專題16  圓錐曲線中的面積問(wèn)題一．選擇題(在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，垂直平分線與軸相交于點(diǎn)，則與的面積的比值為（    ）A． B． C． D．【解析】如圖所示：垂直于準(zhǔn)線于，作于.直線斜率為，故，故，，故，故，故，.故選：.2．分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為N，則當(dāng)|MN|最大時(shí)，為（    ）A．2 B． C． D．【解析】由，得，，則，，連接，，，當(dāng)，，共線時(shí)，最大，此時(shí)，，由，得，在△中，由余弦定理可得：，，即．．故選：．3．坐標(biāo)原點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn).若點(diǎn)，則 面積的最大值為（    ）A． B． C． D．1【解析】直線方程為，代入橢圓方程得，，設(shè)，則，點(diǎn)到直線的距離為，所以（），記，則，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，所以時(shí)，取得唯一的極大值也是最大值．即△MAN面積的最大值為．故選：A．4．已知平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線l：x＝的距離與到定點(diǎn)F（，0）的距離之比為，點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過(guò)原點(diǎn)O且斜率為k（k＜0）的直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，則△MAN面積的最大值為（    ）A． B．2 C． D．1【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)到l的距離為d, 由題意得，所以，化簡(jiǎn)整理得曲線C的方程為，若直線l存在斜率，設(shè)其方程為，設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)，將代入曲線中得，，所以，又點(diǎn)A到直線l的距離，故的面積，所以，（1）當(dāng)時(shí)，，則；（2）當(dāng)時(shí)，，則；（3）當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)），則；若直線l不存在斜率， MN=2. 于是的面積，綜上得：的面積的最大值為.故選：A.5．已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，且滿足，設(shè)的面積為，以，為直徑的圓的面積分別為，，則的最小值為（　  　）A． B． C． D．【解析】設(shè)直線的方程為，根據(jù)題意可知，聯(lián)立直線和橢圓方程消去，可得：，，可得，根據(jù)韋達(dá)定理：，由，化簡(jiǎn)可得，可得，，，m2＜2，設(shè)到直線距離為，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得：則，由， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，這時(shí)的最小值為；故選：C．6．已知雙曲線的方程為，其左右焦點(diǎn)分別為，，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線上的點(diǎn)滿足，則三角形與三角形面積之差為（    ）A．2 B．1 C． D．4【解析】如圖所示：，，故，.，則，故關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)在上，設(shè)為..在中，根據(jù)余弦定理：，得到：，故..故選：.7．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在過(guò)且垂直于軸的直線上，當(dāng)的外接圓面積達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為（    ）A． B．C． D．【解析】不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于為定值，由正弦定理可知當(dāng)取得最大值時(shí)，的外接圓面積取得最小值，也等價(jià)于取得最大值，因?yàn)?/span>，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)最大，此時(shí)的外接圓面積取最小值，點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入可得，．所以雙曲線的方程為．故選：8．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，點(diǎn)是 的準(zhǔn)線 上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則面積的最小值為（   ）A． B． C． D．【解析】設(shè),因?yàn)?/span>，則過(guò)點(diǎn)的切線均過(guò)點(diǎn)，則，即是方程的兩根，則，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，則，即，則，即的面積的最小值為2；故選B.9．設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在C的左支上，且，則的面積為（    ）A．8 B． C．4 D．【解析】由，不妨設(shè)，，所以，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，即是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故，即．又，所以，解得：，所以．故選：A10．在平面直角坐標(biāo)系中，有定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，過(guò)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則面積的值為（    ）A． B． C． D．【解析】設(shè)點(diǎn)，則，，，故根據(jù)得：，整理得：故過(guò)且斜率為的直線方程為：，設(shè)，曲線與直線聯(lián)立方程：得：，，故，，所以即：，所以，即：，解得：所以，故過(guò)且斜率為的直線方程為：，所以點(diǎn)到直線的距離為：，所以面積為.故選：B.11．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)拋物線上兩點(diǎn)，分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為，，且，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為4時(shí)，直線的斜率為（    ）A． B． C． D．【解析】因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為4，所以，所以，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，，，所以，則，顯然直線的斜率存在，不妨設(shè)為，則，與拋物線聯(lián)立可得：，從而，所以，解得.故選：B12．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作拋物線的弦，與拋物線交于，兩點(diǎn)，分別過(guò)，兩點(diǎn)作拋物線的切線，相交于點(diǎn)，又常被稱作阿基米德三角形．的面積的最小值為（    ）A． B． C． D．【解析】設(shè)，，由題意可得直線AB的斜率不為0,因?yàn)橹本€AB過(guò)焦點(diǎn)，所以設(shè)直線AB的方程；聯(lián)立得，所以，由拋物線的性質(zhì)可得過(guò)點(diǎn)，的拋物線的切線方程為：，聯(lián)立得，，即.點(diǎn)到直線的距離，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值.故選：C.二．填空題13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，，若點(diǎn)，且，則直線的斜率為__________．【解析】設(shè)直線的斜率為，則直線；聯(lián)立，消去得，，則，，故，；設(shè)直線的傾斜角為，則，故，故；令，解得．14．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為8，上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，且的面積為4，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為___________.【解析】由已知得，故，∵的面積為，∴，∴，又，故，∴，， ∴，又而，即，∴當(dāng)時(shí)，最大，為；當(dāng)或時(shí)，最小，為，即，∴，即.即的取值范圍為.15．在拋物線上任取一點(diǎn)(不為原點(diǎn))，為拋物線的焦點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交拋物線于另一點(diǎn)過(guò)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為記線段的中點(diǎn)為則面積的最小值為______．【解析】焦點(diǎn)為，設(shè)直線方程為，由取的中點(diǎn)為，連接，則，，，，故時(shí)面積最小為.16．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線左支上的點(diǎn)，的周長(zhǎng)是9，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線的右支上，則面積的取值范圍是________.【解析】∵是雙曲線左支上的點(diǎn)，∴.∵的周長(zhǎng)是9，∴.∵，∴，.設(shè)，則，解得，.根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨取，則，∴，∴直線的方程為.∵直線與漸近線平行，∴雙曲線的右支上任意一點(diǎn)到直線的距離都大于兩平行線間的距離，即都大于，∴.三．解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線交拋物線于?兩點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上，，直線交軸于點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，記的面積為，的面積為，求的最小值.【解析】（1）由已知可得：焦點(diǎn)，將代入拋物線的方程，可得：，則，解得：，拋物線的方程為；（2）設(shè)，，，，令，則，直線過(guò)點(diǎn)，直線的方程為，將其與聯(lián)立并消去得：，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，即，，，為的重心，，，，則，，，，則直線的方程為，令得：，即，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，，即，，令，則，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.18．如圖所示，?分別是橢圓：()的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.當(dāng)最大時(shí)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，過(guò)作直線的垂線，與圓交于?兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.【解析】（1）當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)重合，設(shè)，則①，②，由①②得，，于是，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，則四邊形的面積是，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，?，將與聯(lián)立并消去，整理得，恒成立，則，，則，由于直線與直線垂直，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴直線的方程為，∴點(diǎn)到直線的距離為，∴，則四邊形的面積：，由于，∴，于是(當(dāng)時(shí)取得最大值)，綜上可知，四邊形面積的最大值為.19．如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，，線段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓于點(diǎn)，在線段上（不包括端點(diǎn)），連接并延長(zhǎng)，交橢圓于另一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交橢圓于另一點(diǎn)，連接，．記，分別為和的面積．（1）求的值；（2）求的最大值．【解析】（1）因?yàn)?/span>，所以直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，可得解得或又由題意得點(diǎn)位于第一象限，所以．因此．（2）由題意易知直線的斜率一定存在且大于1，故設(shè)直線的方程為（），即，聯(lián)立方程，得化簡(jiǎn)得，由得，即，得，故．設(shè)，，則易知，連接，所以直線的斜率，直線的斜率，所以．①因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，又，所以直線的斜率，直線的斜率，所以．②又，③則由①②③可得，即．設(shè)（），則．又，所以又點(diǎn)到直線的距離，所以．因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值是．20．已知橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，離心率為，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作不與軸重合的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，為垂足．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①已知直線過(guò)定點(diǎn)，求定點(diǎn)的坐標(biāo)；②點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值．【解析】（1）由題意得：，解得：，，.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . （2）①由（1）知：，設(shè)直線方程：，，，，，聯(lián)立方程得：，，，，又，直線方程為：， 令，則，直線過(guò)定點(diǎn).②由①中知：，又，所以， 令，，則令，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即面積的最大值為.21．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為，以橢圓的短軸為直徑的圓過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的取值范圍．【解析】（1）由題意知，，，又，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)四邊形面積為，則，①當(dāng)軸時(shí)，，，所以，②當(dāng)軸時(shí)，，，所以，③當(dāng)和都不與軸垂直時(shí)，直線斜率存在且不為0，設(shè)，，直線斜率為，則直線斜率為，，聯(lián)立方程，消去得：，，，，所以，（*）過(guò)做直線的平行線和橢圓交于點(diǎn)，，由對(duì)稱性知，在（*）中把換成，得，所以，所以，令，則，所以，令，則，所以，因?yàn)?/span>，所以．綜上所述：四邊形面積取值范圍是．22．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)相同，且橢圓過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，以，為鄰邊作平行四邊形，點(diǎn)在橢圓上，問(wèn)平行四邊形的面積是否為定值？若是定值，求出結(jié)果，若不是，說(shuō)明理由.【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.由題意：橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以另一個(gè)焦點(diǎn)是，.根據(jù)橢圓的定義有所以，所以所以橢圓.（2）設(shè)，，，，②代入①整理得，，，，，因?yàn)?/span>是平行四邊形所以，，所以，，因?yàn)?/span>在橢圓上，代入得，整理得：， 到距離為，所以，，所以平行四邊形的面積為定值.  

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