?一輪大題專(zhuān)練15—導(dǎo)數(shù)（數(shù)列不等式的證明1）
1．已知函數(shù)．
（1）若，，證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；
（2）若，，
（Ⅰ）證明：時(shí)，；
（Ⅱ）證明：（其中，且．
證明：（1）若，，則，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，
在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；
（2）若，，則，
（Ⅰ），
令，易知在上單調(diào)遞增，
，即，
在上單調(diào)遞減，
，即得證；
（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，，
又，故，則，
由（Ⅰ）知，時(shí)，，
令，，
，，
以上各式相加得，，
即，即，即得證．
2．已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；
（2）求證：．
解：（1）函數(shù)，（1），
，（1），
曲線在處的切線方程為：，
；
（2）證明：令，，
則，
，
函數(shù)在單調(diào)遞增，
（1），
函數(shù)在單調(diào)遞增，
（1）．
當(dāng)時(shí)：，
令，則化為：，
，，，，，
，，，
．
3．設(shè)函數(shù)．
（1）若，求的極值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）若，證明：．
解：（1）的定義域是，
當(dāng)時(shí)，，
令，解得：，令，解得：，
在遞減，在遞增，
（1），無(wú)極大值．
（2），
①當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，
在遞減，在遞增；
②當(dāng)即時(shí)，
若，則或，若，則，
在，遞減，在，遞增；
③當(dāng)，即時(shí)，恒成立，
在上單調(diào)遞增；
④當(dāng)即時(shí)，
若，則或，若，則，
在遞減，在，，遞增，
綜上：當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，在，遞增，
當(dāng)時(shí)，在遞增，
當(dāng)時(shí)，在遞增，在，遞減，在遞增，
當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增．
（3）由（1）知在遞減，
時(shí)，（1），，
令，得，
，即，
，，，，，
累加得：，
．
4．已知函數(shù)，．
（1）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍；
（2）若正項(xiàng)數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
解：（1）不等式對(duì)恒成立，
對(duì)恒成立，
設(shè)，則，
令，解得，令，解得，
故在遞增，在遞減，
（1），
的取值范圍是，；
（2）證明：取，由（1）可知對(duì)恒成立，
則，，，，
，
，，
，
數(shù)列是常數(shù)列，
，
，
，
，
，，原結(jié)論成立．
5．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：．
解：（Ⅰ）由于，
故在上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，．
由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞減．
注意到（1），則當(dāng)時(shí)，恒有．
取，有，即，
又，
因此
6．函數(shù)．
（1），求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）令函數(shù)，求證：．
解：（1），，，
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)，時(shí)，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，，
的單調(diào)遞減區(qū)間是，．
（2）不等式恒成立等價(jià)于，
令，則由，可得到，
可以看作是關(guān)于的一次函數(shù)，單調(diào)遞增，
令，
對(duì)于，，，恒成立，
只需證明即可，
，
當(dāng)，，
則，在上單調(diào)遞減，又，
所以此時(shí)恒成立．
當(dāng)時(shí)，恒成立；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
，，所以在上存在唯一的，使得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，
所以在時(shí)單調(diào)遞減，在，時(shí)單調(diào)遞增，
，，，
恒成立，故恒成立，
．
（3）證明：由（2）可知，
，令，，，2，，8，
可得到，
從而，
即得證．

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