專題19  圓錐曲線中的定值問題一．選擇題(在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知拋物線：，：交于，兩點（為坐標原點），，的焦點分別為，，若直線，交于點，且，則的值為（    ）A．8 B． C．2 D．【解析】設(shè)，則由得，，即．因為，所以．由題意知，，所以直線的方程為，即，又點在直線上，所以．設(shè)，則，解得或，因為，所以，即，所以．故選:D．2．已知橢圓，設(shè)直線l與橢圓相交于A，B兩點，與x軸，y軸分別交于C，D兩點，記橢圓E的離心率為e，直線l的斜率為k，若C，D恰好是線段的兩個三等分點，則（    ）A． B． C． D．【解析】設(shè)，，分別是線段的兩個三等分點，，，則 ，得，，利用點差法，兩式相減得，整理得到，即，即 。，故選：B3．已知橢圓，圓，過橢圓上任一與頂點不重合的點引圓的兩條切線，切點分別為，直線與軸，軸分別交于點，則（　?。?/span>A． B． C． D．【解析】設(shè)，則切線的方程為，切線的方程為，因為點在切線上，所以，，所以直線的方程為，所以，因為點在橢圓上，所以，所以，故選：D4．已知橢圓的左右頂點分別為，過軸上點作一直線與橢圓交于兩點（異于），若直線和的交點為，記直線和的斜率分別為，則（　　）A． B．3 C． D．2【解析】設(shè)，，，設(shè)直線的方程： 由和三點共線可知 ，解得： ，，（*）聯(lián)立 ，得，，，代入（*）得， ， ，. 故選：A5．已知橢圓的離心率為，過右焦點且斜率為的直線與相交于兩點，若，則（    ）A． B．1 C．2 D．【解析】離心率為，解得，得，所以橢圓，過右焦點且斜率為的直線為：，即，為簡化計算，令，則，由，聯(lián)立可得：， ①設(shè)，由可得，由①可得：，因為，所以，解得，所以，由，可得.故選：A.6．設(shè)點為橢圓上的動點（除左右頂點外），橢圓的焦點為，離心率為，為的內(nèi)心，則直線和直線的斜率之積為（    ）A． B． C． D．【解析】如圖，連接延長交軸于，由內(nèi)角平分線定理得，利用等比性質(zhì)得，設(shè)，，，則，，∴，，又，，∴由可得，化簡得，又∵，∴，∴，，∴．故選：B．7．已知動點，關(guān)于坐標原點對稱，，過點，且與直線相切.若存在定點，使得為定值，則點的坐標為（    ）A． B． C． D．【解析】設(shè)，因為點關(guān)于坐標原點對稱，所以是線段的中點，又因為以為圓心的圓過兩點，所以有，因此有，因為點關(guān)于坐標原點對稱，，所以.又因為以為圓心的圓與直線相切，所以有，把、代入中，得：，化簡得：，因此點的軌跡是拋物線，該拋物線的焦點坐標為，準線方程為：，，由拋物線的定義可知：，所以有，由題意可知存在定點，使得當運動時，為定值，因此一定有，此時定點是該拋物線的焦點.故選：B.8．設(shè)P為橢圓C：（）上的動點，，分別為橢圓C的左、右焦點，為的內(nèi)心，則直線與直線的斜率積（    ）A．非定值，但存在最大值且為 B．是定值且為C．非定值，且不存在定值 D．是定值且為【解析】如圖所示，連接并延長交軸于，由三角形內(nèi)角平分線定理可知：，所以，因此可得：.設(shè)，因此有：，可得：，由可得：，的坐標為：，，，由橢圓的定義可知：，再由三角形內(nèi)角平分線定理可知：，由，因此有：.故選：D 9．已知點，動點滿足：，直線與點的軌跡交于，兩點，則直線，的斜率之積（    ）A． B． C． D．不確定【解析】，故，化簡整理得到，故軌跡方程為橢圓，，，故橢圓方程為：.設(shè)，，則，化簡得到，故，.故選：.10．過拋物線上點作三條斜率分別為，，的直線，，，與拋物線分別交于不同于的點．若，，則以下結(jié)論正確的是（    ）A．直線過定點 B．直線斜率一定C．直線斜率一定 D．直線斜率一定【解析】由題意，，，均不為0，設(shè)，則，同理可得，，由，得，即，①設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程可得，則，代入①式可得，，此時直線的方程為，故直線斜率是定值，故B正確，A錯誤；由，得，即，②，同理設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程可得，則，代入②式可得，此時的方程為，恒過定點，斜率不是定值，故C錯誤；由，，得，即，即③，同理設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程可得，則，代入③式可得，此時的方程為恒過定點，斜率不為定值.故D錯誤.故選：B11．已知橢圓，過x軸上一定點N作直線l，交橢圓C于A，B兩點，當直線l繞點N任意旋轉(zhuǎn)時，有（其中t為定值），則（    ）A． B． C． D．【解析】設(shè)點，當直線與軸不重合時,設(shè)的方程為,代入橢圓方程,得: ,即.，，當直線l繞點N任意旋轉(zhuǎn)時，有（其中t為定值）,當時, ，當時, ，,解得: 代入當時, .故選:B.12．已知雙曲線1（a＞0，b＞0）上一點C，過雙曲線中心的直線交雙曲線于A，B兩點，記直線AC，BC的斜率分別為k1，k2，當ln|k1|+ln|k2|最小時，雙曲線離心率為（    ）A． B． C．1 D．2【解析】設(shè),由題意知點為過原點的直線與雙曲線的交點,∴由雙曲線的對稱性得關(guān)于原點對稱,∴,,∴,∵點都在雙曲線上,∴,，兩式相減,得：，所以，∴,令,構(gòu)造函數(shù),由得,當時,;當時,所以當時,函數(shù)取得最小值,當且僅當時成立.此時離心率.故選：B二．填空題13．已知橢圓，是坐標平面內(nèi)的兩點，且與的焦點不重合，若關(guān)于的焦點的對稱點分別為，線段的中點在橢圓上，則__________.【解析】設(shè)的中點為，橢圓的左右焦點分別為，，如圖，連接，，是的中點，是的中點，是的中位線；，同理；，在橢圓上，根據(jù)橢圓的標準方程及橢圓的定義知：，． 14．已知點在拋物線上，過點的直線交拋物線于，兩點，若直線，的斜率分別為，，則等于___________.【解析】由題意將的坐標代入拋物線的方程可得，解得，所以拋物線的方程為；由題意可得直線 的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程：，整理可得：，則，， 由題意可得，所以．15．過雙曲線的右焦點的直線交雙曲線于、兩點，交軸于點，若，，規(guī)定，則的定值為.類比雙曲線這一結(jié)論，在橢圓中，的定值為________.【解析】如圖，設(shè)橢圓的右焦點為，過點的直線為，代入橢圓的方程得：，設(shè)，，則，，過點分別作軸的垂線，垂足為，則，，所以將，代入化簡得：.16．已知三點到點的距離都是它到直線的距離的倍且，當直線與的斜率之積為（其中為坐標原 點）時，則點與點的距離之和的值為____________【解析】不妨設(shè)，則到直線的距離為，又，化簡得：，動點的軌跡方程為，設(shè)    ，，，將代入得：，整理得：，即，，，又在曲線上，，，，即，的運動軌跡為半長軸，半短軸的橢圓，，即，點即為橢圓的兩個焦點，根據(jù)橢圓的定義可得三．解答題(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．已知圓：與圓：的公共點的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）設(shè)點為圓：上任意點，且圓在點處的切線與交于，兩點.試問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）設(shè)公共點為，則，，即公共點的軌跡為橢圓.且，∴，又，∴，故曲線：.（2）方法一:當直線斜率不存在時，：，代入得，故，易知：；當直線斜率存在，設(shè)：，與圓相切，將方程代入，得，∴，，將代入，得，即綜上，恒有，.法二:當直線斜率不存在時，：，代入得，；當直線斜率存在，設(shè)：，∵與圓相切，∴，即.將方程代入，得，∴，，，同理可得，故將，，及代入，可得.綜上.18．已知橢圓：()的一個焦點與拋物線：的焦點重合，兩條曲線在第一象限內(nèi)的交點滿足．（1）求橢圓以及拋物線的標準方程；（2）過橢圓另一焦點作直線(斜率存在但不為)與橢圓相交于A、兩點，在橢圓長軸上取一點，使得為定值，試求點的坐標及這個定值．【解析】（1）由已知公共焦點，則，∴，設(shè)，則由拋物線定義有，即，則，∵點在橢圓上，∴代入方程得，解得，，∴橢圓的標準方程是，拋物線的標準方程為；（2）由（1）可知點的坐標為，設(shè)直線：，聯(lián)立，消去化簡得，設(shè)、，則，，設(shè)()，則：，若為定值，則，解得，此時，故點的坐標為，定值為．19．在平面直角坐標系中，兩點的坐標分別為，直線相交于點M且它們的斜率之積是，記動點M的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程；（2）過點作直線交曲線E于兩點，且點P位于x軸上方，記直線的斜率分別為．①證明：為定值；②設(shè)點Q關(guān)于x軸的對稱點為，求面積的最大值．【解析】（1）設(shè)點坐標為，則直線的斜率分別為，依題意知，化簡得；（2）①設(shè)直線的方程為，則，又，消得，得因此，故為定值；②坐標為，則直線方程為，令解得:，即直線恒過點，故，當，即時，等號成立，此時面積最大值為．20．已知O為坐標系原點，橢圓的右焦點為點F，右準線為直線n.（1）過點的直線交橢圓C于兩個不同點，且以線段為直徑的圓經(jīng)過原點O，求該直線的方程；（2）已知直線l上有且只有一個點到F的距離與到直線n的距離之比為.直線l與直線n交于點N，過F作x軸的垂線，交直線l于點M.求證：為定值.【解析】（1）設(shè)過點的直線為交于橢圓聯(lián)立消去y得又因為以線段為直徑的圓經(jīng)過原點，則，則所求直線方程，（2）已知橢圓的離心率為，右準線直線n的方程為，因為直線上只有一點到F的距離與到直線n的距離之比為，所以直線與橢圓相切，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去y得到：①聯(lián)立點N坐標為得到,由①21．已知橢圓的左、右頂點分別為，，為上不同于，的動點，直線，的斜率，滿足，的最小值為-4.（1）求的方程；（2）為坐標原點，過的兩條直線，滿足，，且，分別交于，和，.試判斷四邊形的面積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說明理由. 【解析】（1）設(shè)，則，故，∴，又，由題意知：，解得，∴橢圓的方程為.（2）根據(jù)橢圓的對稱性，可知，，∴四邊形為平行四邊形，所以.設(shè)，的斜率分別為，，，，則①，②.又，，即.當的斜率不存在時，，.由①②，得，結(jié)合，解得，.∴.當的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，得，則，即，.∵，∴，整理得：.由直線過，，將代入，整理得.綜上，四邊形的面積為定值，且為.22．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C有且僅有一個公共點．（1）求橢圓C的方程及A點坐標；（2）設(shè)直線l與x軸交于點B．過點B的直線與C交于E，F兩點，記點A在x軸上的投影為G，T為BG的中點，直線AE，AF與x軸分別交于M，N兩點．試探究是否為定值?若為定值，求出此定值；否則，請說明理由．【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則，則，，所以橢圓的方程為：，將橢圓的方程與直線的方程聯(lián)立得：,所以，解得：，所以，，故橢圓的方程為，此時將代入得：，所以，此時。所以點坐標為；（2）將直線聯(lián)立，得到，所以。因為，，所以，①當斜率時，，或，，，或，，此時有，②當斜率時，設(shè)：，代入得：，設(shè)，，所以，，所以：，則，同理，，所以，對分子：對分母：，所以.綜上，為定值.  

相關(guān)試卷

專題30 圓錐曲線中的定值問題-備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項高分突破（新高考專用）：

這是一份專題30 圓錐曲線中的定值問題-備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項高分突破（新高考專用），文件包含專題30圓錐曲線中的定值問題原卷版docx、專題30圓錐曲線中的定值問題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共24頁， 歡迎下載使用。

專題19 拋物線中的定點、定值、定直線問題-備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項高分突破（新高考專用）：

這是一份專題19 拋物線中的定點、定值、定直線問題-備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項高分突破（新高考專用），文件包含專題19拋物線中的定點定值定直線問題原卷版docx、專題19拋物線中的定點定值定直線問題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共23頁， 歡迎下載使用。

專題06 橢圓中的定點、定值、定直線問題-備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項高分突破（新高考專用）：

這是一份專題06 橢圓中的定點、定值、定直線問題-備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項高分突破（新高考專用），文件包含專題06橢圓中的定點定值定直線問題原卷版docx、專題06橢圓中的定點定值定直線問題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共24頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題15 圓錐曲線中的弦長問題-2022年高考數(shù)學(xué)高分突破沖刺練（全國通用）

專題15 圓錐曲線中的弦長問題-2022年高考數(shù)學(xué)高分突破沖刺練（全國通用）
專題18 圓錐曲線中的定點問題-2022年高考數(shù)學(xué)高分突破沖刺練（全國通用）

專題18 圓錐曲線中的定點問題-2022年高考數(shù)學(xué)高分突破沖刺練（全國通用）
專題17 圓錐曲線中的中點弦問題-2022年高考數(shù)學(xué)高分突破沖刺練（全國通用）

專題17 圓錐曲線中的中點弦問題-2022年高考數(shù)學(xué)高分突破沖刺練（全國通用）
專題16 圓錐曲線中的面積問題-2022年高考數(shù)學(xué)高分突破沖刺練（全國通用）

專題16 圓錐曲線中的面積問題-2022年高考數(shù)學(xué)高分突破沖刺練（全國通用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
  • 精品推薦
  • 所屬專輯23份
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部