一輪大題專練15—導(dǎo)數(shù)（數(shù)列不等式的證明1）1．已知函數(shù)．（1）若，，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點；（2）若，，（Ⅰ）證明：時，；（Ⅱ）證明：（其中，且．證明：（1）若，，則，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點；（2）若，，則，（Ⅰ），令，易知在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞減，，即得證；（Ⅱ）當(dāng)，時，，又，故，則，由（Ⅰ）知，時，，令，，，，以上各式相加得，，即，即，即得證．2．已知函數(shù)．（1）求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）求證：．解：（1）函數(shù)，（1），，（1），曲線在處的切線方程為：，；（2）證明：令，，則，，函數(shù)在單調(diào)遞增，（1），函數(shù)在單調(diào)遞增，（1）．當(dāng)時：，令，則化為：，，，，，，，，，．3．設(shè)函數(shù)．（1）若，求的極值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若，證明：．解：（1）的定義域是，當(dāng)時，，令，解得：，令，解得：，在遞減，在遞增，（1），無極大值．（2），①當(dāng)時，若，則，若，則，在遞減，在遞增；②當(dāng)即時，若，則或，若，則，在，遞減，在，遞增；③當(dāng)，即時，恒成立，在上單調(diào)遞增；④當(dāng)即時，若，則或，若，則，在遞減，在，，遞增，綜上：當(dāng)時，在遞增，在遞減，在，遞增，當(dāng)時，在遞增，當(dāng)時，在遞增，在，遞減，在遞增，當(dāng)時，在遞減，在遞增．（3）由（1）知在遞減，時，（1），，令，得，，即，，，，，，累加得：，．4．已知函數(shù)，．（1）若不等式對恒成立，求實數(shù)的范圍；（2）若正項數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和為，求證：．解：（1）不等式對恒成立，對恒成立，設(shè)，則，令，解得，令，解得，故在遞增，在遞減，（1），的取值范圍是，；（2）證明：取，由（1）可知對恒成立，則，，，，，，，，數(shù)列是常數(shù)列，，，，，，，原結(jié)論成立．5．已知函數(shù)，．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：．解：（Ⅰ）由于，故在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：當(dāng)時，．由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞減．注意到（1），則當(dāng)時，恒有．取，有，即，又，因此6．函數(shù)．（1），求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在，上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）令函數(shù)，求證：．解：（1），，，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，．（2）不等式恒成立等價于，令，則由，可得到，可以看作是關(guān)于的一次函數(shù)，單調(diào)遞增，令，對于，，，恒成立，只需證明即可，，當(dāng)，，則，在上單調(diào)遞減，又，所以此時恒成立．當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，單調(diào)遞增，，，所以在上存在唯一的，使得，當(dāng)時，，當(dāng)，時，，所以在時單調(diào)遞減，在，時單調(diào)遞增，，，，恒成立，故恒成立，．（3）證明：由（2）可知，，令，，，2，，8，可得到，從而，即得證．

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