（1）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，．
解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，即，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
（1），則．
實(shí)數(shù)的取值范圍為，；
（2）證明：，
，
易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
令，則，
易知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，
又兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，故當(dāng)時(shí)，．
2．已知函數(shù)（其中，為的導(dǎo)數(shù)．
（1）求函數(shù)在處的切線方程；
（2）若不等式恒成立，求的取值范圍．
解：（1），則，
又，
函數(shù)在處的切線方程為；
（2）令，則，
，
在，上單增，
①當(dāng)時(shí)，，
為增函數(shù)，則恒成立，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，由在，上單增，且，，
故存在唯一，使得，則當(dāng)時(shí)，，單減，，此時(shí)與矛盾，不合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
3．已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，試判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，，恒成立，求的取值范圍．
解：（Ⅰ）時(shí)，，的定義域是，
，
令，解得：，令，解得：，
故在遞減，在遞增；
（Ⅱ）恒成立，即，
，，，
故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，，恒成立，
令，則，
令，則，
，，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
顯然（1），故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在，遞減，在遞增，
故（1），故，故的取值范圍是．
4．已知函數(shù)，，．
（1）若，證明：；
（2）若，求的取值范圍．
解：（1）證明：若，則，即證，只需證，
設(shè)，則，，
顯然在，上恒成立，
在，上單增，
，
在，上單增，
，
，即得證；
（2）令，
依題意，對(duì)任意，，恒成立，則，解得，
又在，上恒成立，顯然成立，
在上恒成立，即，解得，
故；
下面證明：當(dāng)時(shí)，在，上恒成立，
令，
則，
，（a），
（a）在，上單減，則，
由（1）知，，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
故在，上恒成立，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．
5．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：在上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
解：（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，，，
則，又在上單調(diào)遞增，且，且（1），
，，使得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
，
，
，，
，
在上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，問題等價(jià)于（記為在，上恒成立，
令，
，
（1），要使式在，上恒成立，則必須（1），，
下面證明當(dāng)時(shí)，在，上恒成立．
，，，
又，
，
當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，
（1），即式在，上恒成立，
故的取值范圍為，．日期：2021/5/21 12:43:07；用戶：尹麗娜；郵箱：3603210371@zz.cm；學(xué)號(hào)：19839377
6．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
解：（1）的定義域是，
，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；分
當(dāng)時(shí)，令，得，在，上有，在，上有，
在，上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)分
（2）當(dāng)時(shí)，，即
令，則，
若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，
故有，即，得，
故有．（由（1）可判斷，此不等式為常見不等式，熟記更利于解題）
（當(dāng)且僅當(dāng)，即，且時(shí)取等號(hào)）．
函數(shù)在，單調(diào)遞增，，式成立．分
②若，令．
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
在區(qū)間，上單調(diào)遞增，
，，
，使得，則當(dāng)時(shí)，，即，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，即，式不恒成立．
綜上所述，實(shí)數(shù)的范圍是，分

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