專題 18.27 《平行四邊形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它們之間的關(guān)系.2. 探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法, 并能運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.3. 掌握三角形中位線定理.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行四邊形1．定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2．性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行且相等；        （2）對(duì)角相等；鄰角互補(bǔ)；        （3）對(duì)角線互相平分；        （4）中心對(duì)稱圖形.3．面積：4．判定：邊：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；            （2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；            （3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．         角：（4）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；            （5）任意兩組鄰角分別互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形．    邊與角：（6）一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；     對(duì)角線：（7）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.特別說(shuō)明：平行線的性質(zhì)：（1）平行線間的距離都相等；（2）等底等高的平行四邊形面積相等.要點(diǎn)二、矩形1．定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個(gè)角都是直角；（3）對(duì)角線互相平分且相等；        （4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：４．判定：（1) 有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.         （2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.         （3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.特別說(shuō)明：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半．要點(diǎn)三、菱形1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；         （2）四條邊相等；         （3）兩條對(duì)角線互相平分且垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；  （4）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)四、正方形1. 定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形.2．性質(zhì)：（1）對(duì)邊平行；        （2）四個(gè)角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對(duì)角線互相垂直平分且相等，對(duì)角線平分對(duì)角；（5) 兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；（6）中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.3．面積：邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)＝×對(duì)角線×對(duì)角線4．判定：（1）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對(duì)角線相等的菱形是正方形；（4）對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形.【典型例題】類型一、平行四邊形 1  （2021·廣東惠州·二模）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)，在對(duì)角線上，且．（1）求證：四邊形是平行四邊形（2）連接交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)【答案】（1）見解析；（2）2.5【分析】（1）先由平行四邊形的性質(zhì)及點(diǎn)G，H分別是AB，CD的中點(diǎn)，得出△AGE和△CHF全等的條件，從而判定△AGE≌△CHF（SAS），然后由全等三角形的性質(zhì)和角的互補(bǔ)關(guān)系得出GE=HF，GE∥HF，則可得出結(jié)論．（2）先由平行四邊形的性質(zhì)及BD=10，得出OB=OD=5，再根據(jù)AE=CF、AE+CF=EF及OA=OC得出AE=OE，從而可得EG是△ABO的中位線，利用中位線定理可得EG的長(zhǎng)度．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠GAE=∠HCF，∵點(diǎn)G，H分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴AG=CH，∵AE=CF，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，∴∠GEF=∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE=HF，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，如圖：
 ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵BD=10，∴OB=OD=5，∵AE=CF，OA=OC，∴OE=OF，∵AE+CF=EF，∴2AE=EF=2OE，∴AE=OE，又∵點(diǎn)G是AB的中點(diǎn)，∴EG是△ABO的中位線，∴EG=OB=2.5．∴EG的長(zhǎng)為2.5．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2021·重慶九龍坡·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是平行四邊形，，，，在一條直線上，已知．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）若，且，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)可得出AD∥CF，AD=CF，由BE=CF得到AD=BE，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到四邊形ABED是平行四邊形；（2）由平行四邊形的性質(zhì)得到AD=CF，由含30°角直角三角形的性質(zhì)求出BC，根據(jù)線段的和差求出CF，即可得到AD的長(zhǎng)．證明：（1）∵四邊形ACFD是平行四邊形，∴AD∥CF，AD=CF，∵B，E，C，F在一條直線上，∴AD∥BE，∵BE=CF．∴AD=BE，∴四邊形ABED是平行四邊形；（2）∵四邊形ACFD是平行四邊形，∴AD=CF，∵∠ABC=60°，且AC⊥BF，AB=6，∴∠BAC=30°，∴BC=AB=3，∵BF=5，∴CF=BF-BC=2，∴AD=2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2、（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)直角三角形，其中，，．將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊交于點(diǎn)C，與邊交于點(diǎn)D．（1）如圖1，若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為__________；（2）如圖2，若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖3，若折疊后點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)，，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【答案】（1）（0.5，1）；（2）C（0，）；（3）y＝﹣x2+1（0≤x≤2）【分析】（1）由題意可得CD為△OAB的中位線，進(jìn)一步即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m），則由折疊的性質(zhì)可用含m的代數(shù)式表示AC，然后在Rt△AOC中，利用勾股定理建立方程即可求出m的值；（3）由折疊的性質(zhì)可用含y的代數(shù)式表示出B′C，然后在Rt△B′OC中，根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x、y的方程，整理即得結(jié)果．解：（1）由折疊的性質(zhì)可知，BC＝OC，CD⊥OB，則CD為△OAB的中位線，∴，，∴D（0.5，1），故答案為：（0.5，1）；（2）如圖2，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），則BC＝OB﹣OC＝2﹣m，∵折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，∴AC＝BC＝2﹣m，在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2＝OC2+OA2，即（2﹣m）2＝m2+12，解得m＝，所以C（0，）；（3）如圖3，∵OB′＝x，OC＝y，折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B′，∴B′C＝BC＝OB﹣OC＝2﹣y，在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2＝OC2+OB′2，即（2﹣y）2＝y2+x2，即y＝﹣x2+1，由點(diǎn)B′在邊OA上，有0≤x≤2，所以函數(shù)解析式為y＝﹣x2+1（0≤x≤2）．【點(diǎn)撥】本題以直角坐標(biāo)系為載體，主要考查了折疊的性質(zhì)、三角形的中位線和勾股定理等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)，靈活應(yīng)用方程思想是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2020·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)G，H分別是AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F在對(duì)角線AC上，且AE＝CF（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，若BD＝10，AE＋CF＝EF，求EG的長(zhǎng)【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件易證得，可得，所以，所以可得四邊形EGFH是平行四邊形；（2）因?yàn)?/span>O為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，所以，因?yàn)?/span>，且，等量代換可得，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，所以且，即可得出EG的長(zhǎng).解：（1）四邊形為平行四邊形，且，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，在與中，,四邊形是平行四邊形.（2）如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，四邊形ABCD為平行四邊形，，，，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，且.【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及判定綜合題型，做題時(shí)如果已知有平行四邊形要想到該平行四邊形的所有性質(zhì)都可以當(dāng)做已知條件應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及判定是本題做題關(guān)鍵；涉及到求長(zhǎng)度的，如果沒(méi)有直角，則不考慮勾股定理，只考慮全等或線段的等量代換，有中點(diǎn)的話要想到特殊的中線以及中位線，驗(yàn)證題中是否可轉(zhuǎn)化成這兩個(gè)結(jié)論進(jìn)行應(yīng)用.類型二、矩形 3、（2021·新疆·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且．求證：（1）；（2）四邊形AEFD是平行四邊形．【答案】（1）證明過(guò)程見解析；（2）證明過(guò)程見解析．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB=DC，∠B=∠DCF=90°，根據(jù)全等三角形的判定即可得到；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD=BC，根據(jù)可得AD=EF，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到四邊形AEFD是平行四邊形． 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠DCB=90°，∴∠DCF=90°，在△ABE和△DCF中，，∴（SAS）．（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，即AD=BE+EC，∵BE=CF，∴AD=CF+EC，即AD=EF，∵點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，∴AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定，平行四邊形的判定．熟記各個(gè)圖形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．【變式】（2011·貴州遵義·中考真題）把一張矩形ABCD紙片按如圖方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（E、F兩點(diǎn)均在BD上），折痕分別為BH、DG．（1）求證：△BHE≌△DGF；（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求線段FG的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析 （2）3cm【分析】1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠ABD=∠BDC，再由圖形折疊的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=∠HEB=90°，∠C=∠DFG=90°，進(jìn)而可得出△BEH≌△DFG；（2）先根據(jù)勾股定理得出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BF的長(zhǎng)，由圖形翻折變換的性質(zhì)得出CG=FG，設(shè)FG=x，則BG=8﹣x，再利用勾股定理即可求出x的值．解：（1）如圖，，，，.是翻折而成的，，，.翻折而成的，，，，在和中，，，，.（2）四邊形是矩形，，，，，，又由（1）知，，，.設(shè)，則，在中，，即，，即.【點(diǎn)撥】本題主要考查矩形的折疊問(wèn)題，涉及知識(shí)點(diǎn)有全等三角形的證明與性質(zhì)，勾股定理，折疊性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵在于能夠靈活運(yùn)用勾股定理類型三、菱形4．（2021·青海西寧·中考真題）如圖，四邊形是菱形，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，，求矩形的周長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用全等三角形性質(zhì)和菱形對(duì)角線互相垂直平分，證四邊形是矩形；（2）根據(jù)菱形性質(zhì)得出，，由含30度直角三角形的性質(zhì)求出OB，即可求解．（1）證明：∵△BOC?△CEB ．∴，（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）∴四邊形是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）∵四邊形是菱形，∴ （菱形的兩條對(duì)角線互相垂直）∴∴四邊形是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）；（2）∵四邊形是菱形，，，∴ （菱形的四條邊相等）， ∵∴在中，（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），∴矩形的周長(zhǎng)．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，熟記各種特殊四邊形的判定方法和性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2021·青海·中考真題）如圖，是的對(duì)角線．（1）尺規(guī)作圖（請(qǐng)用2B鉛筆）：作線段的垂直平分線，交，，分別于，，，連接，（保留作圖痕跡，不寫作法）．（2）試判斷四邊形的形狀并說(shuō)明理由．【答案】（1）見解析；（2）菱形，見解析【分析】（1）利用尺規(guī)作圖畫出垂直平分線即可；（2）根據(jù)一組對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可求解．解：（1）作的垂直平分線連接，．（2）解：四邊形是菱形，理由如下：∵是的垂直平分線，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在和中，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)撥】本題考查尺規(guī)作圖——線段垂直平分線、菱形的判定與性質(zhì)，掌握上述基本性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．類型四、正方形5、（2021·湖北荊門·中考真題）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，，且，．（1）求證：；（2）若，，用x表示DF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）證明△ABE≌△EHF，即可證明BE=CH；（2）作FP⊥CD于P，求得PD=3?x，利用勾股定理即可求解． （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE=90°，AB=BC，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEH=90°．而∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠FEH．又∵EF=AE，∴△ABE≌△EHF．∴BE=FH，AB=EH，∴AB=BC=EH，則BC-EC=EH-EC，∴BE=CH；（2）解：作FP⊥CD于P，由（1）可知EH=AB，∴CE=3?x．∴CH=FH=FP=x，∴PD=3?x．．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．舉一反三：【變式1】（2021·山東泰安·中考真題）四邊形為矩形，E是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)．（1）若，如圖1，求證：四邊形為平行四邊形；（2）若，點(diǎn)F是上的點(diǎn)，，于點(diǎn)G，如圖2，求證：是等腰直角三角形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等證明即可；（2）先證矩形是正方形，再證，得出，再證即可． 證明：（1）∵是矩形，，，又，，，∴四邊形是平行四邊形．（2），∴矩形是正方形，，，，，又，，，又，，，，，是等腰直角三角形．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、正方形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練準(zhǔn)確運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行推理證明．【變式2】 （2021·江西·新余市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊和上，且，連接、，其相交于點(diǎn)，將沿翻折得到，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）5．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，證明，根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可． （1）證明：四邊形是正方形，，，在和中，，，；（2）解：，，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，，在中，，即，解得：，．【點(diǎn)撥】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式3】 （2019·江蘇寶應(yīng)·一模）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當(dāng)△ABC滿足         時(shí)（添加一個(gè)條件），四邊形ADCE是正方形．【答案】（1）見解析；（2）∠BAC＝90°【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再利用角平分線的定義得∠MAE=∠CAE，從而證得；然后根據(jù)矩形的判定“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”即可證明結(jié)論．（2）假設(shè)當(dāng)，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由AB=AC得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AD=DC，從而根據(jù)正方形的判定得四邊形ADCE為正方形．解：（1）證明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=， ∵AN是∠CAM的平分線， ∴∠MAE=∠CAE=， ∴∠DAE=，∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴，∴四邊形ADCE為矩形．（2）當(dāng)△ABC滿足時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形，理由如下；∵AB＝AC，∴，∵AD⊥BC，∴，∴，∵四邊形ADCE為矩形，∴矩形ADCE是正方形，故當(dāng)時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的判定、正方形的判定、等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．

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