專題09 構造函數(shù)法解決導數(shù)問題-2022年高考數(shù)學高分突破沖刺練（全國通用）-試卷下載-教習網

專題09 構造函數(shù)法解決導數(shù)問題一．選擇題(在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B．C． D．【解析】設，所以，因為，所以，所以在上單調遞減，且，又因為等價于，所以解集為，故選：C.2．已知是可導的函數(shù)，且，對于恒成立，則下列不等關系正確的是（）A．， B．，C．， D．，【解析】設，則，，，即在上單調遞減，，即，即，故選項A不正確；，即，即，故選項D不正確；，即，即．故選項B不正確；故選：C．3．已知函數(shù)，若對任意，有，則（）A． B． C． D．【解析】由題意得，因為，所以在x=1處取得最小值，即為x=1是的極小值點，所以，即，所以，令，則，令，解得，當時，，所以為增函數(shù)，當時，，所以為減函數(shù)，所以，所以，即.故選：A4．設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】構造函數(shù)，該函數(shù)的定義域為，由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù).當時，，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，由于函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)在上為增函數(shù).，則且，所以，.不等式等價于或，解得或.因此，不等式的解集為.故選：C.5．設是奇函數(shù)，是的導函數(shù)，．當時，，則使得成立的x的取值范圍是（）A． B．C． D．【解析】令，所以，當當時，，所以，所以可知的在的單調遞增，又是奇函數(shù)且，所以，則，由，所以函數(shù)為的偶函數(shù)且在單調遞減，，當時，的解集為，當時，的解集為，綜上所述：的解集為：，故選：D6．已知函數(shù)，當時，恒成立，則m的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】由題意，若顯然不是恒大于零，故.（由4個選項也是顯然可得），則在上恒成立；當時，等價于，令在上單調遞增.因為，所以，即,再設，令，時，，時，，在上單調遞增，在上單調遞減，從而，所以.故選：D．7．已知可導函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意的，都有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【解析】設，由，得：，故函數(shù)在遞減，由為奇函數(shù)，得，∴，即，∵不等式，∴，即，結合函數(shù)的單調性得：，故不等式的解集是，故選：A.8．設是定義在的奇函數(shù)，其導函數(shù)為，當時，，則關于的不等式的解集為（）A． B．C． D．【解析】令，，當時，，所以在上為單調遞減函數(shù)，又是定義在的奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，在上為單調遞增函數(shù)，當時，，所以等價于，即，因為在上為單調遞減函數(shù)，所以，當時，，所以等價于，即，因為在上為單調遞增函數(shù)，所以，綜上所述：關于的不等式的解集為.故選：B9．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，為實數(shù)，且不等式對任意的恒成立.則當取最大值時，的值為（）A． B． C． D．【解析】設，則，當時，，所以在上遞增，不符合條件，故，令得，所以在上遞增，上遞增，故有，即，則有，令，，則在上遞減，且，所以在上遞增，上遞減，所以，此時取得最大值，且，所以.故選：D10．已知函數(shù)且恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】不妨設可得令則在區(qū)間上單調遞減，所以在區(qū)間上恒成立，當時，當時，，而，所以在區(qū)間上單調遞減，則，所以.故選：A11．若對任意的，，，恒成立，則a的最小值為（）A． B． C． D．【解析】因為，所以，則可化為，整理得，因為，所以，令，則函數(shù)在上遞減，則在上恒成立，所以在上恒成立，令，則在上恒成立，則在上遞減，所以，故只需滿足：.故選：A.12．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，則對任意、，下列不等式中：①；②；③；④；一定成立的有（）A．①②③ B．②④ C．②③ D．③【解析】依題意的定義域為，且，即.構造函數(shù)，則，所以單調遞減，故，即，化簡得，所以②正確；由于，故，即，故③正確；由于同理，相加得，故①正確；取，它符合題意，但是，所以④不成立.綜上一定成立的有①②③.故選：A二．填空題13．已知定義在上的函數(shù)滿足，且對于任意的，恒成立，則不等式的解集為________.【解析】，設，則，是上的減函數(shù)，且，不等式，即為，所以，得，解得或，原不等式的解集為. 14．設是函數(shù)在的導函數(shù)，對，，且，，．若，則實數(shù)的取值范圍為__．【解析】，，令，，函數(shù)為奇函數(shù)．時，．時，，故函數(shù)在上是增函數(shù)，故函數(shù)在上也是增函數(shù)，由，可得在上是增函數(shù)．，等價于，即，，解得．故答案為：，．15．已知函數(shù)的定義域為，導函數(shù)為，若，且，則滿足的的取值范圍為______．【解析】令，又，則，即，故函數(shù)為奇函數(shù).，故函數(shù)在上單調遞減，則，即，即，即，故，所以x的取值范圍為.16．已知偶函數(shù)的導函數(shù)為，，當時，，則使成立的x的取值范圍是___________.(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))【解析】令，則，因為當時，，所以當時，，單調遞增，又是偶函數(shù)，所以，所以是偶函數(shù)，而，所以，即，所以，又在單調遞增，所以，解得或，故答案為：.三．解答題(解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若，求的取值范圍.【解析】（1）由，得，當或，，當時，，所以，在和上遞增，在上遞減；（2）因為在上遞減，在上遞增，所以，因為，所以恒成立，令，則，即：在上恒成立，令，則，所以在上遞增，在上遞減，所以，故的取隨范圍的.18．設函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設對于任意，且，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）易知的定義域為R，，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞減．的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是．（2）當，時，恒成立，即恒成立，設，由題意可知，在上單調遞減，即在上恒成立；，設，則在上單調遞減，，即19．已知函數(shù)的定義域為.（1）當取得最小值時，記函數(shù)在處的切線方程為.若恒成立且，求的最大值；（2）若有兩個極值點和，求證：.【解析】（1）由題意函數(shù)定義域為，所以，即的最小值為，所以，，，所以，因為恒成立，即恒成立，當時，顯然成立，令，則，因為且，所以的最大值為.（2）令，則，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，由，故和是方程的實根，所以，所以令，，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，則所以得證.20．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處取得極值，求曲線在點處的切線方程；（2）已知，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，，且，證明：．【解析】（1）因為，所以．因為函數(shù)在處取得極值，所以，即．因為，所以．因為，所以所求切線的方程為．（2）證明：由，可得．令，，則．當時，在上單調遞增，至多一個根，不符合題意；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，且．不妨設，要證，即證，只需證．因為，所以只需證，即證．因為在上單調遞增，所以只需證．因為，所以只要證，．令，則，即證．令．當時，，在上單調遞減．因為，所以當時，，即，于是，所以，即恒成立．21．已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在處的切線為，求的極值；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1），由題意可得：，解得：，此時函數(shù)，函數(shù)的圖象在處的切線為成立，所以，，由可得，由可得，所以在上單調遞增，在上單調遞減.所以的極大值為，不存在極小值.由可得分離可得：令令所以在上單調遞增，存在唯一的，使得當時，，即，當時，，即，故在上單調遞減，在上單調遞增.，由于，得，再對兩邊取對數(shù)可得：所以，所以即實數(shù)的取值范圍22．已知函數(shù).（1）求曲線上一點處的切線的方程；（2）設函數(shù)的兩個極值點為，求的最小值.【解析】對求導得：，故切線斜率為，因此切線方程為，即，故切線的方程為；（2）函數(shù)，定義域為，，因為是函數(shù)的兩個極值點，所以是方程的兩不等正根，則有，∴，故，且有，，，令，則，，，當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以，，所以，的最小值為.

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