人教版九年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練專題27.43 《相似》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、了解比例的基本性質(zhì)，線段的比、成比例線段；
2、通過具體實例認(rèn)識圖形的相似，探索相似圖形的性質(zhì)，理解相似多邊形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質(zhì)和判定方法解決生活中的一些實際問題；
3、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小，在同一直角坐標(biāo)系中，感受位似變換后點的坐標(biāo)的變化；
4、結(jié)合相似圖形性質(zhì)和判定方法的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力，以及綜合運用知識的能力，運用學(xué)過的知識解決問題的能力.
【要點梳理】
【知識點一】成比例線段
1、定義：四條線段中，如果與的比等于與的比，即，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。
2、性質(zhì)：
（1）基本性質(zhì)：如果，那么；反之，若，那么
（2）等比性質(zhì)：如果，那么
（3）合比性質(zhì)：如果，那么，
【知識點二】平行線分線段成比例
1、定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例
2、推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例
【知識點三】相似多邊形
1、定義：各角分別相等，各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比
2、性質(zhì)：相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方
【知識點四】相似三角形
1、定義：三角分別相等，三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形
2、判定：
（1）兩角分別相等的兩個三角形相似
（2）兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似
（3）三邊成比例的兩個三角形相似
3、性質(zhì)：
（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例
（2）相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比
（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方
【知識點五】黃金分割
點把線段分成兩條線段和，如果，那么稱線段被點黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，與的比叫做黃金比，即

【知識點六】位似圖形
1、定義：一般的，如果兩個相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點,所在的直線都經(jīng)過同一點，且有=，那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點叫做位似中心
2、性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比
3、畫圖步驟：
（1）尺規(guī)作圖法：① 確定位似中心；②確定原圖形中的關(guān)鍵點關(guān)于中心的對應(yīng)點； = 3 \* GB3 ③描出
新圖形
（2）坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個多邊形每個頂點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘于同
一個數(shù)，所對應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點，它們的相似比為
【典型例題】
類型一、成比例線段和平行線分線段成比例
1．已知三條線段滿足，且．
（1）求的值；
（2）若線段是線段和的比例中項，求的值．
【答案】（1）a=6，b=4，c=7；（2）d=
【分析】（1）設(shè)，用含k的代數(shù)式分別表示出，再由a+b+c=17，建立關(guān)于k的方程，解方程求出k的值，從而可求出的值．
（2）由已知線段是線段和的比例中項，可得到d2=ab，代入計算求出d的值．
解：（1）解：設(shè)
∴a=3k，b=2k，c+1=4k即c=4k-1
∵a+b+c=17
∴3k+2k+4k-1=17
解之：k=2
∴a=6，b=4，c=7．
（2）解：∵線段是線段和的比例中項
∴d2=ab=6×4=24
解之：d=．
【點撥】本題考查了比例的性質(zhì)，比例線段，利用“設(shè)法”用表示出、、可以使計算更加簡便．
【變式1】已知，且，求的值
【答案】，，．
【分析】根據(jù)比的性質(zhì)，可得a，b，c用k表示，根據(jù)解方程，可得k的值，即可得答案．
解：∵，，
∴設(shè)，，，
∴，整理得：，
解得：，
∴，，．
【點撥】本題考查了比例的性質(zhì)，利用比例的性質(zhì)得出，，是解題關(guān)鍵．
【變式2】如圖所示，以長為2的定線段為邊作正方形，取的中點P，連接，在的延長線上取點F，使，以為邊作正方形，點M在上．
（1）求的長；
（2）點M是的黃金分割點嗎？為什么？
【答案】（1）=，=；（2）是，理由見分析
【分析】（1）要求的長，只需求得的長，又，，則，；
（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)得：，根據(jù)黃金分割點的概念，則點是的黃金分割點．
解：（1）在中，，，
由勾股定理知，
，
．
故的長為，的長為；
（2）點是的黃金分割點．
由于，
點是的黃金分割點．
【點撥】此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段AM，DM的長，然后求得線段AM和AD，DM和AM之間的比，根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷．
2．如圖，已知AD∥BE∥CF，它們以此交直線l1、l2于點A、B、C和D、E、F．若，AC=14，
（1）求AB的長．
（2）如果AD=7，CF=14，求BE的長．
【答案】(1) 4 10 (2) 9
（1）根據(jù)三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例可得，從而可得，再由AC=14即可求出AB的長；
（2）過點A作AG∥DF交BE于點H，交CF于點G，運用比例關(guān)系求出BH及HE的長，然后即可得出BE的長．
解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵AC=14，
∴AB=4，
（2）過點A作AG∥DF交BE于點H，交CF于點G，如圖所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD=7，
∴AD=HE=GF=7，
∵CF=14，
∴CG=14﹣7=7，
∵BE∥CF，
∴，
∴BH=2，
∴BE=2+7=9．
【點撥】本題考查平行線分線段成比例的知識，解題的關(guān)鍵是掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．
【變式1】如圖，已知ADBECF，它們依次交直線、于點A、B、C和點D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求的值；
（2）當(dāng)AD=5，CF=19時，求BE的長．
【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）根據(jù)ADBECF可得，由此計算即可；
（2）過點A作AGDF交BE于點H，交CF于點G，得出AD=HE=GF=5，由平行線分線段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出結(jié)果．
解：（1）∵ADBECF，
∴，
∵AB=6，BC=8，
∴，
故的值為；
（2）如圖，過點A作AGDF交BE于點H，交CF于點G，
∵AGDF，ADBECF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BECF，
∴，
∴，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
【點撥】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例；熟練掌握平行線分線段成比例，通過作輔助線運用平行線分線段成比例求出BH是解決問題的關(guān)鍵．
【變式2】如圖，在中，點是邊上的一點.
（1）請用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)，求作，使，交于；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，若，求的值.

【答案】（1）見分析；（2）.
【分析】(1)以點B為圓心，以任意長為半徑畫弧，交BA、BC于點F、G，以點D為圓心，以BF長為半徑畫弧，交DA于點M，再以M為圓心，以FG長為半徑畫弧，與前弧交于點H，過點D、H作射線，交AC于點E，由此即可得；
(2)由(1)可知DE//BC ，利用平行線分線段成比例定理進(jìn)行求解即可.
解：(1)如圖所示；

(2)∵，
∴.
∴.
【點撥】本題考查了作一個角等于已知角，平行線分線段成比例定理，熟練掌握利用尺規(guī)作一個角等于已知角的作圖方法是解題的關(guān)鍵.
類型二、相似三角形判定和性質(zhì)
3．如圖，在中，，是邊上的中線，垂直平分，分別交，于，，連接，．
求證：．
當(dāng)，時，求線段的長．
【答案】(1)見分析(2)
【分析】（1）如圖（見分析），先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)三角形全等的判定定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；
（2）如圖（見分析），延長至，使，連接，，先根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
（1）證明：∵垂直平分，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：如圖，延長至，使，連接，．
則垂直平分，
，
是邊上的中線，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點撥】本題考查了相似三角形的判定、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)等知識點，較難的是題（2），構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．
【變式1】如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點，
（1）求證：AC2=AB?AD；
（2）求證：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．

【答案】（1）見分析（2）見分析（3）
【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可證得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得AC2=AB?AD．
（2）由E為AB的中點，根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得CE=AB=AE，從而可證得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD．
（3）易證得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得的值，從而得到的值．
（1）證明：∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB．
∴
即AC2=AB?AD．
（2）證明：∵E為AB的中點
∴CE=AB=AE
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠DAC=∠CAB
∴∠DAC=∠ECA
∴CE∥AD．
（3）解：∵CE∥AD
∴△AFD∽△CFE
∴．
∵CE=AB
∴CE=×6=3．
∵AD=4
∴
∴．
【變式2】如圖，在△ABC中，
（1）求作：∠BAD=∠C，AD交BC于D．（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（2）在（1）條件下，求證：AB2=BD?BC．
【答案】（1）作圖見分析；（2）證明見分析；
【分析】（1）①以C為圓心，任意長為半徑畫弧，交CB、CA于E、F；②以A為圓心，CE長為半徑畫弧，交AB于G；③以G為圓心，EF長為半徑畫弧，兩弧交于H；④連接AH并延長交BC于D，則∠BAD=∠C；（2）證明△ABD∽△CBA，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．
解：（1）如圖，∠BAD為所作；
（2）∵∠BAD=∠C，∠B=∠B
∴△ABD∽△CBA，
∴AB：BC=BD：AB，
∴AB2=BD?BC．
【點撥】本題考查了基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．
4．如圖，在中，過點C作，E是AC的中點，連接DE并延長，交AB于點F，交CB的延長線于點G，連接AD，CF
求證：四邊形AFCD是平行四邊形．
若，，，求AB的長．

【答案】證明見分析；．
【分析】由E是AC的中點知，由知，據(jù)此根據(jù)“AAS”即可證≌，從而得，結(jié)合即可得證；
證∽得，據(jù)此求得，由及可得答案．
解：是AC的中點，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，即，
四邊形AFCD是平行四邊形；
，
∽，
，即，
解得：，
四邊形AFCD是平行四邊形，
，
．
【點撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.
【變式1】已知：如圖6，菱形ABCD，對角線AC、BD交于點O，BE⊥DC，垂足為E，交AC于點F.
求證：(1) △ABF∽△BED； (2) 求證：.

【答案】（1）證明見分析；（2）證明見分析.
解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∵BE⊥DC，
∴∠FEC=∠BED，
由互余的關(guān)系得：∠DBE=∠FCE，
∴△BED∽△CEF，
∴△ABF∽△BED；
（2）∵AB∥CD，
∴ ，
∴，
∵△ABF∽△BED，
∴，
∴.
【變式2】如圖，已知?ABCD．
（1）用直尺和圓規(guī)在BC邊上取一點E，使AB=AE，連結(jié)AE；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的前提下，求證：AE=CD；∠EAD=∠D；
（3）若點E為BC的中點，連接BD，交AE于F，直接寫出EF：FA的值．
【答案】（1）見分析（2）證明見分析（3）1:2
分析：(1)以點A為圓心，AB為半徑作圓，該圓與BC的交點即為所求的點E;(2)根據(jù)平行四邊形的對邊互相平行可得AD∥BC，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AEB=∠EAD,根據(jù)等邊對等角可得∠ABE=∠AEB,即可得證；(3)由四邊形ABCD是平行四邊形，可證得△BEF∽△AFD即可求得EF∶FA的值．
解：（1）如圖所示：
；
（2）證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠B=∠EAD，
∵∠B=∠D，
∴∠DAE=∠D；
（3）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△BEF∽△AFD，
∴=，
∵E為BC的中點，
∴BE=BC=AD，
∴EF：FA=1：2．
【點撥】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵．
5．如圖，在中，點、點分別在、上，點是上的一點，聯(lián)結(jié)并延長交于點，且．
(1)求證：；
(2)若，求證：．
【答案】(1)見分析(2)見分析
【分析】（1）證明和相似，即可證明．
（2）先證明∽，再證明∽，得到，即可證明．
（1）證明：，，
∽，
∴
．
（2）證明：，，
∽，
，
，
又∵，
，
，
，
∽，
，
，
．
【點撥】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出相應(yīng)的比例式，再經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃问顾玫谋壤椒稀皟蛇叧杀壤見A角相等”的形式．
【變式1】已知，平分交于，交于．
求證：∽；
連接，若，，，求的長度．
【答案】(1)見分析(2)11
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定定理即可證明；
（2）由（1）的結(jié)果和平行線的性質(zhì)證明∽，進(jìn)而可得為等腰三角形，最后證明∽并結(jié)合相應(yīng)的計算即可解答．
（1）證明：平分，
，
又，
∽；
（2）解：∽，
，
，
，
，∽，
，
平分，
∴∠DAG=∠CAG，
，
∴為等腰三角形，
，
，即，
解得：，
，
，，
∽，
，
，
．
【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握以上的定理并熟練的運用．
【變式2】如圖，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6；
求AE的長．
求證：△ADE∽△DFE．
【答案】(1)9(2)見分析
【分析】（1）依題意得出∠ADE＝∠CFD，∠C＝∠A，據(jù)此可得出△ADE∽△CFD，由相似的性質(zhì)即可得出答案；
（2）由，及∠A＝∠EDF，可證得△ADE∽△DFE．
（1）解：∵∠C＝∠EDF，∠C＋∠CFD＋∠CDF＝180°，∠EDF＋∠ADE＋∠CDF＝180°，
∴∠ADE＝∠CFD，
∵∠C＝∠A，
∴△ADE∽△CFD，
∴，
∵CF＝4，CD＝AD＝6，
∴，
∴AE＝9．
（2）證明：∵AE＝9，AD＝6，
∴，
∵△ADE∽△CFD，
∴，
∴，
∵∠A＝∠EDF，
∴△ADE∽△DFE．
【點撥】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法以及根據(jù)相似三角形性質(zhì)列出比例式進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．
類型三、相似三角形拓展與提升
6．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點C運動，設(shè)運動的時間為t秒．
如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；
如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當(dāng)t為何值時，四邊形QPCP′為菱形？
【答案】(1)當(dāng)t＝2時，PQ⊥BC(2)當(dāng)t的值為時，四邊形QPCP′為菱形
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．
（2）作于，于，證明出為直角三角形，進(jìn)一步得出和為等腰直角三角形，再證明四邊形為矩形，利用勾股定理在、中，結(jié)合四邊形為菱形，建立等式進(jìn)行求解．
（1）解：（1）如圖①，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，
∴AB＝＝（cm），
由題意得，AP＝tcm，BQ＝tcm，
則BP＝（4﹣t）cm，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB＝90°，
∴∠PQB＝∠ACB，
∴PQAC，
，
，
∴＝，
∴，
解得：t＝2，
∴當(dāng)t＝2時，PQ⊥BC．
（2）解：作于，于，如圖，
，，
，，
為直角三角形，
，
和為等腰直角三角形，
，，
，
四邊形為矩形，
，
，
，
在中，，
在中，，
四邊形為菱形，
，
，
，（舍去）．
的值為．
【點撥】此題是相似形綜合題，主要考查的是菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
【變式1】已知，點、、、分別在正方形的邊、、、上．
(1)如圖1，當(dāng)四邊形是正方形時，求證：；
(2)如圖2，已知，，當(dāng)、的大小有_________關(guān)系時，四邊形是矩形；
(3)如圖3，，、相交于點，，已知正方形的邊長為16，長為20，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時，判斷四邊形是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．
【答案】(1)見分析(2)(3)平行四邊形，證明見分析
【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)證得，根據(jù)角角邊證明．
（2）當(dāng)，證得，是等腰直角三角形，∠HEF=∠EFG=90°，即可證得四邊形EFGH是矩形．
（3）利用正方形的性質(zhì)證得為平行四邊形，過點作，垂足為點，交于點，由平行線分線段成比例，設(shè)，，，則可表示出，從而把△OEH的面積用x的代數(shù)式表示出來，根據(jù)二次函數(shù)求出最大值，則可得OE=OG，OF=OH，即可證得平行四邊形．
解：（1）∵四邊形為正方形，
∴，
∴．
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∴．
在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴；
（2）；證明如下：
∵四邊形為正方形，
∴，AB=BC=AD=CD，
∵AE=AH，CF=CG，AE=CF，
∴AH=CG，
∴，
∴EH=FG．
∵AE=CF，
∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，
∴是等腰直角三角形，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∵AE=AH，CF=CG，
∴∠AEH=∠CFG=45°，
∴∠HEF=∠EFG=90°，
∴EH∥FG，
∴四邊形EFGH是矩形．
（3）∵四邊形為正方形，
∴．
∵，，
∴四邊形為平行四邊形．
∴．
∴．
過點作，垂足為點，交于點，
∴．
∵，
設(shè)，，，則，
∴．
∴．
∴當(dāng)時，的面積最大，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形．
【點撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和平行四邊形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，有一定的綜合性，解題的關(guān)鍵是熟悉這些知識并靈活運用．
【變式2】已知點在正方形的對角線上，正方形與正方形有公共點．
(1)如圖1，當(dāng)點在上，在上，求的值為多少；
(2)將正方形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，求：的值為多少；
(3)，，將正方形繞逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)，，三點共線時，請直接寫出的長度．
【答案】(1)2(2)(3)或
【分析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)平行線分線段成比例即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）分兩種情況畫出圖形，證明△ADG∽△ACE，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得出答案．
（1）解：正方形與正方形有公共點，點在上，在上，
四邊形是正方形
（2）解：如圖，連接，
正方形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，
，
（3）解：①如圖，
，，
,,，
三點共線，
中，，
，
由（2）可知，
，
．
②如圖：
由（2）知△ADG∽△ACE，
∴，
∴DG=CE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC=8，AC=，
∵AG=AD，
∴AG=AD=8，
∵四邊形AFEG是正方形，
∴∠AGE=90°，GE=AG=8，
∵C，G，E三點共線．
∴∠AGC=90°
∴CG=，
∴CE=CG+EG=8+8，
∴DG=CE=．
綜上，當(dāng)C，G，E三點共線時，DG的長度為或．
【點撥】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．
類型三、位似
7．如圖，在6×8的網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1，點O和△ABC的頂點均為小正方形的頂點.
⑴以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比為1：2
⑵連接⑴中的AA′，求四邊形AA′C′C的周長.（結(jié)果保留根號）
【答案】（1）見分析；（2）.
【分析】（1）利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點位置即可得出答案；
（2）利用勾股定理得出各邊的長度即可得出答案．
解：⑴如圖.
（2）AA′=1，CC′=2．
在Rt△OA′C′中，OA′=1，OC′=2，得A′C′=,
在Rt△OAC′中，OA=2，OC=4，得AC=,
∴四邊形AA′C′C的周長=.
【點撥】此題主要考查了位似圖形的畫法以及勾股定理等知識，利用位似比得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．
【變式一】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（2，4），B（1，1），C（5，2）．
(1)以點B為位似中心，在網(wǎng)格內(nèi)畫出△ABC的位似△A1BC1，使得△A1BC1與△ABC的位似比為2；
(2)直接寫出點A1的坐標(biāo)和△A1BC1的面積．
【答案】(1)見分析(2)，22
【分析】(1) 以點B為位似中心，使得△A1BC1與△ABC的位似比為2，延長BA到A1，使BA1=2BA，延長BC到C1，使BC1=2BC，再順次連接即可；
（2）利用割補(bǔ)法求解可得．
解：(1)以點B為位似中心，使得△A1BC1與△ABC的位似比為2，延長BA到A1，使BA1=2BA，延長BC到C1，使BC1=2BC，連接A1C1，△A1BC1為所求△ABC的位似圖形；
(2)如圖所示：；
=48-12-6-8=22．
【點撥】此題考查了位似變換和三角形面積求法，正確得出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．
【變式二】如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為，，（正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1），以點為位似中心，把按相似比2：1放大，得到對應(yīng)．
(1)請在第一象限內(nèi)畫出；
(2)若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出滿足條件的點的坐標(biāo)．
【答案】(1)見分析(2)；；
【分析】（1）根據(jù)點為位似中心，，，，把按相似比2：1放大，得到對應(yīng)，求出點，，的坐標(biāo)，在網(wǎng)格中描點順次連線即得；
（2）設(shè)D(x,y)，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分與，，，得到當(dāng)AC為對角線時， x+2=1+5，y+1=2+3，推出x=4，y=4，得到；當(dāng)BC是對角線時，推出x+1=2+5，x=6，y+3=1+2，y=0，得到，當(dāng)AB為對角線時，推出x+5=1+2，x=-2，y+2=3+1，y=2，得到．
解：(1)∵點為位似中心，按相似比2：1放大，得到對應(yīng)，
∴,
∵，，，
∴（2,6），（4,2），（10,4），
在網(wǎng)格圖中順次連接各點得到，如圖；
(2)設(shè)D(x,y)，
∵平行四邊形的對角線互相平分，且，，，
∴當(dāng)AC為對角線時，AC中點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，BD中點的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，
∴x+2=1+5，y+1=2+3，
∴x=4，y=4，
∴，
同理，
當(dāng)BC是對角線時，x+1=2+5，x=6，y+3=1+2，y=0，
∴，
當(dāng)AB為對角線時，x+5=1+2，x=-2，y+2=3+1，y=2，
∴，
綜上，；；．
【點撥】本題主要考查了位似三角形，平行四邊形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握位似三角形的定義及畫法，平行四邊形對角線的性質(zhì)和線段中點坐標(biāo)公式．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多