大題專項(xiàng)訓(xùn)練15：立體幾何（線線角、線面角）-2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

這是一份大題專項(xiàng)訓(xùn)練15：立體幾何（線線角、線面角）-2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)，共15頁。
二輪大題專練15—立體幾何（線線角、線面角）1．已知四棱錐中，四邊形是菱形，且，為等邊三角形，平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．證明：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接、和，因?yàn)?/span>為等邊三角形，所以；又四邊形是菱形，且，所以為等邊三角形，所以；又，平面，平面，所以平面，又平面，所以；（Ⅱ）解：因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，，平面，所以平面；又，所以、、兩兩垂直；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；不妨設(shè)，則，，，，0，，，0，；所以，，，，，；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由，得，令，得，1，，又，，，所以，，，又，，，所以，，，設(shè)直線與平面所成的角為，則．2．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)，分別在，上，且，，沿將四邊形折成四邊形，使點(diǎn)在平面上的射影在直線上．（1）求證：平面平面；（2）求證：平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）證明：矩形中，，點(diǎn)在平面上的射影為，則平面，且平面，，又，平面，又平面，平面平面；（2）證明：，平面，平面．平面，由，同理可得平面，又．平面平面，平面；（3）如圖所示，過作，過作平面，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．在平面上的射影在直線上，設(shè)，，，；，3，，且，；，解得；，2，；，，，，，；且，5，，設(shè)平面的法向量為，，，，解得，令，得，得到平面的法向量為，0，；又，5，，，2，，，，，直線與平面所成角的正弦值為，．3．如圖，直三棱柱中，，，若為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值．解：（1）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，直三棱柱中，是矩形，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，平面，平面，平面．（2）三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，0，，，0，，，0，，，，，，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，設(shè)與平面所成角為，則與平面所成角的正弦值為：．4．如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面底面，且側(cè)面為菱形，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．（1）求證：底面；（2）求與平面所成角的正弦值．解：（1）證法一：取的中點(diǎn)，連接，，是與的交點(diǎn)，且側(cè)面是菱形，是的中點(diǎn)，，底面，底面，底面，，，為中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，，底面，底面，底面，，平面，平面，平面底面，平面，底面．證法二：取中點(diǎn)，連接，，是與的交點(diǎn)，且側(cè)面為菱形，是的中點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，，，，，四邊形是平行四邊形，，又底面，底面，底面．（2）連接，側(cè)面為菱形，，△是正三角形，，側(cè)面底面，側(cè)面底面，側(cè)面，底面，底面為正三角形，為的中點(diǎn)，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，底面是邊長為2的正三角形，，，，，0，，，1，，，0，，，1，，，1，，，1，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，由，取，得，，，與平面所成角的正弦值為：．5．如圖，四棱錐，、分別是、的中點(diǎn)，底面為平行四邊形．（1）求證：平面；（2）若，，求異面直線與所成的角的大?。?/span>（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，是的中點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，，，，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面．（2）解：由（1）知，，即為直線與所成的角，平行四邊形，，設(shè)，則，，由余弦定理知，，即，解得，在中，，，故異面直線與所成的角的大小為．6．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，，，，分別是，的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）設(shè)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，若線段長的最小值為，求直線與直線所成的角余弦值．解：（Ⅰ）證明：底面為菱形，，為正三角形，是的中點(diǎn)，，又，，又平面，，而，平面，平面，．（Ⅱ）過作于，連，由（Ⅰ）得平面，，線段長的最小值為，，，，，，解得．，，，分別是，的中點(diǎn)，，異面直線與所成的角即為與所成的角．．直線與直線所成的角余弦值為．故答案為：．7．如圖，三棱錐S﹣ABC的底面ABC和側(cè)面SBC都是等邊三角形，且平面SBC⊥平面ABC．（Ⅰ）若P點(diǎn)是線段SA的中點(diǎn)，求證：SA⊥平面PBC；（Ⅱ）點(diǎn)Q在線段出上且滿足AQ＝，求BQ與平面SAC所成角的正弦值．解：（1）證明：∵△ABC和△SBC都是等邊三角形，且有公共邊BC，∴AB＝SB＝AC＝SC，∵P是SA的中點(diǎn)，∴SA⊥BP，SA⊥CP，∵BP∩CP＝P，∴SA⊥平面PBC．（2）取BC的中點(diǎn)O，連結(jié)OA，OS，由條件得OA，BC，OS兩兩垂直，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AB＝2，則AO＝OS＝，則A（，0，0），B（0，1，0），C（0，﹣1，0），S（0，0，），Q（，0，），∴＝（，1，0），＝（），＝（，﹣1，），設(shè)平面SAC的一個(gè)法向量為＝（x，y，z），則，令x＝1，得＝（1，﹣，1），設(shè)BQ與平面SAC所成角為θ，則BQ與平面SAC所成角的正弦值為：sinθ＝＝＝．8．已知棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1，平面AA1C1C⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1＝60°，∠A1B1C1＝90°，AA1＝AC＝CC1＝，D，E分別是BC和A1C1的中點(diǎn)（Ⅰ）證明：DE⊥B1C1；（Ⅱ）求DE與平面BCC1B1所成角的余弦值．解：（Ⅰ）證明：過點(diǎn)A作AO⊥平面A1B1C1，交A1C1于O，連結(jié)B1O，設(shè)AA1＝AC＝CC1＝＝1，則A1O＝1，A1B1＝2，∴B1O⊥A1C1，B1O＝，以O為原點(diǎn)，OB1，OC1，OA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B（，﹣，），C（0，1，），D（，，），E（0，，0），B1（），C1（0，3，0），＝（﹣，，﹣），＝（﹣，3，0），＝0，∴DE⊥B1C1．（Ⅱ）解：＝（），＝（0，2，﹣），設(shè)平面BCC1B1的法向量＝（x，y，z），則，取y＝，得＝（3，，2），＝（﹣，，﹣），設(shè)DE與平面BCC1B1所成角為θ，則sinθ＝＝＝．cosθ＝＝．∴DE與平面BCC1B1所成角的余弦值為．