專題20  直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一．選擇題(在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．互相垂直的直線,(不與坐標(biāo)軸垂直)過拋物線：的焦點(diǎn)，且分別與拋物線交于點(diǎn),,,，記,的中點(diǎn)分別為,，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（    ）A． B．C． D．【解析】由題意，拋物線：的焦點(diǎn)，設(shè)直線,的方程分別為和，,,,，聯(lián)立得，,，聯(lián)立得，,，,，，即，即，的軌跡方程為，故選：A.2．已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（  ）A． B．C． D．【解析】由題設(shè)，則線段的中點(diǎn)為，由三角形重心的性質(zhì)知，即，解得：即代入直線，得①.又B為線段的中點(diǎn)，則，又為橢圓上兩點(diǎn)，，以上兩式相減得，所以，化簡得②由①②及，解得：，即離心率. 故選：C.3．已知雙曲線，點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在直線上，的傾斜角，且，雙曲線在點(diǎn)處的切線與平行，則的面積的最大值為（    ）A． B． C． D．【解析】由題意，不妨設(shè)在第一象限，則雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，所以，即又因?yàn)?/span>，所以聯(lián)立可得，所以點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)?/span>，所以，所以．令，則，因?yàn)?/span>，所以，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積取得最大值．故選：D.4．已知，為雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與在第一象限的交點(diǎn)為，直線與交于另一點(diǎn)．若的面積為，則的離心率為（    ）A．2 B． C． D．【解析】設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，則，設(shè)直線與軸正方向的夾角為，由雙曲線的第二定義可得，，，，即，由，①②，可得整理，③由①可得，即，④將④代入③，整理可得，即.故選：D5．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)四邊形的面積取得最小值時(shí)，直線的方程是（    ）A． B．C． D．【解析】設(shè)，，且，易知，設(shè)直線，由，得，所以，，.令，，則，易知是上的增函數(shù)，且，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最小值，此時(shí)，，直線的方程是.故選：A6．已知?分別為橢圓：的左?右頂點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，與直線交于，兩點(diǎn)，與的外接圓的周長分別為，，則的最小值為（    ）A． B． C． D．【解析】由已知得、，設(shè)橢圓上動(dòng)點(diǎn)，則利用兩點(diǎn)連線的斜率公式可知，，設(shè)直線方程為：，則直線方程為：，根據(jù)對稱性設(shè)，令得，，即，，則設(shè)與的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得：，，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，故選：A7．已知橢圓:的下頂點(diǎn)為，點(diǎn)是上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，若直線與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且，則（    ）A． B． C． D．【解析】由題意可知，，設(shè)，則點(diǎn)滿足，∴.∵，∴，∴，∴.∵直線與圓相切于點(diǎn)，∴，∴，即，將代入上式可得，解得或（舍），∴，，∴，，.又∵，∴，故選：B.8．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，是雙曲線上不同于，的動(dòng)點(diǎn)，直線，分別與軸交于點(diǎn)，，則（    ）A．16 B．9 C．4 D．3【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，，由雙曲線方程可得，，則，，所以直線的方程為，直線的方程為，由此可得，，所以.因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在雙曲線上，所以，所以，則.故選：.9．已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，且，，則（    ）A．2 B．1 C．0 D．【解析】的焦點(diǎn)為，設(shè)，，直線方程為，，聯(lián)立方程，整理得，則，，，由，，，，得，，，，．10．雙曲線上有兩點(diǎn)、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線焦點(diǎn)，滿足，當(dāng)、在雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得恒成立，則離心率取值范圍是（    ）A． B． C． D．【解析】設(shè)，直線:，因?yàn)?/span>，即，聯(lián)立，整理得，，，，代入得，所以，整理得，即由到直線:的距離，所以距離為一個(gè)定值，又，又，即，所以，又，所以，又，所以，故選：A11．設(shè)A，B分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，設(shè)過的直線PA，PB與雙曲線分別交于點(diǎn)M，N，直線MN交x軸于點(diǎn)Q，過Q的直線交雙曲線的于S，T兩點(diǎn)，且，則的面積(     )A． B． C． D．【解析】雙曲線的左右頂點(diǎn)為，，，可得直線PA的方程為，PB的方程為，聯(lián)立可得，解得或，代入可得，即有，聯(lián)立可得，解得或，代入，可得，即，設(shè)，由M，N，Q三點(diǎn)共線，可得，即有，將M，N的坐標(biāo)代入化簡可得，解得，即，設(shè)過Q的直線方程為，聯(lián)立雙曲線方程，可得，設(shè)，，可得，，恒成立，，可得，代入韋達(dá)定理可得，解得，可得．故選A．12．過點(diǎn)斜率為正的直線交橢圓于，兩點(diǎn).，是橢圓上相異的兩點(diǎn)，滿足，分別平分，.則外接圓半徑的最小值為（    ）A． B． C． D．【解析】如圖，先固定直線AB，設(shè)，則，其中為定值，故點(diǎn)P，C，D在一個(gè)阿波羅尼斯圓上，且外接圓就是這個(gè)阿波羅尼斯圓，設(shè)其半徑為r，阿波羅尼斯圓會(huì)把點(diǎn)A，B其一包含進(jìn)去，這取決于BP與AP誰更大，不妨先考慮的阿波羅尼斯圓的情況，BA的延長線與圓交于點(diǎn)Q，PQ即為該圓的直徑，如圖：接下來尋求半徑的表達(dá)式，由，解得，同理，當(dāng)時(shí)有，，綜上，；當(dāng)直線AB無斜率時(shí)，與橢圓交點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則；當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，即，與橢圓方程聯(lián)立可得，設(shè)，，則由根與系數(shù)的關(guān)系有，，，注意到與異號(hào)，故，設(shè)，則，，當(dāng)，即，此時(shí)，故，又，綜上外接圓半徑的最小值為.故選：D．二．填空題13．已知拋物線，點(diǎn)，過作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)則的取值范圍是_________．【解析】設(shè)切點(diǎn)，由拋物線，∴切線，同理切線， 又點(diǎn)是兩條切線的交點(diǎn)，所以.所以直線的方程為，即.此直線恒過，則.，消去，得，∴，∴.，即，令，則，即，解得，，即.故答案為：.14．已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，過與中點(diǎn)的直線與曲線交于點(diǎn)，則的取值范圍是______.【解析】因?yàn)?/span>為拋物線：的焦點(diǎn)，,拋物線,①，過點(diǎn)且斜率為的直線:,②，①②聯(lián)立消去并整理得,，,,③，③與①聯(lián)立消去，,解得,,因?yàn)?/span>分別以OM,ON為底邊，高為C,B到直線OM的距離，由于M為BC的中點(diǎn)，所以高相等，=,。15．已知橢圓的頂點(diǎn)是，，若過其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與交于點(diǎn)，則__________.【解析】由題可知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且，，橢圓方程為， 可知當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，不符合題意，設(shè)直線l的方程為，由于異于點(diǎn)，，則可得，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓，可得，，，直線AC的方程為，直線BD的方程為，聯(lián)立直線AC和BD方程可得，，與異號(hào)，， 又，所以與異號(hào)，則與同號(hào)，所以，解得，故，則.16．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)兩點(diǎn)，（均異于點(diǎn)），若直線的斜率分別為，則的最小值為______________.【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，求得,又,，，此時(shí)；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程得，在橢圓內(nèi)，則顯然，設(shè)，則，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，綜上，的最小值為4.三．解答題(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與交于兩點(diǎn)，(點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為2.（1）求拋物線的方程；（2）若過點(diǎn)的兩直線，的傾斜角互補(bǔ)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與的面積相等，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.所以，故.故拋物線的方程為.（2）由題意可知直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線.點(diǎn)，.聯(lián)立方程可得，消去，可得.則.因?yàn)?/span>，所以，焦點(diǎn)到直線的距離，所以.設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立可得，將用替換，可得由可得，即，兩邊平方并化簡可得，所以，解得.又由且得或，可知，所以，即，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形.（1）求橢圓E的離心率；（2）若，設(shè)不與x軸重合的直線l過橢圓E的右焦點(diǎn)，與橢圓E相交于A?B兩點(diǎn)，與圓相交于C?兩點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)Q，由是底角為的等腰三角形， ，，在直角中，，，，利用余弦定義可知，解得：所以橢圓的離心率為；（2）由（1）知，，且，則，故，所以橢圓的方程為：設(shè)不與軸重合的直線的方程為：，設(shè)點(diǎn)聯(lián)立，化簡整理得其中，，利用弦長公式可得：設(shè)圓的圓心O到直線的距離為d，則利用圓的弦長公式可得：所以，，，所以的取值范圍是．19．已知點(diǎn)，圓：，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若直線：與圓：相切，并與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，，且，求面積的最大值.【解析】（1）由圓的方程可知：圓心，半徑，由題意可知：， 動(dòng)點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，設(shè)：， 則，，即，，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：.（2），則圓的圓心到的距離，則 聯(lián)立與得：，，則， 設(shè)、，則，，，又，，，又，，，解得：，，令，，則，，在上恒增，，，即面積的最大值.20．已知拋物線及軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與拋物線交于兩點(diǎn).（1）若直線的傾斜角為，且|，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）設(shè)，若對給定的點(diǎn)的值與直線位置無關(guān)，此時(shí)的點(diǎn)稱為拋物線的“平衡點(diǎn)”，問拋物線的“平衡點(diǎn)”是否存在？若存在，求出所在“平衡點(diǎn)”坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)的點(diǎn)的坐標(biāo)為由題意：直線的方程為：，代入拋物線得：由得：，所以解得所以的取值范圍是（2）設(shè)的點(diǎn)的坐標(biāo)為則直線的方程為：聯(lián)立.化為由對稱性，不妨設(shè)（i）時(shí)，因?yàn)?/span>所以同號(hào)，所以，所以，不論取何值，均與有關(guān)，即時(shí)，不是“平衡點(diǎn)"（ii）時(shí)，因?yàn)?/span>，所以異號(hào)，所以所以所以僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，與無關(guān)，所以所求的“平衡點(diǎn)”為因此僅有焦點(diǎn)一個(gè)“平衡點(diǎn)".21．橢圓的離心率，在上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為短軸端點(diǎn)，過作直線交橢圓于兩點(diǎn)(異于)，直線交于點(diǎn).求證：點(diǎn)恒在一定直線上.【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在C上，所以，又，，所以，，故所求橢圓C的方程為.（2）由題意知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為.設(shè)，，(，).，，，且有.(，)，，故，故點(diǎn)T恒在一定直線上.22．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，當(dāng)軸時(shí)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線交直線于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，則是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由題意知，，，又當(dāng)軸時(shí)，，，得，且，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）為定值，且定值為，理由如下：由（1）得，，，設(shè)，，，直線的方程為，聯(lián)立方程可得整理得，則，，由，，三點(diǎn)共線可得，①，，，②由①②得③由，，三點(diǎn)共線可得④由③④可得，分別將，代入，得，將，代入并整理，可得，，設(shè)，同理可得，由，，三點(diǎn)共線可得，⑤由③⑤得，，為定值.

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