定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成得封閉圖形叫做多邊形。
多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……如果一個(gè)多邊形由n條線段組成，那么這個(gè)多邊形就叫做n邊形；三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形。
多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。
定義：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形，常見的正多邊形有正三角形、正四邊形（正方形）、正五邊形、正六邊形等，如圖所示：



例1.下列圖形中，不是多邊形的是（ ）
A B C D
【答案】B
解析：A、該圖形是由12條線段首尾順次連結(jié)而成的封閉圖形，所以它是多邊形．故本選項(xiàng)不符合題意；
B、該圖形是由線段、曲線首尾順次連結(jié)而成的封閉圖形，所以它不是多邊形．故本選項(xiàng)符合題意；
C、該圖形是由10條線段首尾順次連結(jié)而成的封閉圖形，所以它是多邊形．故本選項(xiàng)不符合題意；
D、該圖形是由5條線段首尾順次連結(jié)而成的封閉圖形，所以它是多邊形．故本選項(xiàng)不符合題意；
故選B．
變式1.下圖中的各圖形是不是多邊形？如果是，說出來是幾邊形。


① ② ③
【答案】
解析：圖①不是多邊形；
圖②是多邊形，是四邊形；
圖③不是多邊形。
點(diǎn)評(píng) 組成多邊形的線必須是線段，圖①跟圖③含有曲線，所以不是多邊形。
知識(shí)點(diǎn)二：多邊形的對(duì)角線
定義：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。
例1.過十二邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可作幾條對(duì)角線？這些對(duì)角線可把十二邊形分成多少個(gè)三角形？
解析：在一個(gè)n邊形中，從一個(gè)頂點(diǎn)可引（n-3）條對(duì)角線，這（n-3）條對(duì)角線把這個(gè)多邊形分成（n-2）個(gè)三角形。
變式1.過十五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可作多少條對(duì)角線？這些對(duì)角線可以把十五邊形分成多少個(gè)三角形？
解析：根據(jù)圖形是十五邊形，所以n=15，從一個(gè)頂點(diǎn)可作（15-3）=12條對(duì)角線，這12條對(duì)角線把這個(gè)多邊形分成（15-2）=13個(gè)三角形。
點(diǎn)評(píng) （1）多邊形的對(duì)角線是一條線段；
（2）從n邊形的頂點(diǎn)可畫n（n-3）條對(duì)角線，但由于每個(gè)頂點(diǎn)所畫的對(duì)角線都重復(fù)一次，所以n邊形共有n（n-3）/2條對(duì)角線；
每個(gè)頂點(diǎn)的這（n-3）條對(duì)角線把這個(gè)多邊形分成（n-2）個(gè)三角形。
過一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引 5 條對(duì)角線，這個(gè)多邊形是 ( )
A. 五邊形 B. 七邊形 C. 八邊形 D. 六邊形
【答案】C
解析：根據(jù)多邊形可從一個(gè)頂點(diǎn)作（n-3）條對(duì)角線可知這個(gè)多邊形是八邊形。
知識(shí)點(diǎn)三：多邊形的內(nèi)角和公式
n邊形的內(nèi)角和：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°
多邊形內(nèi)角和的證明方法：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)連對(duì)角線，可以得到（n-3）條對(duì)角線，并且將n邊形分成（n-2）個(gè)三角形，這（n-2)個(gè)三角形的內(nèi)角和恰好是n邊形的內(nèi)角和，等于（n-2）×180°
正n邊形的各個(gè)內(nèi)角都相等，其度數(shù)為180(n-2)/n
提醒
多邊形的內(nèi)角和隨著邊數(shù)的增加而增加，而且每增一邊，內(nèi)角和增加180°
正n邊形的內(nèi)角和等于每個(gè)角的度數(shù)×邊數(shù)。
已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是900°，則這個(gè)多邊形是 （ ）
五邊形 B. 六邊形 C. 七邊形 D. 八邊形
【答案】C
解析：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，則（n-2）×180°=900°，解得：n=7，故選C。
點(diǎn)評(píng) 多邊形的內(nèi)角和公式有兩個(gè)方面的應(yīng)用：
①已知多邊形的邊數(shù)，計(jì)算多邊形的內(nèi)角和；
②已知多邊形的內(nèi)角和，求多邊形的邊數(shù)。
例2.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于1080°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
變式1.六邊形的內(nèi)角和等于_______度
【答案】720
變式2.四邊形的四個(gè)內(nèi)角可以都是銳角嗎？可以都是鈍角嗎？可以都是直角嗎？為什么？
【答案】四邊形的四個(gè)內(nèi)角不可以都是銳角，不可以都是鈍角，可以都是直角．
解析：因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和為360°，如果四個(gè)內(nèi)角都是銳角或都是鈍角，則內(nèi)角和小于360°或大于360°，與四邊形的內(nèi)角和為360°矛盾。所以四個(gè)內(nèi)角不可以都是銳角或都是鈍角，
若四個(gè)內(nèi)角都是直角，則四個(gè)內(nèi)角的和等于360°，與內(nèi)角和定理相符，所以四個(gè)內(nèi)角可以都是直角．
例3：內(nèi)角和等于外角和2倍的多邊形是（ ）
五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形
【答案】六
解析：設(shè)多邊形有n條邊，由題意得：
180（n-2）=360×2，
解得：n=6，
故答案為：六．
提醒
多邊形的外角和為360°
知識(shí)點(diǎn)四：多邊形的外角和公式
多邊形的外角和：多邊形的外角和等于360°
多邊形外角和的證明方法：多邊形的每個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角是鄰補(bǔ)角，所以n邊形的內(nèi)角和加外角和等于n×180°，外角和等于n×180°-（n-2）×180°=360°
提醒
多邊形的外角和恒等于360°，而與邊數(shù)的多少無關(guān)
已知一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角等于60°，則這個(gè)正多邊形是 （ ）
正五邊形 B.正六邊形 C. 正七邊形 D. 正八邊形
【答案】B
解析： 解法一：根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式表示內(nèi)角和，另外根據(jù)正多邊形的每個(gè)外角都相等也可以求出該多邊形的內(nèi)角和。從而列出方程求出方程的解即可。設(shè)邊數(shù)是n，根據(jù)題意，可得（n-2）×180=（180-60）×n，解得n=6，故選B。
解法二：根據(jù)多邊形得外角和為360°，正多邊形的每個(gè)外角都相等，用360÷60即可求出邊數(shù)，設(shè)邊數(shù)是n，因?yàn)槊總€(gè)外角都是60°，外角和為360°，所以邊數(shù)n=360÷60=6，故選B。
一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于45°,求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和.
【答案】1080°
解析：根據(jù)多邊形每個(gè)外交都等于45°，所以把360÷45=8，因此該多邊形為八邊形。
根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，可知八邊形的內(nèi)角和為1080°
變式1.一個(gè)多邊形,除一個(gè)內(nèi)角外,其余各內(nèi)角之和等于1000°,求這個(gè)內(nèi)角及多邊形的邊數(shù).
【答案】?jī)?nèi)角為80°，多邊形為8條邊。
解析：設(shè)（x-2）?180=1000，
解得x=7……（余數(shù)）
因而多邊形的邊數(shù)是8．
這個(gè)內(nèi)角是80°

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11.3.2 多邊形的內(nèi)角和

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