）根據(jù)圖象信息，當(dāng)t=24分鐘時甲乙兩人相遇，甲的速度為2400÷60=40米/分鐘．（2）∵甲從學(xué)校去圖書館，乙從圖書館回學(xué)校，甲、乙兩人都勻速步行且同時出發(fā)，t＝24分鐘時甲乙兩人相遇，∴甲、乙兩人的速度和為2400÷24＝100米/分鐘，∵甲的速度為40米/分鐘∴乙的速度為100﹣40＝60米/分鐘．∴乙從圖書館回學(xué)校的時間為2400÷60＝40分鐘，此時甲乙的距離為100×（40-24）＝1600，即甲、乙此時相距1600米∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（40，1600）．設(shè)線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式為y＝kt+b，∵A（40，1600），B（60，2400），∴ ，解得 ．∴線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式為y＝40t（40≤t≤60）．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，路程、速度、時間的關(guān)系，用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，從圖象中獲取有關(guān)信息是解題的關(guān)鍵．類型四、其他問題4.（2021·甘肅酒泉市·八年級期末）如圖，l1表示某商場一天的手提電腦銷售額與銷售量的關(guān)系，l2表示該商場一天的銷售成本與手提電腦銷售量的關(guān)系．（1）當(dāng)銷售量x=2時， 銷售額 =                  萬元，銷售成本 =                    萬元，利潤（收入－成本）=                       萬元．（2）一天銷售              臺時，銷售額等于銷售成本．（3）當(dāng)銷售量                時，該商場贏利（收入大于成本），當(dāng)銷售量                時，該商場虧損（收入小于成本）．（4）l1對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是                    ．（5）寫出利潤與銷售額之間的函數(shù)表達(dá)式．【答案】（1）2，3，-1；（2）4；（3）大于4 ，小于4；（4）y=x；（5）．【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，再把x=2代入求解即可；
（2）利用圖象，找兩直線的交點(diǎn)，可知一天銷售4臺時，銷售額等于銷售成本；
（3）由圖象可知，當(dāng)銷售量大于4時，該商場贏利（收入大于成本），當(dāng)銷售量小于4時，該商場虧損（收入小于成本）；
（4）由（1）可以得解；
（5）可設(shè)銷售x臺時的利潤為y萬元，由圖象可知，當(dāng)x=2時，y=2-3=-1當(dāng)x=4時，y=4-4=0，所以可列出方程組，解之即可求出答案．【詳解】解：（1）如圖，∵過點(diǎn)（0，0），（4，4），∴設(shè)l1的解析式為y=kx，∴k=1，∴直線為：y=x，∵過點(diǎn)（0，2），（4，4），∴直線為：y=x+2，把x=2代入：y=2，把x=2代入：y=2+2=3，∴銷售額 =2，銷售成本 =3，利潤=-1故答案為：2；3；-1
（2）如圖可得x=4，故答案為：4；
（3）如圖可得，x4 時，該商場贏利，當(dāng)x4 時，該商場虧損．故答案為：大于4，小于4
（4）由（1）可知：y=x
（5）設(shè)銷售x臺時的利潤為y萬元，則：
當(dāng)x=2時，y=2-3=-1當(dāng)x=4時，y=4-4=0
所以，解得 ，∴【點(diǎn)撥】本題需仔細(xì)分析圖象，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)來解決問題．舉一反三：【變式】（2020·吉林長春市·長春外國語學(xué)校九年級月考）11月19日長春市經(jīng)歷了暴雪凍雨天氣，高壓線路結(jié)冰影響了居民用電，現(xiàn)由甲、乙兩個工程隊(duì)同時對一段高壓線路進(jìn)行除冰工作．一段時間后，甲隊(duì)被調(diào)往別處，乙隊(duì)又用了2小時完成了剩余的除冰任務(wù)．已知乙隊(duì)每小時除冰線路的長度保持不變，甲隊(duì)每小時除冰線路30米．甲、乙兩隊(duì)在此線路除冰的總長度y（米）與除冰時間x（時）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）甲隊(duì)調(diào)離時，甲乙兩隊(duì)已除冰線路的總長度為_______米．（2）求此次除冰線路的總長度a是多少米？（3）求甲隊(duì)調(diào)離后y與x之間的函數(shù)表達(dá)式．【答案】（1）150；（2）190；（3）y=20x+90．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像，結(jié)合題意直接寫出答案．（2）先算乙隊(duì)每小時除冰長度，然后用150米再加乙隊(duì)2小時完成的長度，計(jì)算得出除冰總長度．（3）根據(jù)題意y、x之間存在一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)函數(shù)圖像A、B兩點(diǎn)的值，列出二元一次方程組，計(jì)算得出k、b的值，寫出解析式．解：（1）從函數(shù)圖像看，3小時后圖像發(fā)生變化，也就是甲隊(duì)調(diào)往別處，A點(diǎn)對應(yīng)縱坐標(biāo)數(shù)值就是甲乙兩隊(duì)已除冰線路總長度，即150米．（2）乙隊(duì)每小時除冰的長度：(米)，此次除冰線路的總長度：(米)．（3）∵甲隊(duì)調(diào)離后y與x之間存在一次函數(shù)關(guān)系，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)值代入，可列二元一次方程組：解得：∴甲隊(duì)調(diào)離后y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為：．【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，從函數(shù)圖像中獲取信息并能夠分析運(yùn)用是解題關(guān)鍵．

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專題19.1 變量與函數(shù)（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（人教版）學(xué)案：

這是一份專題19.1 變量與函數(shù)（知識講解）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)講練（人教版）學(xué)案，共7頁。學(xué)案主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，要點(diǎn)梳理，典型例題，總結(jié)升華，思路點(diǎn)撥等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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