2020-2021學(xué)年11.3.2 多邊形的內(nèi)角和課時(shí)作業(yè)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第11章三角形11.3多邊形及其內(nèi)角和【簡(jiǎn)答題專練】學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、解答題1．用圖中添輔助線的方法能推導(dǎo)出五邊形的內(nèi)角和的嗎？【答案】這兩種添輔助線的方法都能推導(dǎo)出五邊形的內(nèi)角和，理由見解析.【解析】【分析】通過分析可以發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)五邊形的內(nèi)角和為五個(gè)三角形內(nèi)角和之和再減去中間的一個(gè)圓周角；第二個(gè)五邊形的內(nèi)角和為四個(gè)三角形內(nèi)角和之和再減去中間的一個(gè)平角；【詳解】解：這兩種添輔助線的方法都能推導(dǎo)出五邊形的內(nèi)角和，理由如下：第一個(gè)五邊形的內(nèi)角和為五個(gè)三角形內(nèi)角和之和再減去中間的一個(gè)圓周角.即：5×180°-360°=540°第二個(gè)五邊形的內(nèi)角和為4個(gè)三角形內(nèi)角和再減去中間的一個(gè)平角.即：4×180°-180°=540°所以這兩種添輔助線的方法都能推導(dǎo)出五邊形的內(nèi)角和.【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和的證明，正確的分析、找到證明思路是解答本題的關(guān)鍵.2．如圖，已知正五邊形ABCDE，M是CD的中點(diǎn)，連接AC，BE，AM.求證：(1)AC＝BE；(2)AM⊥CD.【答案】見解析【解析】【分析】（1）先證明△ABC≌△EAB：AB=BC,AE=BA,∠ABC=∠EAB,所以全等,所以AC=BE；（2）連接AD,易證AC=AD（三角形ABC全等于三角形AED）,所以三角形ACD為等腰三角形,又M為CD中點(diǎn),所以AM垂直于CD【詳解】解：(1)由五邊形ABCDE是正五邊形，得AB＝AE，∠ABC＝∠BAE，AB＝BC，∴△ABC≌△EAB，∴AC＝BE.(2)連接AD，由五邊形ABCDE是正五邊形，得AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，∴△ABC≌△AED，∴AC＝AD.又∵M是CD的中點(diǎn)，∴AM⊥CD.【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：正多邊形. 解題關(guān)鍵點(diǎn)：證三角形全等.3．已知任意三角形的內(nèi)角和為180°，試?yán)枚噙呅沃羞^某一頂點(diǎn)的對(duì)角線的條數(shù)，探求多邊形內(nèi)角和公式.（1）如圖1所示，一個(gè)四邊形可以分成_______個(gè)三角形，于是四邊形的內(nèi)角和為_______；（2）如圖2所示，一個(gè)五邊形可以分成_______個(gè)三角形，于是五邊形的內(nèi)角和為_______；（3）按此規(guī)律，n（）邊形可以分成多少個(gè)三角形？n邊形的內(nèi)角和是多少度？【答案】(1)2,360o;(2)3,540o;(3) 邊形可以分成個(gè)三角形，n邊形的內(nèi)角和是【解析】【分析】（1）根據(jù)四邊形可分為兩個(gè)三角形可得出結(jié)論；（3）根據(jù)五邊形可分為三個(gè)三角形可得出結(jié)；（2）觀察每組因數(shù)之間的關(guān)系，在觀察相應(yīng)結(jié)果有什么關(guān)系，就可以得出結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形可分為兩個(gè)三角形，∴四邊形的內(nèi)角和=180°×2=360°．故答案為2，360°；（2））∵五邊形可分為三個(gè)三角形，∴四邊形的內(nèi)角和=180°×3=540°．故答案為3，540°；（3）由（1）、（2）可知，過n邊形一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線將n邊形可以分成（n-2）個(gè)三角形，于是n邊形的內(nèi)角和為（n-2）?180°．故答案為n-2，（n-2）?180°．【點(diǎn)睛】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和，熟知觀察出過n邊形一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線將n邊形可以分成的三角形的個(gè)數(shù)比邊數(shù)少2是解題的關(guān)鍵．4．某同學(xué)在求多邊形的內(nèi)角和時(shí)，多算了一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，求得內(nèi)角和為1 560°，問這個(gè)內(nèi)角是多少度？這個(gè)多邊形的邊數(shù)是多少？【答案】這個(gè)內(nèi)角是120°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是10.【解析】試題分析：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，多算的這個(gè)內(nèi)角為α，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得(n-2)·180°+α=1 560°，然后根據(jù)多邊形每個(gè)內(nèi)角的取值范圍0°＜α＜180°列不等式，即可求出多邊形的邊數(shù)，進(jìn)而求出這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，多算的這個(gè)內(nèi)角為α，則有： (n-2)·180°+α=1 560°.∴α=1 560°-(n-2)·180°. 顯然：0°＜α＜180°，∴0°＜1 560°-(n-2)·180°＜180°.解得9<n<10. ∴n=10. ∴α=1 560°-(10-2)·180°=120°. 答：這個(gè)內(nèi)角是120°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是10.5．如圖，圖中有多少個(gè)不同的四邊形?此圖看起來(lái)有些像什么?【答案】27，這幅圖看起來(lái)像戴著頭巾的小孩（答案合理即可）【解析】試題解析：正方形5個(gè)，正方形5個(gè)，　　正方形1個(gè)，長(zhǎng)方形8個(gè)，　　長(zhǎng)方形2個(gè)，　　長(zhǎng)方形4個(gè)，　　長(zhǎng)方形2個(gè).總計(jì)27個(gè)四邊形.這幅圖看起來(lái)像戴著頭巾的小孩.故答案為：27，這幅圖看起來(lái)像戴著頭巾的小孩（答案合理即可）.6．已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的和為1080°，且這個(gè)多邊形的各個(gè)內(nèi)角都相等.求這個(gè)多邊形的每個(gè)外角度數(shù).【答案】60°.【解析】【分析】由多邊形的外角和為360°，得到多邊形的內(nèi)角和，然后計(jì)算得到每個(gè)外角的度數(shù).【詳解】解：∵多邊形的外角和為360°，∴多邊形的內(nèi)角和為：，∴，解得：，∴每個(gè)外角度數(shù)：.【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和以及外角和，正確理解任何多邊形的外角和都是360°是關(guān)鍵．7．已知在四邊形ABCD中，，，．
______用含x、y的代數(shù)式直接填空；
如圖1，若平分，BF平分，請(qǐng)寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由；
如圖2，為四邊形ABCD的、相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角．
若，，試求x、y．
小明在作圖時(shí)，發(fā)現(xiàn)不一定存在，請(qǐng)直接指出x、y滿足什么條件時(shí)，不存在．
【答案】(1)；（2），理由見解析；(3) ①x=40°，y=80°；②∠DFB不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用四邊形的內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算即可；（2）由三角形外角的性質(zhì)及角的平分線性質(zhì)得出BF和DE的位置關(guān)系，進(jìn)而作答；（3）①利用角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理，得出，進(jìn)而得出x，y的值；②當(dāng)x=y時(shí)，DC∥BF，即∠DFB=0，進(jìn)而得出答案.【詳解】，，，．故答案為．．理由：如圖1，平分，BF平分，，，又，，又，，；由得：，、DF分別平分、，，如圖2，連接DB，則，，，解方程組：，可得：；當(dāng)時(shí)，，、相鄰的外角平分線所在直線互相平行，此時(shí)，不存在．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確應(yīng)用角平分線的定義是解題關(guān)鍵.8．一個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角比每一個(gè)外角的5倍還小60°，求這個(gè)正多邊形的邊數(shù)及內(nèi)角和．【答案】這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是9，內(nèi)角和是1260°．【解析】【分析】設(shè)這個(gè)正多邊的外角為x，則內(nèi)角為5x﹣60，根據(jù)內(nèi)角和外角互補(bǔ)可得x+5x﹣60＝180，解可得x的值，再利用外角和360°÷外角度數(shù)可得邊數(shù)，根據(jù)內(nèi)角和公式：（n﹣2）×180°計(jì)算內(nèi)角和即可．【詳解】設(shè)這個(gè)正多邊的外角為x，則內(nèi)角為5x﹣60°，由題意得：x+5x﹣60＝180，解得：x＝40，360°÷40°＝9．（9﹣2）×180°＝1260°答：這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是9，內(nèi)角和是1260°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和外角，關(guān)鍵是計(jì)算出外角的度數(shù)，進(jìn)而得到邊數(shù)．9．已知正n邊形的周長(zhǎng)為60，邊長(zhǎng)為a（1）當(dāng)n=3時(shí)，請(qǐng)直接寫出a的值；（2）把正n邊形的周長(zhǎng)與邊數(shù)同時(shí)增加7后，假設(shè)得到的仍是正多邊形，它的邊數(shù)為n+7，周長(zhǎng)為67，邊長(zhǎng)為b．有人分別取n等于3，20，120，再求出相應(yīng)的a與b，然后斷言：“無(wú)論n取任何大于2的正整數(shù)，a與b一定不相等．”你認(rèn)為這種說法對(duì)嗎？若不對(duì)，請(qǐng)求出不符合這一說法的n的值．【答案】（1）20（2）不正確【解析】試題分析：分析：（1）根據(jù)正多邊形的每條邊相等，可知邊長(zhǎng)=周長(zhǎng)÷邊數(shù)；（2）分別表示出a和b的代數(shù)式，讓其相等，看是否有相應(yīng)的值.試題解析：（1）a=60÷3=20；（2）此說法不正確．理由如下：盡管當(dāng)n=3、20、120時(shí)，a＞b或a＜b，但可令a=b，得，∴60n+420=67n，解得n=60，經(jīng)檢驗(yàn)n=60是方程的根．∴當(dāng)n=60時(shí)，a=b，即不符合這一說法的n的值為60．點(diǎn)睛：本題考查分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是以邊長(zhǎng)作為等量關(guān)系列方程求解，也考查了正多邊形的知識(shí)點(diǎn).10．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線．(1)∠1與∠2有什么關(guān)系，為什么？(2)BE與DF有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）∠1+∠2=90°；理由見解析；（2）（2）BE∥DF；理由見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得出；（2）由互余可得∠1=∠DFC，根據(jù)平行線的判定，即可得出．試題解析：（1）∠1+∠2=90°；∵BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線，∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°；（2）BE∥DF；在△FCD中，∵∠C=90°，∴∠DFC+∠2=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠DFC，∴BE∥DF．考點(diǎn)：平行線的判定與性質(zhì)．11．在四邊形ABCD中，，如圖1，若，求的度數(shù)；如圖2，若的平分線BE交DC于點(diǎn)E，且，求的度數(shù)．【答案】(1)∠C=70°； (2)∠C=60°.【解析】試題分析：（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°進(jìn)行求解即可；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ABE和∠DEB的度數(shù)，再由角平分線求出∠EBC的度數(shù)，最后在△EBC中利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠C即可．試題解析：（1）∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠B＝∠C，∴∠C＝＝70°.（2）∵BE∥AD，∴∠BEC＝∠D＝80°，∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°.又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°.∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝60°.12．如圖所示，六邊形中，，且，，求的值．【答案】14【解析】【分析】如圖（見解析），先根據(jù)六邊形的內(nèi)角均相等、外角和定理得出，其各外角相等且為，從而可得、、、均為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖，將六邊形的三邊，，雙向延長(zhǎng)，得∵六邊形的內(nèi)角和是∴∴該六邊形各外角均為∴、、、均為等邊三角形∴．【點(diǎn)睛】本題考查了六邊形的內(nèi)角和與外角和、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造四個(gè)等邊三角形是解題關(guān)鍵．13．如圖所示，在四邊形中，的角平分線及外角的平分線所在的直線相交于點(diǎn)，若，．（1）如圖(a)所示，，試用，表示，直接寫出結(jié)論．（2）如圖(b)所示，，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出，并試用，表示．（3）一定存在嗎？若有，寫出的值；若不一定，直接寫出，滿足什么條件時(shí)，不存在．【答案】（1）；（2）圖見解析，，證明見解析；（3）時(shí)，不存在，證明見解析．【解析】【分析】（1）先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出，再根據(jù)角平分線的定義、鄰補(bǔ)角的定義得出，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得；（2）先根據(jù)角平分線的定義畫出圖形，再參照題（1）：由四邊形的內(nèi)角和求出，再根據(jù)角平分線的定義、對(duì)頂角的性質(zhì)得出，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得；（3）由題（1）和（2）可知，當(dāng)和時(shí)，存在的值，因此，考慮當(dāng)時(shí)，是否存在．證明如下：先根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得出，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得出，從而得出，然后根據(jù)角平分線的定義可得出，最后根據(jù)平行線的判定得出，即可得證．【詳解】（1），求解過程如下：在四邊形中，平分，CF平分；（2）由題意，畫的角平分線及外角的平分線所在的直線相交于點(diǎn)，則所要畫的如下圖所示．求解過程如下：∵，且，∴∵平分，平分∴∵是的一個(gè)外角∴∴；（3）當(dāng)時(shí)，不存在．證明過程如下：∵，且，∴∵平分，平分∴∴故當(dāng)時(shí)，不存在．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的判定等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），綜合題（1）和（2）的題設(shè)與結(jié)論，正確提出假設(shè)是解題關(guān)鍵．14．（1）已知，是平面上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)、，求的度數(shù)．（2）探究與有什么關(guān)系？(直接寫出結(jié)論)（3）通過上面這兩道題，你能說出如果一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角是什么關(guān)系嗎？【答案】（1）115°或65°；（2）或；（3）相等或互補(bǔ)．【解析】【分析】（1）如圖（見解析），分點(diǎn)P在的內(nèi)部和點(diǎn)P在的外部?jī)煞N情況；分別根據(jù)垂直的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和、三角形的內(nèi)角和定理即可得；（2）由題（1）的結(jié)論和即可得出答案；（3）由（2）的結(jié)論、角互補(bǔ)的定義即可得出答案．【詳解】（1）由題意，分以下兩種情況：①如圖，點(diǎn)在的內(nèi)部∵，∴在四邊形中，∴②如圖，點(diǎn)在的外部∵，∴又∴綜上，的度數(shù)為或；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，綜上，或；（3）由（2）知，如果一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和、對(duì)頂角相等、角互補(bǔ)的定義等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．15．如圖，在五邊形ABCDE中，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度數(shù)．【答案】65°【解析】∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=（5-2）×180°=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.∵AP平分∠EAB，∴∠PAB=12∠EAB.同理可得，∠ABP=∠ABC.∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-∠EAB-∠ABC=180°-（∠EAB+∠ABC）=180°-×230°=65°.

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